G. BRU.V'EI
logr(z)
-Kî)
9700 Îi946
tH8 851 5282
9,947 /jôl 4835
lojr r (s)
logr(c)
MO
§18. La marine de la fonction lT{a) nous montre que la fonction T{a) a un minimum pour une valeur de a comprise entre 1,46 et et 1,47.
La formule
permet de trouver une valeur approchée de la position oîi il y a iiiinimuni.
Legendre a trouvé qu'il correspondait à la valeur
a = l ,46163 21451 105 et que Ton a alors
lr(a) = 9,94723 91743 9340.
La formule élémentaire
montre au moyen de la méthode de Plana que l'équation Y' (a) = n'a pas de racines imaginaires et qu'en outre de la racine positive, elle en possède une infinité d'autres toutes négatives, et comprises successivement entre et — 1, — 1 et — 2, ... Les valeurs de la variable auquelles correspondent les maxima ou les minima de la fonction tendent de plus en plus à se rapprocher des pôles. Partons de l'équation
r' (a) r(l-fl)
-— -T — -; = — :: cotai:
et soit, pour une grande valeur de a, a= — n + a? la racine de l'équation r' (a) = comprise entre — a -t- 1 et — a. On a pour déterminer x la condition
— — ^ — zCOlZiT,
I (7*4-1— ^rj
118 G. DnUNEL.
qui devient, en tenant compte de la valeur approchée,
lV{a 4- i) =z^ /2^ - a - (a-i- ^ la,
/(n— x) 4- ^7 r = 7:colT:a?,
ou bien, en négligeant les termes de Tordre - ,
In = x 001^,^5
j? = - arclg — = — ; z In In
on a donc à peu près
In
C'est à M. Hermite (/. de Cr., l. XCI, p. 336) que Ton doit celte démonstration si élégante. M. Bourguet (Alii di Torino^ t. XVI p. 758) est revenu sur cette question, il a donné les valeurs correspondant aux deux premiers intervalles
En général x^ et x^ étant deux racines correspondant à deux intervalles consécutifs, la racine correspondant à Tinlervalle suivant est comprise entre
§ 19. Nous avons vu précédemment que la fonction rrr^était
holomorphe dans tout le plan et par suile développable en série convergente pour toute valeur de a. Occupons-nous de la détermination des coefficients de ce développement. Posons
MOXOCnAPHIE DE LA FONCTION GAMMA. H9
on a
G(a) = lim n--a{\ + a) (l + ^) ... (l h- ^|). Écrivons
(1 4-5J ... ( 1 + - j = 1 + A^a 4- Ajtt' -+- ... + An-ia'"'^
le coefficient A. étant la somme des combinaisons i à i des quantités 5, n ,...-. Or, on a en général
iDa^flg ...a, = iûfi2^iaj ... ai-i — saîsaiflj ... a.-, + ...
...-H(-n^^2a;, et par suite
«A, = StA,i--S,A.2 H- ... + (— iy-^S.i;
les coefficients A ne dépendent donc que de S,, S„ ..., S«. D'autre part
et par suite
G{n) r a In a^lnY a'{lny 1
[1 + Ajrt H- A, a' 4- ... -+- A„a"]
~ 1 H- AJa -h A'^a' 4- ..., en posant
A,- ^^^ Ai A,"i — -f- Ai 2 ~:^~T~ ~^" ••• "^ ( *) ^1 •
Or, si l'on pose
on a successivement
2a; = -ca;-5„
o A 3 = — LAj — ^jAi 4-53,
et en général
iAl = — CALi — s^AL,-^s,AU—.., 4- (— iy-^5,,
120 G. BRUXEL.
et lorsque n augmente indéfiniment on s«'^il, d*apros la définition de la constante d'Euler, que
Les formules précédentes permettent donc de calculer successivement les coefficients cherchés.
Il est facile de faire entrer le facteur (1 + a) dans le développement. Les nouveaux coefficients s'obtiennent par Taddilion de deux coefficients conséxîutifs.
La même méthode s'applique au développement de
Les développements précédents permettent de trouver une série pour T{a) présentant quelque utilité.
On a
les coefficients A étant maintenant connus.
Le facteur
l H- Ajfl 4- A, a* 4- ...
ne devient infini pour aucune valeur de a de module moindre que 2; on peut donc développer en série ordonnée suivante les puissances de a dans un cercle de rayon égal à deux et écrire par suite
les coeflîcients B devant satisfaire à Tidentité :
1 =: (1 -f- Ajrt-H A,rt' H- ...) (I 4-Bia-i- B,a' + ...).
On peut donc déterminer successivement les quantités B par la formule
B/ 4- B/i Al 4- ...-+- B, A.i -h A, =: 0.
Nous avons mis Y (a) sous la forme
OÙ Q{a) est une fonction holomorphe; occupons-nous du développement de cette fonction. On a, d'après ce qui a été vu,
Q(a) = Co + c^a 4- c^a* + ... 4- c„a" + ...5 où
Ji ^ ' X
On peut tout d'abord trouver une limite de c„. Écrivons
1 /•* "i / lx\*
Cn^:-—:] X^ C~' [ — -] dX^
or, le maximum du facteur
est (-) , on a donc
a;' ^'da? < I-
n\ \ej J i ^ \c/ V{n-i-i)
ou bien encore, en employant la relation de Gauss-Legendre,
"""^wW 2"
c'est-à-dire, en remplaçant r ( — ^—) par sa valeur approchée
" b-'iï
Mais pour le calcul des coefBcients, il convient d'avoir recours
aux développements déjà trouvés.
On a
a(a+l)r(a)= 1 H-Bia4-B,a* + ...; mais
a{a ï l)r(«) = r(fl + 2) = P(a4-2) -+- Q(a-f-2)
=::rP(a + 2)+ - + c
