B-f-2.3.4ea
et en faisant x
a (an- 1) (a 4-2) ' a{a-\-l)
fl(a-+-
a (an-
a (a 4- i) (fl + 2) (a -f- 3) La loi est évidente et Ton a
Si Ton donne à x une valeur entière et positive n, le second membre ne contient qu'un nombre limité de termes, et l'on a
^^ ^ ^' a 2a(fl+i) 3a (a + i) (a -H 2)
MONOr.RAPIIIR DR LA FONCTION GAMMA. (H
et, comparant à la formule (10), on a Tidentité
(n + l)fl(a + 1) ... (a -MU- i)'
qu'il est facile de vérifier.
Le développement trouvé pour i (a + x) conduit, en y fiïisant a = i et a? = d, à une formule d'où l'on tire facilement l'expression de la fonction ^ par une intégrale définie.
On a
/ia\,/* N , 1^ la{a — i) ia(fl— l)(fl — 2)
or, on a
x„ a a{a—l) , a(a— l)(a— 2) , (1 - a?)« = 1 - aa: + --^jif ^ ^ ^ ' ^'+ -m
et par suite
\ — {l—xY a{a—l) a(a— l)(fl— 2) ,
et par conséquent
(13) i (1 + fl) = M*) + I ^-z—^ rfa;,
OU bien, en posant y = i — x,
Cette formule peut s'obtenir sans avoir recours au développement de i.
On a
en supposant que dans le second membre ul augmente indéfiniment.
Oi G. KRINEL.
Dans ces condilions on peut aussi écrire :
6 {x) se présente comme la différence des deux quantités que Ton peut exprimer par des intégrales défmies.
En effet, en ce qui concerne /a, il suRit de remarquer que l\j. peut être considérée comme la différence des valeurs que prend
la fonction l ,^ pour z r= 1 et 2 = pour en déduire
D'autre part, on a, en effectuant la division, et il vient
^«=/:if^— [/.'(s-.^:)-L.-
Le second terme est indépendant de a;; si on y change, eu effet, a; en X + a, Faccroissement qui en résulte est ^1 à
dont la valeur est nulle évidemment lorsque y. est infini. On a donc enfin
(19) V (j?) = ^ + J "nfy ^-'
ou en faisant a? = 1, on trouvec = i (l). En posant a: = 1+a on retrouve la formule (U).
La formule
('•Il «x— 1
MONOGRAPHIE DR l\ FONCTION GAMMA. 03
montre que si x est rationnel, 'J' {^) — 'M') P^"** ^ calculer sous forme finie. On a par exemple
•^ (I) = '^ (4) +/^'^fËr "'-' = *(*^ ■+- --"'2'
Legendre avait donné {ExerCy t. H, p. 46) une démonslralion peu satisfaisante de la formule (14). Elle a été établie depuis de bien des manières.
Cauchy, /. Ec. PoL, t. XYIII, p. 147.
Cisa de Crésy, Mém. Turin, 1821, p. 209.
Lobatschewsky, Mém. Kasan, 1835.
Schlômilch, Gr. Arch., t. IV, p. 167.
— — t. IX, p. 5.
— Studien, I, p. 6.
Des formules
ri^^ — l
on déduit par soustraction et par conséquent
'^ ^"rfz = .^(l + o) — 4(*— «)= - + H«) — K*— «)
ou bien
~ *"- (Iz = - — :: col ar..
r>4 G. BRUNKL.
En multipliant les deux menibres par da et intégrant de à a.
on aura
— 2 dz __ a 1 ar.
z Iz sin ax t: siua::
Cette formule conduit à la détermination de quelques intégrales remarquables.
Si Ton fait, par exemple, a = ;j et 2j = a;', on a
n ^ x~ X Ç^ i — x dx T.
Jo 1— a?* Ix "~Jo *H-a? /,r ~" 2'
si Ton fait « ^= r, puis ^=y\ on a
£ .. }'-?\'\.... iy=>
ik
La formule (21) est due à Gauss {Werke^ t. III, p. 160) qui en a déduit en particulier l'expression
- = I du.
^ Jo lu
formule qu'Euler avait trouvée d'une façon bien différente. {AcL Pelr,, Mil, p. 29. — Cale. Int., t. IV, p. 272.)
La formule particulière (23) a été employée par
Stern,/.dô Cr., t. XXI, p. 377.
Schlômilch, Gr. Arch., t. IV, p. 167.
— Beitrage, III, p. 9.
Mais une des formules les plus importantes qui se déduisent de (21) est la suivante :
r^x^'—x^-^dx Jo * — a? X
Euler, Cale. hiLj t. IV, p. 122....
Legendre, Exere.^ t. II, p. 48.
M. Hermite (Alli di TorinOy t. XIV, p. 91) a montré Timportance de cette intégrale dans la théorie de la fonction gamma. Voir aussi Bourguet {Ann. Ee. Norm. ; Thèse, p. 8).
=^ t: cola::.
§ 9. On peut déinonlrer, sans avoir recours à l'expression dé é ('/) sous fornrie d'inlégrale déiînio, que cette fonction se calcule sous forme finie toutes les fois que a est un nombre rationnel.
Considérons la fonction ^ (-),;? et 7 étant deux nombres
entiers elp étant plus petit que q, 6 (a) est la limite de l'expression
Il 1
lorsque u. croit indéfiniment; on peut donc écrire
a rt+ 1 2 a-H2 3
1 ,ix + 2
la série se prolongeant indéfiniment, puisque ;jl doit croître sans limite.
Si Ion remplace a successivement par -, -, ...., -, on aura
Mîr 2^'^ 9 + 2^4 2î + 2^'3 •••'
«) t/îull^-^,,,
2 c«)..., (g — 1)(o, ço), on aura
COS9 = cos(g-f- 1)9 = cos(g + 2){p = ..., (2) { cos29:i= cos (ç -+- 2) 3> = cos(2g-i-2)? = ...,
COS9 H- C0S29 4- ... H- COSfç— 1)9 H- 1=:0.
T. m (3« Série). 5
De plus on déduit aisément de la dernière de ces équations la formule
( 1 4- COSpwCOStd) 4- COs2p(«)COs2Aa)
( ...4-C0S(jf — l)p(i)C0S(9— -l)/tco=:0,
k désignant un des nombres 1 , 2, 3..., g — 1 , à l'exception de ;)
et de </ — p, pour lesquels la somme est ^ ?•
Les équations (1) peuvent s'écrire, en tenant compte des relations (2),
cos ç M - ) = — j CCS 9 H- cos o / 2
cos29M-j = — |cos2? + cos29/2
j cos(î— l)ç^(?— -\ = — — ^COS(î— !)?+ COS(î— 1)?
— 2T^cos(2^— 4)© + cos((/-l)9<- — ...,
i ^(4) = — -cosî?-f-/2 — ;; cos2î9 -4- /^— ...,
et en ajoutant toutes ces équations membre a membre, on a
COSÇ'^-J -f-cos2?6Q + ... -4- cos(^ — l)çM^^\ -h KO
= — JlCOSo -f--C0S29 -4- ... -h- CCS «0 -4- ...j,
la série qui paraît entre parenthèses dans le second membre étant prolongée indéfiniment. Dans la somme, en effet, chacun des logarithmes a pour facteur la somme
COS9 + COS29 + ... 4- C0S(}-~l)(p + i
qui est nulle; de plus, le Icrme — t : cos {k q + i) o
= — T-^^ — : cos tç se présente une fois et une seule, il provient
du (2A; + 1)'*»' terme de la t'*™" ligne.
Le développement en série du second membre se trouve (i^cilement sous forme finie; si dans la formule
on pose
z = p(cos^ 4- tsinç)
et que l'on égale les parties réelles des deux membres, on trouve - l(l — ifcoso + p») = — (pcosç -h|-cos29 + ...J.
En faisant p = 1 et substituant dans la formule étiiblic précédemment, on a donc
l C0S9* M 4- cos2?} M -h ... 4- cos(î- 1)9^. (^^)
J =:-.:(l)+2U2-2cos?).
On obtiendra q — 1 équations du premier degré entre les
quantités 4 (- j, M -),.., ^ ( ) en donnant à ç les valeurs
successives 9 = &), ç =2(i>, ..., ç = {q — 1)<i>. Ces équations se résolvent facilement.
Il suffit, en effet, de multiplier les deux membres de chacune de ces équations respectivement par cospw, cos2pci>, ..., cos(^ — i)p<ù et de les ajouter membre à membre en leur adjoignant Téquation obtenue en faisant, dans la relation deGauss
entre les fonctions J/, a = - , n = ç ce qui donne
(6) .}Q 4- ^ Q 4- ... 4- ';(^) = - H*) + q'H\)-qlq;
on trouve, après avoir divisé par 5,
U(j^^\ 4-J^(^W2^(4)-2/î-f-cospa)/(2 — 2cosw)
^'^ i + cos2pw/(2 — 2cos2w) 4- ...
-4- cos(j — l)po)/[2 — 2cos(jr — !)u)].
On voit que le dernier terme de cette équation est égal à eospto/(2 — 2cosci>), T avant-dernier àcos2p(i)/(2 — 2cos2û)), etc., en sorte que les termes sont égaux deux à deux, excepté dans le cas où q est pair; il y a alors un terme du milieu
CCS - p(dl (2— 2cos I (j) j
égal à 2/2 si p est pair, à — 2/2 si p est impair.
D'autre part, la relation des compléments relative aux fonctions à
'i (a) — »: (1 — a) = — T col a z devient, si Ton y fait a = -,
■KV)-K^)='-'7-
Les équations (7) et (8) fournissent maintenant ^[-j et
Pour une valeur impaire de 7, en supposant p plus petit que 9, on a
(9) + cos -^ i (^2-2cos- j + ...
+ cos /(2— 200S-Î --):
lorsque q est pair, on a
(10) +cos^/(2-2cos*^W...
le signe + s'applique si p est pair, le.signe — si p est impair. On trouve de cette manière
U(^==Hl)^\r. -3/2,
La formule (8) implique la condition p<qj remarquons cependant que la formule
a a-hl a-\-n — 1
permet d'étendre les résultats trouvés aux valeurs de Targument supérieures à Funité.
C'est à Gauss {Werke, t. III, p. 155) que l'on doit cette détermination élégante tl; ( - j .
§ 10. Nous avons représenté précédemment ^(x) — (j^(i) par une intégrale définie; on peut exprimer ^ (x) de la même manière sans introduire la transcendante 6(1).
70 G. Bl\u^ËL.
Reprenons la formule
dans la première intégrale, remplaçons z par z^^ elle devient : et Ton peut alors écrire Posons maintenant z^ = u, et il viendra
OU bien
•'<«'= «"[/.'(^ij)- S) ^»}
Or, lorsque u augmente indéfiniment, Texpression xk{\ — w)
a pour limite — Iv. et u^ a pour limite Tunité; on a donc enfin
fi)
Cette expression de ^(o;) et la méthode qui y conduit sont dues à Gauss (yVerke, t. III, p. 158).
On emploie souvent une autre expression de la fonction 'h (a) obtenue en partant de la représentation de \{a) par une intégrale définie.
On a
r(^/) -- I ir^.ïf'-U]x,
et par suite
(4) —-^ = 1 e-'af-'lxdr.
Or, si Ton pose
(5) u = j ~-dz,
on a
du r ^^ l = j e^dz = -,
dx J X
u = Icx,
et, en faisant a? = 1 dans la formule ^ on voit que c = 1 , et on a
(6) lx=. l ^ \. — dz;
en sorte que la formule M peut s'écrire
dr(à) r . r^e-' — er'' ~— =/ e-'x^-'dxl dz,
ou bien, en changeant Tordre des intégrations,
dr{a) rdzf r ,^ r MU. . , 1
c'est-à-dire
dr
et l'on peut écrire
dlr{a)
Si Ton intègre les deux membres de cette équation entre les limites 1 et a, en remarquant que lr{i) = 0, on en déduit :
/r («) = r P'a- 1) ^-- - (i±£Çf^iV^:£r 1 J»L <(*+-) j -
li G. BRUXEL.
Or cette formule peut se simplifler. Remarquons en effet que Ton a
et par suite
Multiplions les deux membres de cette identité par {a—\) et retranchons membre à membre de l'expression trouvée pour f r (a), il vient
ir,a)=j^ |(a-i)(i4-.)- ^ -jïîrrTr
Si Ton pose
on a
On en déduit une nouvelle expression de <l{a) en difTérentiant par rapport à a :
,Q, rfir(a) ,, , r fer'- «-» \
Si dans Téquation (8) on pose e^*' = 2, on obtient (10) ,r,a) =/;(!---£:• -a -m) ^.
L'expression de A (a) sous forme d'intégrale définie donnée par la formule (7) est due à Lejeune-Dirichlet (/. de Cr., t. XV, p. 260). Voir aussi
Grunert, Gr. Arch,, t. Il, p. 266.
Schlômilch, Sludien, t. 1, p. 4.
Lcjeunc-Dirichlet donne aussi la formule
La formule (8) est de Malmsten (/. de Cr., t. XXXV, p. 55). Gauss avait tiré la formule (9) de la formule (2) {Werke^ t. III, p. 16(^). Pour la démonstration que nous avons donnée, voir Schlômilch {Studien, 1. 1, p. 10) et Schaar {Mém. cour, de Brux.y t. XXII).
A toute expression de ^ (a) par une intégrale déânie correspond une expression semblable de 6(1) et par suite de la constante d'Euler.
L'équation donne
que Ton peut écrire, en tenant compte de la relation des compléments,
(ii) /r (a) '^lT.-hls'\naTz = — f ( ^'''^' ~^' ^ ae") — .
En ajoutant membre à membre les équations (1) et (S), il vient
2/r^a)— /ic-f-/sina7:= / (i 2a)e-' —,
et le second membre se prête à un développement remarquable. Pour a quelconque et w compris entre — i: et + 1:, on a
/TT g^^— g-^" Isino) 2sin2(«) 3sin3w
(.) smo) sm2(.) sni3(o
En posant a = à:;; et w = (1 — 2 a)?:, on obtient g(î~° r g-(i-')' ^ / g^sjngq, 4xsiD4ax 6icsin6aTC \
, ^ , /sin2ax sin4az sinCax \
formules valables pour x quelconque et a compris entre zéro et un.
On trouve alors par substitution
anXa) — /z-+-/sinflz
= 4(&8sin2a7: -h b^?>\x\kaT^ -h 6,sin6a7c 4- ...)?
en posant
Jo W-i (2»zV 2w^/ a;' Or, on peut écrire
La première intégrale placée entre parenthèses est, comme on le vérifie facilement, égale à / (2 n ir) ; quant à la seconde, elle est égale à — A (1) ou y.
On a donc
fr*«=2^['(2nir)-i-Y]
et il vient
îr(a)— â ^^ -+- â isma- = -^ — - — - sm2a7:
. /(4ir)-+-Y . .
-f- A^ — ^sm4az + ...,
ou bien, en remarquant que Ton a, d'après la formule (13),
i-sm2a7: -+- -- — sin4a- -h ... = j- — a] (/tz-h v*
(^-«) (Ir.
MO.NOGnAPHIË DE LA PONCTION GAMMA. 75
on a la formule
Ce développement de i r (a) a été donné par Kummer (/. de Cr., t. XXXV, p. 1), par une méthode bien différente de la précédente. Le procédé que nous avons employé pour y parvenir est dû à Schlômilch {Compendium, t. II, p. 255). Gilbert en a donné une autre démonstration {Mém. Ac. Belg,, t, XLI, p. 16)- Cette série a conservé le nom de série de Kummer^
§ 11. Nous avons déjà trouvé précédemment plusieurs développements en série de la fonction l T (a). Les expressions sous forme d'intégrale définie que nous avons obtenues nous conduisent a des développements nouveaux, mais il nous sera utile tout d'abord de nous occuper de févaluation approchée de la fonction gamma quand l'argument est un grand nombre.
Nous partirons à cet effet de la formule de Wallis
x 22 4 4 2a ia
où a est un nombre entier.
On peut écrire
= lim2*«
(2a!)*(2a+ 1)' Si Ton pose
Vt-er'a '
76 G. BRUNBL.
on voit alors facilement que la formule (1) équivaut h la suivante :
D'autre part on peut voir directement que Ton a aussi
La formule {^) donne
ou bien, en prenant les logarithmes,
a étant supposé plus grand que 1 , on aura
' V "*■ a; - â ~ 25* "^ 3^ ~ ■•• "^ ~ïïtf= '
d'où
donc
Dans cette série les teruies sont alternativement positifs et négatifs; la valeur absolue du rapport du terme de rang nau précédent est
et par suite est égal à - pour n = 2 et inférieur à - pour toute
valeur de n supérieure à 2; donc, lors même que a se réduirait
à 1y les valeurs absolues des termes de la série (11) vont en décroissant à partir du deuxième. On a donc évidemment
ou bien
On peut écrire
Oo étant un nombre positif et inférieur à t^. On obtient en changeant a en «4-1, « + 2,... 2 a— 1 et en désignant par O,, 6,,... 6„.i des quantités positives comprises entre et 1 ,
= e*«-»îV
Multiplions membre à membre les égalités (7) et (8), la somme des fractions
ô* (ô+l)* ■*■ (rt + 2)* ■'' ••• "*" (2a— I)» • est moindre que jâ-j- a ou que tot. on aura donc
en désignant par 6 un nombre compris entre et j^. et par suite
iimr?(«)
ce qu'il fallait démontrer.
78 (î. BRUNEL.
Comparons maintenant les formles (3) et (4), il vient (9) Hmo(a)«.. = 1,
ou bien, par la définition de(p(a),
(10) fl! = r(fl-l-l) = K27:<r"a «(l-i-e),
£ étant une quantité positive qui s'annule pour a=:oo .
On voit donc que, a étant un nombre entier, on a pour de grandes valeurs de a la valeur approchée
Les considérations qui précèdent peuvent nous fournir un développement de /r(a + 1) lorsque a est entier. On a d'abord
/r(a-+-l) = ^/27: — a-f- (a-\-^la + /^(a).
Or, en employant une méthode dont nous avons déjà rencontré bien des applications, on a identiquement
v(a-hW-4-i)
Si l'entier n augmente indéfiniment, (p(a+n + 1) a pour limite l'unité et son logarithme a pour limite zéro. On a donc
OU bien, d'après la fonnule
el Ton a par suite
l /r(a + 1) = I «r — a + (a H- ^) la
Cette formule se trouve établie seulement pour les valeurs entières de a; mais le second membre a encore une signification quelle que soit la valeur attribuée à a, si Ton excepte toutefois le cas où a est nul ou égal à un entier négatif. En effet, la série qui figure dans celte formulées! toujours convergente, car ses termes,
comme il est aisé de s'en assurer en développant if 1 h j
décroissent comme ceux de la série convergente £ —^^
Pour démontrer que la formule (13) subsiste quel que soit a, il suffit de voir que cette formule coïncide avec celle qui nous a servi lorsqu'il s'est agi d'établir que la définition de Gauss par un produit infini s'appliquait à toute valeur de l'argument. Nous avons vu alors que Ton avait
go
Or si l'on prend les dérivées secondes par rapport à a des membres de chacune des équations (13) et (14), on obtient dans les deux cas
Les dérivées secondes des seconds membres des deux formules étant égales, ces seconds membres ne peuvent diff'érer que par une fonction linéaire de a. Comme ils sont égaux pour toute valeur entière et positive de a, leurdiffîérence se réduit nécessairement à zéro.
La formule (11) est donc vraie, quelle que soit la valeur de
l'argument </, l(f{ci) a encore alors d'après la formule (9) pour limite zéro lorsque a augmente indéfiniment; on a donc toujours pour valeur approchée de r(a + 1), que a soit entier ou non, pourvu qu'il soit très grand et positif,
Stirling s'est occupé le premier de la détermination de / (1.2. 3. ..a) pour a très grand, ou plus généralement de la détermination de l[a{a + r)... {a + nr)], n étant supposé considérable.
Après lui, Euler et Legendre {Exerc, t. I, p. 340 et t. I, p. 850) ont donné des démonstrations de la formule (10), mais les procédés qu'ils ont employés ne présentaient pas la rigueur que l'on était en droit d'exiger. Aussi les géomètres sont- ils revenus après eux en maintes occasions sur cette question.
Gauchy, Exerc. itAn. et de Ph. t. II.
Liouville, C. /?., t. IX, p. 105. — Lion. /., t. IV, p. 317.
Binet, /. Ec. PoL, cah. XXVII, 3« p.
— C. /?., t. IX,p. 156.
Raabe, /. de Cr,, t. XXV, p. 147 ; t. XXVIII, p. 10.
Malmsten, /. de Cr., t. XXXV.
Mais la démonstration si simple que nous avons donnée est due à Serret {Cal. D. et /., t. II). Déjà avant lui Legendre avait signalé Timportance de la formule dans l'évaluation approchée de la fonction T {Exerc. y t. I, p. 350).
La valeur approchée de F (a) conduit à une démonstration élégante, donnée par Gauchy, de la relation de Gauss. Ecrivons cette relation sous la forme
L'équotion
r(a-hl) = ar(a)
montre que le premier membre ne varie pas quand on fait croître a d'une unité; il ne variera donc pas non plus si l'on ajoute à a autant d'unités qu on voudra et si par ce moyen on fait croître a au delà de toute limite; on pourra alors remplacer dans le premier membre chaque fonction gamma par sa valeur approchée. Le premier membre devient ainsi, après des réductions évidentes,
\ na) \ na) \ na /
Si Ton foit
\ na/ \ na/ \ na /
\ w 2/ \ na/ \ n 2/ \ na /
et si Ton développe en série les logarithmes qui entrent dans le second membre, il vient, en ne prenant que les termes qui ne s'annulent pas pour a inflnimont grand,
/p = - H h ... -+ = —rz—.
Substituant cette valeur de P, la formule (I) est démontrée.
La relation de Gauss permet, lorsqu'on y fait croître n indéfiniment, de calculer l'intégrale
tV{a)da.
On a, en effet, en posant nda^=^ I , lT{a)da=\imda\n\a)^n\a'\-da)-i~...-\-ir[a-h{n—\)Ja]\^
T. ni (3« Série). 6
82 G. BRUXEL.
c'est-à-dire
1 ir{a)da = lim da l \\\a)V{a + da) -+- ... -+- r[a + (w— 1) dd\\\ or, puisque d« = -, la relation de Gauss donne
V{a)V(a-\'da) ..Y[a + (n—\)dd\ = V{na)rr'^{l'K) * n* ; par conséquent
Mais on a, à cause de nda = 1,
lira da — x— /St: = - /a^.
lim - daln = 0.
D'ailleurs, n étant infiniment grand.
/r(wa) = / 1^27: — na -f- (wa — ~\ /wa,
IVina) —nain = iVtr. — na -^nala — -la — ~ln,
limrfa[/r(nfl) — wa///] - — a -h a la, et par conséquent enfin
ir{a)da == - /2:; h- «/a — a.
L'intégrale à laquelle nous venons de parvenir a été donnée par Raabe.
La même formule a été depuis démontrée bien des fois. Malmsten, /. de Cr,, t. XXXV, p. 75.
Bjôrling, Overs. Stock. Forh., 1856, p. 18L
Bierens de Haan {Arch. Néerl., VUI, p. 1rl5. — Verslagen en MecL, VII^, p. 12) a obtenu la même formule en partant de Texprossion
il arrive en même temps à la formule
Liebrechl {Grun. Arch., t. LIX, p. 218) Tobtienl en délermi nant
im,.-« - lT{na) — aln .
Lorsque n est considérable, on a, d'après ce qui précède,
F (ri + n) = |/2 z p-"-« {a -h v) « Mais on a identiquement
et lorsque n augmente indéfiniment, le second fncteur a une
limite égale à e" et le troisième a une limite égale à lunilé. On
peut donc écrire ^, ^
r (a -h n) ^V'ir. e-» n * n" ,
ou bien
lim --^- = 1.
Or, en ce qui concerne les fonctions P((7) et Q(a) (§ 5), on a immédiatement
lim -rr: 7- = 0,
et réqualion
r(a4-n) __P(fl4-w) Q(fl-t-n)
donne
lim ,, , — - = 1.
Il est facile, avec ce qui précède, et en tenant compte des relations auxquelles satisfont les fonctions P et Q, de former une fonction S définie par les deux équations
S(a + i) -=:flS(a) + /,
La première relation donne
Multiplions ces égalités respectivement par
' a' a(a4-i)' *" a(a-f- 4) ... (an-w — i)'
il vient, en ajoutant membre à membre,
^^ a(fl-i-i)...(aH-70 |a «(a-hi) a(a-f-l)(a-f-n)J
a(«H-l)...(aH-ri) n"r(w-i-4) La a(a + l) " j'
En tenant compte de la seconde relation et de la définition de Gauss,
S(fl) = AT (a) — leP{a) := {k'-le)P{a) -h kQ{a).
• C'est Weierslrass qui a donné (/. de Cr,, t. LI) la condition que nous venons d'établir, condition qui suffit avec la relation fonctionnelle à déternniner la fonction r. La fonction r se présente comme la plus simple des fonctions S.
Voir Pryni (/. de Cr.^ t. LXXll) et Bourguet {Ann. de VEc. Norm., thèse, p. 46).
§ 12. L'expression approchée de Y (a) pour des valeurs très grandes de l'argument conduit à considérer la fonction gamma comme le produit de deux fonctions dont l'une est précisément cette valeur approchée, l'autre ayant pour limite l'unité lorsque a augmente indéfiniment. L'intégrale définie par laquelle nous avons représenté lv{a) conduit simplement à cette décomposition.
On a
que l'on peut écrire
lV(n)=::f (a — i— ]^-dx+f —. -ef'dx,
ou bien encore, en remarquant que, si l'on développe — .. -^x\
suivant les puissances croissantes de x, les termes qui renferment des exposants négatifs sont
(2) /r(a) = F(fl)-Mj(a\
où
'C>|rt)=/ {- il^ ■•
On peut calculer aisément ¥{a) sous fornoe (inie. Nous nous appuierons sur révaluaiion des intégrales suivantes : on a
On en déduit, en multipliant les deux membres par doL et les intégrant ensuite entre les limites a et p,
(4) / ^-rfj. = /^/,.
Si Ton multiplie de nouveau les deux membres de (4) par da et que Ton intègre entre les limites a et y, on trouve
(5) Jo L ^^ ^ J ■'
Calculons maintenant n(^^] ; on a OU bien, en remplaçant .r par 2 j\
D'autre part, on a identiquement maison a, et en remplaçant x par 2a;
et on en conclut, en retranchant membre à membre ces deux équations,
/-N A rV * 2-e-- 1— e-'\ dx
En retranchant membre à membre les équations (6) et (7), on obtient donc
la formule (5), où Ton foit a = 1, ^ — â, y = 2, donne alors
et comme on connaît ir l^j , qui est égal à ^ Ir., on a donc, (2),
F (^ j étant connu, les formules (4.) et (5) permettent d'obtenir F («), en calculant la différence F (a) — F(-J;
on a :
^<">-Kî)=/:[(«-i)'--e-î)(— «-■-']?
ce que Ton peut écrire comme il suit :
r /(9-^« ~e * (a — I) e-'\ ^ l r er^^—e « ^
la formule (5), où Ton fait a = a, ^ = 1 et y = ô» fournit la
valeur de la première intégrale; la formule (4), où Ton fait a = a,
g == -, donne la seconde, et il vient
par conséquent
Fia) = (^—9) ^^ — « -h- /27:.
On a donc
lY{a) = la — -\la — a -\- - i2- -+- ow
et par suite
Lorsque a est très grand, la valeur approchée connue de r(ff) montre que e "* est voisin de l'unité, ou, si Ton veut, que n(a) a pour limite zéro.
Avec la notation employée dans le paragraphe précédent, on a
Legendre {Exerc, t. I, p. 289) avait établi, en partant de résultats dus à Euler (Calcul diff., p. 465), la formule
Mais sa démonstration suppose a entier. La détermination du coefficient de R a, comme nous Tavons déjà dit, été Tobjet des travaux de plusieurs géomètres :
Cauchy, Exerc. dA. et de Pk.^ t. II, p. 384.
Liouville^ /. de Liou., t. IV, p. 318.
Schaar, Mém. Com. Ac. Bely.y t. XXII, p. 6.
Slern, Beitràge ..., p. 134.
Genocchi, BiUL Ac. Belg., t. XXI, p. 84.
Schl()milch, Stitdien, t. I, p. 53.
— , Compendium, t. II, p. 249.
La fonction zs{a), dont le rôle est si important dans la théorie de la fonction gamma, a été introduite par Plana (Mém. Ac. de Turin, t. XXIV, p. 410), puis retrouvée par Binelqui la désignait
par u(fr). C'est Gauchy (C. fî., t. XVI, p. 425) qui s'est servi le premier du symbole n adopté maintenant d'une fiiçon générale; Catal.in {C. fl., t. LXXXVIII) a employé pour désigner la même fonction le caractère to.
§ 13. La formule
lï(a H- 1) = - /2::— a -\- la + -A la -h u{a)
nous démontre que nous obtiendrons des développements de ir(o+ 1) en développant la fonction o(a) donnée par l'intégrale définie
Parlons de la formule
sin.: = ^(i-^;)(i-^)(l-^,)...;
en prenant la dérivée logarithmique des deux membres, on obtient
cou — — ; ^ r ^ - — - r ,— - , — ■ •..
ou bien
remplaçant la cotangonle par des exponentielles, puis substi-
luant ^ à a-, il vient
JC \ 1 —(?-•*= .r 2/ ^ 4m' ::' 4- x* '
90 G nnixEL.
On obtient ensuite, par la division,
en posant
La valeur de 0„, est comprise entre et i.
Donnons à m les valeurs successives 1, 2,... jusqu'à Tinfini et ajoutons ensuite tous les résultais obtenus, en remarquant que si Ton pose
8 sera nécessairement compris entre et 1 ; on aura
i <P ce
et si Ton fait
.^. B» ___!__ /j il \
W 2^ - giT-TZr; \* + 2« ^ 3» "^ -y
il viendra
où 0<e<i.
La fonction de x qui constitue le premier membre de cette formule ne devient infinie que pour des valeurs de x comprises
dans la formule x = ^kTzi, k étant un nombre entier positif ou négatif, mais différent de zéro; cette fonction est donc développable en série convergente par la formule de Mac-Laurin pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x de module inférieur à 2?:, en sorte qu'on a dans cette hypothèse
\x\\ — er^ X 2/ 12 4!'
tM.' I • • •
/v»ïrt— ï
la série étant prolongée indéfiniment.
Mais la formule (10) subsiste pour toutes les valeurs réelles de a? et elle fait connaître l'expression du reste de la série quand on s'arrête au terme de rang n.
Les coefficients B qui se présentent ici ont reçu le nom de nombres de Bernoulli. Ils s'offrent dans ce qui précède comme quotients de deux transcendantes, mais ce sont des nombres rationnels et on peut les obtenir comme il suit*.
On a identiquement
x{e^—e-^) en sorte que Ton peut écrire la formule (tO) sous la forme
2j? [^ ÏM 4! tin! J
c'est-à-dire, en remplaçant les exponentielles par leurs valeurs en séries,
""V "^3! "*" - '^ {tn + ^)\'^^•^)
92 G. BRINEL.
Les deux séries du second membre sont absolument convergentesi donc si Ton effectue leur produit et qu'on Tordonne par rapport aux puissances de x^ on reproduit identiquement la série contenue dans le premier membre. En égalant les coefficients des différentes puissances de Xy on à
et ainsi de suite. On a en général
„ 1 ij J B, \ Bg
~{tn+i)\ 2 2n!'^(2n — i)il.2 (2h -3)! 41 "*" ""
qui détermine B„ si Ton connaît B,, B,, ..., B«i. On voit que les quantités B se déterminent successivement et de plus que tous ces nombres sont rationnels.
La formule (2) permet alors d'écrire n (a) sous la forme
dx
n ^ 1 4\ dà
e-^dx 4- ...
dx
Toutes les intégrations sauf la dernière s*effectuent immédiatement; l'intégrale 1 6j?"'e~"'da? est positive et inférieure
2n^ 6 "''"^ dXy c'est-à-dire à -^^^ , on peut donc la représenter .
02n* par ,^^^\ , en désignant par 6 une quantité comprise entre et 1.
Il vient aJDsi :
et par suite on a pour toute valeur positive de a
^**)i RI RI
f +(-<)"-7irAT^ 7.-1-1 -^(-i)"0 "^'
En prolongeant à Tinfini la série du second membre, on a la formule
Cette série est divergente quelque grande que soit la valeur attribuée à a\ en effet, la valeur absolue du terme général
~n est égale au produit des deux quantités
tr.a "ir.a ^r.a 2
et ^ ,- I i -+-7^ -H .^ + ... I
-a 2T:*rt\ 2" 3" /
d'après la définition des coefficients B,. (9). La seconde de ces
expressions a pour limite ^~,- quand n augmente indéfiniment;
la première expression, au contraire, augmente au delà de toute limite, car elle est un produit dont lesfocteurs inférieurs à 1 sont en nombre limité, tandis que le nombre de ceux qui sont supérieurs à 1 et même à telle quantité que Ton voudra peut devenir plus grand que tout nombre donné. Il résulte de 15 que les termes de la série croissent à partir d'un certain rang au delà de toute limite, et, par suite, cette série est divergente.
9'jt C. BRUNEI..
Malgré sa divergence, celle série donne un procédé exact et commode pour calculer /r(a + 1) et rapproximalion que Ton peut obtenir ainsi est d'autant plus grande que a est plus considérable. En effet, les formules établies montrent que si a est supérieur à 1, les termes multipliés par les nombres B dans la formule qui nous occupe vont d'abord en décroissant, et Ton voit que Terreur commise est toujours moindre en valeur absolue que le premier des termes négligés.
On aura donc la plus grande approximation possible en s'arrètant au terme qui précède le terme minimum, et ce terme minimum donnera une limite supérieure de Terreur que Ton aura commise.
Si, par exemple, on néglige complètement dans la formule les
termes multipliés par les coeflîcienls B, Terreur commise sera
positive et inférieure à ^^ - ou j^-, car B. = - ; on a donc
i /r(a-f-l) > ~ /2- — fl+ (a-h Ala, ( /r(a+i) <-/27:-flH-(a+-l/a-
ou bien
Ces formules permellenl d'oblenir deux limites du nombre de Bernoulli B,,. On a
en posa ni
MONOr.HAPHIE DE LA FONCTION GAMMA. 95
On en tire
B^i (2n-i-l)(2yi-f-2) $,„+, a. __ 2n! S,n
et comme S^^ décroît quand n augmente, on a
..^, B..+, ^ (âw-i- i) (2n-4-2) B„ ^ 2w!
^lyj — - < —-- 5 — <
B„ 4::* ' Bj 2*'-^ t:»"-*'
OU bien
^ ^ (2w+ 1) (2nH-2) ^ kry " ^ 12 (27:)»'-*''
La dernière formule donne une limite supérieure de B„, on aura une limite inférieure en remplaçant, dans l'expression primitive de B,,, Sï„ par l'unité, on aura ainsi :
Remplaçons maintenant r (2 n -j- 1) parles limites supérieure et inférieure trouvées précédemment et il viendra
Ces formules conduisent à une détermination facile de l'approximation avec laquelle on peut calculer /r (a + 1) par le développement trouvé prjîcédemment.
Soit w„ le terme qui dépend des coefficients B„, on aura, si l'on ne considère que les valeurs absolues des termes
et, a cause de la premiîre des formules (19),
Un^x (2w--Jj2»
tt„ 4 z* a* '
96 G. BKUNEL.
OU encore, a fortioriy
Wm4-1
Un X
Donc, tin+i sera inférieur à w„ tant qu'on aura n < 3a ou n = 3a. Nous voyons donc que si a est plus grand que 1, la série trouvée pour cj(a) est décroissante dans ses derniers termes; si a est un nombre entier, les termes successifs sont de plus en plus petits certainement jusqu'au terme de rang 3a et même de rang 3 a + 1 .
Désignons par £„ la valeur absolue de Terreur commise en s'arrêtant dans le développement au terme multiplié par B,„ on sait que Ton a
Bn-H l
'^"^ (2yn-l) (2W-+-2) a*"-*-^' ou encore, à cause de la formule (19)
et en remplaçant B« par sa valeur approchée,
6 a \eT.a)
Nous avons vu qu'il convenait d'aller dans le développement au moins jusqu'au terme 3a. En faisant u = 3a dans la formule précédente, il vient
C3«^^y eue, et comme a est égal à 1 , on a à plus forte raison
-im-
et l'on voit que l'approximation est d'autant plus grande que a
est plus considérable. L'erreur commise est en tout cas du signe du premier terme négligé.
La série que nous avons obtenue pour / r(a + 1 ) a reçu le nom de formule de Slirling.
Dans sa Melhodus Differentialis sive Tractatus de summalione serieriim.,.^ Stirling avait résolu une quantité de [)roblèmes importants de la théorie des séries et plusieurs questions concernant en particulier les expressions de fonctions de très grands nombres qui se présentent si fréquemment dans la théorie des probabilités. C'est parmi ces fornmies que se trouve celle qui a spécialement attiré Tattention des géomètres et que Ion a désigné sous le nom de fornmie de Stirling.
Celte formule n'est qu'un cas particulier d'une formule trouvée par Mac-Laurin et que Ton attribue généralement à liuler. La fonnulo générale et le cas particulier qui nous occupe sont des séries divergentes. Leur emploi devrait donc (Hrc rejeté. D'autre part, la série de Stirling est d'une utilité telle qu'on peut la considérer comme indispensable; on se voyait donc forcé de la conserver malgré sa divergence. Il était cependant impossible de faire pour cette série une exemption aussi extraordinaire et aussi peu légitime. C'est pourtant ce qu'ont fait Legendre {Exercices, t. 1, p. 294) et Gauss lui-môme {Werke, t. III, p. 152).
Binet (/. Ec. PoL, cahier XXVIII, 3® p.) a essayé do remédier à cet inconvénient en substituant à la formule do Slirling d'autres développements toujours convergents; mais la sérift de Stirling peut ôtre conservée à la condition de la rendre finie, c'est-à-dire de s'arrêter à un terme déterminé en donnant l'expression du reste. C'est ce qu'a fait Cauchy dans son Mémoire sur la théorie des intégrales définies singulières {Exerc, t. II, p. 395). Plus lard, Schaar {Méni. Cour. Ac. Belg,) donna une nouvelle expression du reste. Cette question importante donna naissance à do nombreux et remarquables travaux.
Cauchy, C. iî., t. XXXIX, p. 133.
Raabe, /. de Cr,, t. XXV, p. 147 ; t. XXVIII. p. 10.
T. m (ae Série}. 7
1)8 G. BUUNKIL.
Liiiibonrg, Théorie de la fonction gamma. Gand, 1859.
Liouville, /. de Liou,^ t. XVH, p. 448.
Malmslen, J. de Cr,y t. XXXV, p. 55.
Genocchi, BulL Ac. Belg., t. XXI, p. 64.
Bauer, J. de Cr,, t. LVil, p. 256.
Genocchi, Annali di Se, M. e /., III, p. 406, V, p. 91 et 102.
Bonnet, C. R., t. L, p. 863.
Gilbert, Mém. Ac, Belg., t. XLl.
Hermite, AUi di Toriuo, t. XIV, p. 95.
Boupguet, Ann. Ec. Aor.; thèse, p. 56.
La détermination du terme où il faut s'arrêter dans la série de Slirling n'a otc faite au moyen de Texpression du reste que nous avons donnée que d'une façon imparfaite, quoique suffisante dans les applications. Les différentes expressions du reste par des intégrales définies obtenues dans les Mémoires que nous venons de ci 1er conduisent à des résultats plus précis.
Schaar s'occupa de cette question {Mém. Cour. Ac. Belg., t. XXII, p. 7 et 12). Lîmbourg (Théorie de la fonction gamma)
a fait voir que les termes vont en diminuant jusqu'au rang dont
l'indice est compris entrer, a -h r — 1=-^ cir.a -{- r en désignant
par « la valeurdel'argunjent. Genocchi {Il Cimenlo,[. VI, p. COO)a
énoncé une limite moins précise. Bourguet {Ann. Ec. Aor,;
thèse, p. 27) a trouvé pour valeur de l'indice tm + , — tt^-
en négligeant les termes de degré supérieur par rapport à .
"ï* cl
En ce qui concerne les nombres de Bernoulli, remarquons que Adams (J. de (V., t. LXXXV, p. 205) a donné les valeurs des 02 premiers nombres.
Une bibliographie très complète de la théorie de ces nombres a été donnée par Ely {Am. J. of Math., t. V, 1882, p. 228-235).
g 14. La formule de Slirling donne en la différentiant une ou plusieurs fois dos formules qui peuvent être utiles, bien qu'elles soient divergentes.
MONOGUAPHIË DE LA FUNCTION GAMMA. 99
Hemarquons, en effet, que dans la formule (12) du paragraphe précédent, la quantité 6 est indépendante de a. On aura donc, en différentiant u fois,
g-ax rjp'X-^-i»*-* ff X
cest-à-dire, en raisonnant comme nous Pavons fait précédemment,
..,#a(^)^ i..! i .. (yH-2)! 1
rUl+.«
(2) < H-(-.rr-iB„
H-( — IV'OlUi
2nî «u-^^'-i
6 étant une nouvelle quantité positive comprise entre et 1.
Quand a est suffisamment grand, les termes du second membre vont d'abord en décroissant, et rerreur commise quand on s'arrête à un terme quelconque est moindre que le terme suivant et de même signe que ce terme.
La formule
donne
rf/r(aH-l) , i dv5{a)
(ta za da
^ ^' da^ "" ây--' 2af* ^ ^' rfa?*
On obtient donc par substitution
Ces résultats permettent de calculer la constante d'Euler avec telle approximation qu'on le voudra.
En supposant a entier, on a, d'après la formule (16) du § 8,
mais les Tormules précédentes nous donnent le développement
de :; et il vient, en substituant,
da
la série qui se trouve dans le second membre étant divergente, mais telle que, si Ton s'arrête au terme qui dépend de D«, Terreur
commise est nmindre, en valeur absolue, que --^ aV ^m-h - On
pourra donc, en prenant a suffisamment grand, obtenir y avec l'approximation que l'on veut.
Comme nous l'avons déjà dit à l'occasion du calcul de la constante d Euler, la formule (7), qui est alors la plus pratique malgré sa divergence, a été donnée par ce géomètre en 1769 (iV. Comm., t. XIV, p. 153) [V. §7j.
MONOGRAPH[E DE LA FOXCTIOiN GAMMA. 101
§ 15. L'expressioa de n(a) sous forme dMnIégrale définie conduit à d'autres développements en séries.
On a
ou bien, à cause de F identité
i ( i ^ *\ ! g"Cr— 2) + 2 + .r '
X \ï-- e~^ X 2/2 x'iï-e^) '
En développant en série Texponentielle qui apparaît au numérateur, il vient
^^ 2jo (J"^^— iL-^! 4! (w-f-2)! J
Considérons dès lors l'intégrale elle peut s'écrire, en multipliant et divisant par c""^,
a;" 1 rfiT.
ou bien, en effectuant la division,
Or, on a en général
en sorte que Ton a
/ -dx = n\\ ,— r, + , Cl u.i+-- F=^*- 7 ^ ^'
En substituant dans (2), il vient
\ ^(«) - 2 L2.3 L (ÏÏT^' ^ 3/4 L (^T^)' "*■ -
••■^(H+l)(«H-2)Zd(aH-]t)r+' "J"
L'expression connue de lX(a fi) donne alors
ir 1 i ]
cT(a) et par suite cette dernière série sont convergentes pour toutes les valeurs de a telles que le module de chacun des termes (a -f 1), (« + 2), (a -V 3)..., soit plus grand que 1, mais elle se prêle difficilement au calcul numérique.
La série (4) a été donnée par Binet (/. JEc. P^t., cah. XXVII, p. 2:20). La démonstration que nous en avons donnée est de Bourguet (An». Ec. Norm.; thèse, p. 15).
Binet (C. iî., t. IX, p. 158) a aussi donné la formule
qui a été attribuée à tort à Féaux, à différentes reprises. Revenons encore à la formule
il vient, en posant 1 — e~''=ty
(6) rs
çt occupons-nous du coefficient de (1 —ty~^ sous le signe 1.
Il est facile de vérifier que l'on a identiquement :
J(^-t^[i-{i-ty]dv
ou bien, en prenant Tintégrale entre les limites et 1,
Le coefficient considéré s'exprime donc sous forme d'intégrale défînie et on a
Puisque v est positif et que / est compris entre et 1, on peut développer (l — /)'' par la formule du binôme; séparant alors les différents termes dans le second nombre, on a
ri 1 J 1 J
\ [J 2 "*" Ûi — ^;J/(l-0
où les coeflicionts a ont les valeurs suivantes :
fl = I I — A f(i — r) (2 — r)df = --r„.
(8) JoVi / 120-
(ï„= I (- — v\ !(1 — 1')(4 — r)...(/n — [ — v)dt\
104 G. BRl'NEL.
En substituant dans la formule (6), on a
f ... 4- ^1 (I— /V-'r-»dr-h ...
Op, rintégralion par parties donne
et comme on a directement
il vient
a(^(i 4- 1) ... (a + m— 1)' et par suite
. — nT(a) = 7 ~ + --^ — ^-r- + ...
m a(a-h 1) ... (a-f-fw — i) On a donc
(ll)/r(« t-l)=î/27:-fl iYfl^-^V«-y- iT-^^^ r.
série convergente pour toute valeur de a et particulièrement lorsque a est assez grand.
La formule (1 1) est encore donnée par Binet dans son Mémoire sur les intégrales Eulériennes (/. Ec. Pol.y cah. XXVII, p. 339). La démonstration que nous avons donnée est de Schlômilch {Compendium, t. II, p. 260).
Binet a aussi donné un autre développement à peu près de même forme que le précédent (p. 231) :
où les coefficients ont, d'après M. Bourguet qui a tiré ce développement de la formule (3), les valeurs suivantes {Ann. de l'Ec. Norm.; thèse, p. 59) :
*io —
Binet s'était occupé de la démonstration de la convergence de ces séries. Celte question et celle de la détermination du reste quand ou s'arrête à nn certain terme, ont été reprises par Genocchi (Bull. Ac. Belg., t. XXI, p. 84; t. XXXVI, p. 550; Annales Tortolini, t. Il, p. 380), par de Trily {Bail. Ac. Belg., t. XXXV, p. 30) et par Gilbert {Mém, Ac. Belg., t. XLI, p. 14-2i). Il nous aurait fallu presque doubler l'étendue de cette monographie pour exposer les différents résultats auxquels on est parvenu à ce sujet.
§ 16. La formule
{{) IV (a; = nln -ïla -h / U -\- ")] 4- ... +lU-^-\ dunnc, en prenant la dérivée des deux membres,
(la a a 4-1 « 4-w
A ce point de vue on peut remarquer que Ivia) et à (a) se présentent comme différences de deux quantités infiniment grandes.
106 G. BRDNEL.
Il n'en sera plus de môme de la dérivée seconde — , ^ que nous désignons par 7(0). On a en effet
la série étant prolongée indéfiniment. Cette série est convergente pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de a. Elle définit une fonction, pour tous les points du plan, qui ne présente de pôles qu'aux points 0, — 1, — 2, ... — w, ...
Anx propriétés fondamentales de la fonction r correspondent pour 7 les propriétés suivantes :
X(a-+-l)-x(fl)=: — -„ (4) { /-(«^-^^/^^^-^^^Isin'aJ'
Nous les déduisons par différentialion, mais elles peuvent être démontrées directement en parlant de la série (3) qui définit x(a).
La formule (3) a été donnée par Gauss {Werke, t. III, p. 154). Gcnocchi {BulL Ac. Belg,, t. XXXVI, p. 557) a remarqué que
celte expression de ^j~r " élait une conséquence Immédiate des
résultats auxquels Euler était arrivé en traitant des fonctions inexplicables ( Cale. Diff., t. II, p. 615).
C'est à l'aide de cette formule que Legendre a démontré la relation de Gauss (Exerc., t. Il, p. 17). Il avait déjà rencontré {Exerc.y t. I, p. 261) dans la théorie des intégrales Eulériennes des séries plus générales que celle qui figure dans le second membre de l'équation (3). L'importance de cette même formule a été reconnue depuis longtemps.
Serret, Cale, D. el /., t. II, p. 209.
Schlômilch, SludieUy t. I, p. 44.
Meyer, Vorlesungen.,.y p. 154.
M. Hermite {Cours rédigé par Andoyery p. 94...) a montré que Ton pouvait prendre cette formule comme base de la théorie des fonctions gamma.
On peut démontrer, en partant de Vexpression de x(«) en
série, que la fonction y^ est holomorphe dans tout le plan.
Multiplions les deux membres de Téquation
par da, et intégrons entre les limites 1 et a, on aura
\« -f^ 1 a + nf série convergente puisque le terme général est
n 4 J a + n (n -h 1) (rt -h w) ' La constante c se détermine en faisant </ = I , et on aura
Y étant la constante d'Ëuler.
Changeons a en a-f-l, multiplions de nouveau par du et intégrons entre les limites et a^ on a
^'^ 'r(;iirr,=v-.-:/.i -h«)-.] -. . . -^[/(i-.;;) -g.^-.. .
et il est inutile d'ajouter une constante, comme on le vérifie en faisant a = 0.
En développant dans le terme général le logarithme, on voit immédialement que cette série est convergente pour toute valeur de a.
Repassant des logarithmes aux nombres, il vient
(8) ^, — ,- = er'n[\ + -\e ":
-TT} rc est donc une fonction holomorphe dans tout le plan, et
on a son expression sous forme de facteurs primaires.
Les recherches de Vandermonde, Kramp, Bessel, Grellc, Eytelwein, Oettinger, Ohm, Rnabe et Hoppc sur les faclorielles ou facultés analytiques, avaient conduit à des résultats intéressants, mais aussi à des contradictions que Ton ne pouvait lever. Weierstrass (/. de Cr,, LI, p. 1 —GO) reprit la question de la détermination des conditions nécessaires et suffisantes pour définir les facultés analytiques.
C'est dans ce mémoire fondamental que Weierstrass établit
rholomorphisme de la fonction jt- s-et la décomposa en facteurs
primaires.
Au dernier point de vue, il est à remarquer que Newman {Camb. and Dub. /.., t. III, p. 59) avait déjà mis T{a) sous la forme
a 1 -ha , ,
Schlômilch {AnaL Stud,,t, I, p. 45) a retrouvé cette dernière
formule en la tirant de la définition de Gauss.
M . Bourguet a montré très simplement rholomorphisme de r-— en
remarquant que sin aT.Y{a) = sina7w[P(a) + Q(a)];8ina7:Q(a)
est holomorphe, dans le produit sina7:P(a)les pôles disparaissent.
On en conclut que , et par suite pj— . est holomorphe
(Ann. Ec. Norm., thèse, p. 29).
La formule
r(a-hl) i \ nj
donne
et on peut employer celte forme donnée à la fonction gamma pour en démontrer simplement les propriétés fondamentales. Nous nous en servirons pour établir une formule qui comprend comme cas particulier la relation des compléments. Cette relation peut être mise sous la forme
r{i-ha)r{i — a) = -:
sin ar.
ou bien encore, en employant Pexpressioii de sinar. sous forme de produit influi:
1X1 - ?,7) rri -7,n) -^IV" nV '
en désignant parc, et p, les racines de Téquation
D'une façon plus générale, en désignant par s,, 5^, ..., c., les racines de féquation
i' — I5 on aura
ou encore
En effet, en désignant par w le premier membre de la dernière formule, et remplaçant r par son expression (2), il vient
U — p.rO .,.{z — putt) li( t-i--— p.- I ... li-h- — pv- le"" ^ '^ I \ n ^ II) \ n ^ h)
mais on a
et par suite
(z'— a') n|l + -|Yl — — \e'^
OU bien, en supprimant les facteurs communs,
= 7('-(-iTir)
et la formule est démontrée. En faisant 2;= I, v = 2, on a la relation des compléments.
Lorsque Ton fait z = l, v étant supérieur à 2, la fonction qui apparaît dans le second membre n'est jamais périodique, et il en est de même de la fonction
En effet, les zéros de cette fonction sont à Tintersection des cercles de rayon 0, 1,2,... avec les segments partant de l'origine et faisant
avec Ox des angles respectivement égaux à 0, — -, -\... ; — -.
Leur distribution dans le plan est donc bien différente de celle qui s'offre dans le cas des fonctions périodiques.
Cauchy s'était occupé dos relations qui existent entre les fonctions r {Exerc, t. II, p. 398...); Liouville signala certaines
particularités du quotient , , ,,. où la = ïa'. La propriété
démontrée précédemment est due à Mellin {Acta Mnlh.y t. III, p. 102). Voir aussi Hermite {Cours rédigé par Andoyer, p. 105).
