CALCUL DE LA FONCTION GAMMA

Développements en séries.

§ 17. On a, d'après ce qui a été dit jusqu'ici, différentes formules générales pour calculer par approximation les fonctions gamma.

On a d'une part

/r(l4-«)=---va4-^S,rt»-Js,a'H-J^S,a*~...,

Lorsqu'il s'agit de calculer lT{b) pour une valeur donnée de 6,

on peut toujours réduire la question au cas où 6 = 1 +(t, a

étant <âO" même <.. Les suites précédentes sont alors convergentes, en sorte que le degré d'approximation auquel on peut parvenir avec elles nest limité que par Tapproximation même avec laquelle on connaît S„ S3, S,. ....

Si Ton veut avoir les logarithmes ordinaires de la fonction r, il faut multiplier par le module m = 0,43429 ... tous les termes algébriques du développement employé.

112 G. BllUNEL.

En posant, par exemple,

m(l-Y) = B, ^-(S,-1) = B3, |(S,-1) = B„..., on a

Iogr(l+fl) = 5log-. ^l-

+ Ba— Çja' — B^a' — ....

II est cependant préférable d'employer la formule de Slirling:

^2 \ 2/ 1.2 (/ 3.4 a' y.6rt*

Ce développement donne lr{a) avec une approximation d'autant plus considérable que a est plus grand; il est facile de voir, par exemple (§ 13), que pour avoir lT{a) avec douze décimales exactes, il faut que Ton ait a>5 et il suffira alors de calculer les sept ou huit premiers termes de la suite qui apparaît dans le second membre.

Si Ton veut connaître la fonction gamma quand Targument varie de 1 à 2, on se servira de la formule

in a) = /r (4 -+- a) — / [flf (1 4- a) (2 + a) (3 4- a)] .

où le second membre est maintenant facile à calculer.

Lcgendre a donné des tables de logr(fl) de millième en millième, d'abord avec sept décimales {Exefr., t. i, p ilOi), puis avec douze décimales (t. Il, p. 86).

Ijessel {Werkc, t. il, p. onO) donne des tables de la fonc-

tion log :•

Gauss a fait calculer par Nicoljiï les tables suivantes de logr(/ï) à vingt décimales et de 6 (a) à dix-huit décimales de centième en centième.

Bellavitis {Afem, dellst, Venclo, 1874) a donné entre autres tables celle de lV{a) de dixième en dixième, depuis 10 jusqu'à 12 et à 8 décimales.

MONOr.RAPHlE DR LA FONCTION GAMMA.

lo{?r(r)

T. l!l (2* se rie).