APPLICATIONS DE U THÉORIE DE LA FONCTION GAMMA
L'intégrale (1) r x^'il-xy-'dx
a reçu le nom d'intégrale Eulérienne de première espèce. Suivant une notation adoptée par plusieurs auteurs, nous la désignerons parB(p,9).
La fonction B (p, q) se ramène aisément aux fonctions gamma ou intégrales Ëuiériennes de seconde espèce.
Cette intégrale est une fonction symétrique de p et de q. Si Ton pose, en effet, a? = 1 — y, l'intégrale devient
et on a donc
Si, dans la formule (1), on pose x = -. , on a
et par conséquent aussi, à cause de la symétrie démontrée,
dz.
MONOGRAPHtE DE LA FONCTION GAMMA. 1^9
En ajoutant membre à membre les formules (2) et (3), on trouve
■^"îjj TTTT^F^^^'
et si^ dans la secon^ntégrale, on fait z = -, elle devient
2Jo (1
2Jo (i-^yy^
dy.
Les deux termes du second membre de (4) sont donc égaux, et Ton obtient B (p, q) sous celte nouvelle forme :
On a entre les fonctions B et les fonctions r la relation
(6) Bia,b) = ^^.
Si Ton multiplie^ en effet, les deux intégrales
r{a) = j er'^xf'Hx, J
on obtient
er^ (Xf^' e-^ y^^ ix iy .
Posons
et il vient
J oJ
= T{a + b) r»«-' (1 —»)»-' de,
T. III (8« Série).
et par suite
J^-Hi '^v)'-^dv = B(a,&) = Y^^^
Si, par exemple, on fait a + 6 = 1, on obtient, en prenant B sous la forme (2),
formule déjà établie précédemment.
On peut ramener aux intégrales Eulériennes de première espèce et par conséquent aux fonctions r l'intégrale
(8) f ar-'H—xry-'dx.
Si l'on pose, en effet,
ixf^ = y, elle devient
On peut au moyen de cette intégrale trouver des relations curieuses.
On a, par exemple.
l^l-o;* «Z» LrM
)IONOGRAPHIi-: DE LA FONCTION GAMMA. 131
et en multipliant ces deux équations membre à membre, on a la relation
r x^dx n dx ^\4/L^\2/J x
Les recherches sur les intégrales (1) et (8) remonlenten réalité à Wallis.
On doit encore citer à ce propos la lettre de Newton à Oldenbourg, du 24 août 1766.
La même question s'offrit à Stirling {Tractalus... de interpolatione...^ p. 125).
Mais les premiers travaux importants sur Fintégrale
a7''^*(l— a?")" dx
sont dus à Euler qui représentait cette intégrale par le symbole (-] {Nov. Comm. Ac. Petr., t. XVI, p. 91) ou bien encore
par le symbole (p. q) {Nov. Acia Ac. Petr, y t. V, p. 86) et qui a traité à différentes reprises des réductions qui existent pour une même valeur de n entre les intégrales correspondant à des valeurs entières et différentes de p et de q.
Legendre(£a;^c., 1. 1, p. 221) adopta tout d'abord le signe (-),
puis {Exerc, t. II, p. 3) il montra la réduction de l'intégrale précédente à l'intégrale
3i^'-^{l—xy-^dx,
pour laquelle il a choisi le symbole (p, 9).
La notation B (p, q) est de Binet (/. Ec. PoL, cah. XXVII) et a été généralement adoptée.
La formule
B(p,î) = B(î,p) avait été démontrée par Euler dans le cas où l'on a p + 9 = 1 .
Legendre la démontra d'une façon générale {Exerc, t. I, p. 222).
La réduction des intégrales Eulériennes de première espèce aux fonctions gamma remonte à Euler {Cale. Int. y t. lY, p. 9âet p. 252), mais le procédé d'Euler pas plus que celui de Legendre {Exerc. ^ t. II, p. 6) ne présentaient la rigueur nécessaire.
Poisson (/. Ec. PoL, cah. XVI, p. 404) donna une première démonstration rigoureuse; celle qui précède n'est qu'une modification due à Jacobi du procédé de Poisson («/. de Cr.y t. XI, p. 307).
On est revenu bien des fois sur cette propriété importante.
Lejeune-Dirichlel, /. de Cr,, t. XV, p. 266.
Plana, /. de Cr,, l. XVII, p. 25.
Binet, /. Ec. PoL, cah. XXVII, § 15, p. 295.
Cauchy, J. Ec. PoL, cah. XXVIII, p. 147.
Lobatschewski, Mém. Kanan, 1835, p. 1.
Schaar, Mém. Cour. Brux.^ t. XXII.
Catalan, C. R., t. XLVII, p. 545.
Realis, BaltagL &,, IX, p. 345.
Dans un Mémoire excessivement remarquable, Binet (/. Ec. PoL, cah. XXVII) s'est occupé d'une façon toute particulière des fonctions B considérées indépendamment de la fonction gamma. Il a traité tout au long la question du développement en série de B (p,9). Il a été en même temps amené naturellement à examiner différents développements de la fonction r que nous avons eu Toccasion de citer.
§ 21. Considérons l'intégrale
sin"^*iPC0s""^a?d£P.
Si l'on pose
sina; = y,
on trouve
(1) r'sin"-'»cos"-"a5djj=r r~'(l— y*)^ ''<y =
Si en particulier on fait m = n, on en déduit
(2) ^i^r/; sin- 2. rf. =,^.£sin-.z rf. = L A2/J.. Mais on a, d'autre part,
Tsin— »2:rf2:=:2 nsiD^»~^grfz = — ^ \ »
Comparant les deux valeurs de rintégrale / sin'"~*z(iz ainsi
obtenues et remplaçant r f - j par sa valeur, on retrouve la relation de Legendre, cas particulier de la relation de Gauss:
2«-r(f)r(îî4ii)=:K-:r(«).
La formule (I) s'est présentée à plusieurs auteurs : Jacobi, /. de Cr., t. XV, p. 1.
Schlômilch, Gr. Arc, t. IV, p. 316.
Oettinger, J. de Cr., t. XXXVIII, p. 162; p. 216. Ohm, Bestimmle Int.j p. 49.
Lobatschevvski , Mém. Kasan, 1835, p. 211.
Bonnet, /. deLiou.y t. VI, p.
Raabe, Iniegr. Rech., p. 222.
On a
ax =
(x- + ff)«+f* a? (1 + a)' r(i -H P)
13i G. BRUNEL.
Posons, en effet,
et r intégrale devient
r y— iy,
Jo [(i4.a)y-ha]*+P et en faisant
on obtient
a^a + aYJo
2'"^ rf.^ 1 rwro)
(1 + a)«Jo (1 +z)«-^P a^(l + a)« r(a-+-P) '
Si Ton suppose a + p «= 1 , on a
Jo (1— a:')*a?'~*'(.ï? + a) a'-^(l-f-fl)'' ^ sina::.a'-'(l -hrt)^" Si dans l'équation (1) on fait x = cos'ô, on a
2 /-^ cos'^^esin'P-^e ^^ ^ 1 r(x)r(3)
Jo (a-+-cos'0)'-^^ rtP(l4- a)* r(a4-&) '
qui peut s'écrire, en posant a + 1 = mky a = nkj
(6) 2 n cQs'^"^^s'P''^^Q rfo ^ J r(a)rffl ^
J (w cos" 4- w cos' 0)*+^ m' n^ r(a -*- p) '
Les formules (3) et (4) ont été données par Abel {J.de Cr.^ t. II, p. 22).
Pour la fornaule (6) voir Schlômilch {Hôhere A7ialysts, p. 85).
L'expression de A(a+1) sous forme d'intégrale définie conduit à la détermination au moyen de fonctions gamma de quelques intégrales remarquables.
et en changeant a en a + 6, 6 désignant une constante positive^
dlTia-hb-^l) r / ^ ^^'' \
Jo \ X
dx,
da ' ' -i *-"^
et, par soustraction,
da I(a-f-i) Jo ^—^
En intégrant relativement à a entre les limites et a, on en déduit
On a de même :
r(fl4-6-K?-4-l) /»' (<— a:"-^<^)(l — a?^) r(a4-c+l)r(fe-f-l)"~ ' • '
et par soustraction
r(a-f-i)r(a-f-6-f-c-f-i) ^ r' xf{i-x')H-^x^) ^^
Jo ^ ^ X
Dans réquation (8) changeons a en c et soustrayons membre à membre les équations (8) ainsi transformée et (9), il vient :
/ r(a-+-6 + l)r(a-hc-f-l)r(64-c4-l)
)r(6+i)r(c+i)r(rt-*-ft-+-c4-i)
(10) ^ ^i (i-a^)(i^ag^)(i^a:c) ^^^
(1— ir)J-
En continuant d'appliquer le même procédé, on arrive d'une façon générale à exprimer au moyen des fonctions gamma les intégrales
dx
et
''af(l'-x'){l — x'') ,,.
(12) / ^^^"-^^^^".^^- rfo;.
quel que soit le nombre des facteurs qui apparaissent au numérateur.
Si dans l'équation (9) on remplace x par a?', on obtient la formule
et, en faisant c =^ ây
r a^^H-a^) ^ r(a + fc + l)r(a + g)
ou bien, si l'on fait 2o + l = a— 1, 2(a + t) + 1 = P— 1,
(1-..)^. r(|)rf-ii)
La formule générale (12) fournit la relation suivante
'x^ix—iy^
^dx
= 2(-i)^-^ ^— ^ -Kn-ha-hl-p)
lorsqu'on y fait 6 = c = d = ... = 1, et que Ton emploie la
relation r(a -h 1) = aT{a).
En posant i- = 5, et a -}- 1 = p, la formule précédente
devient :
Des cas particuliers des formules (7) à (12) avaient été donnés par
Legendre, Exerc, t. II, p. 111.
Cisa deGrésy, Mêm. Turin, 1821, p. 209.
Binet, /. Ec. Pol, cah. XXVII, p. 123.
Mais c'est à Stern {Goii. Siudien^ 1847) que sont dues les formules générales.
Kummer(/. de Cr., t. XVII, p. 210) avait donné la formule (15).
§ 22. Occupons-nous maintenant des intégrales
'* cos bx , r* sin bx
... rcosbx. r
Nous partirons de la formule
dx.
^" r(«)Jo
qui donne
/ — --rfa? = -— -1 cosoxrfa? / er'^ z""^^ d z , Jo x^ T{n)J, Jo
rsmbx, ^ r ' u ^ r
Jo X" V{n)J, J,
er^z''-^dz;
138 G. BRUiNEL.
ou bien, en changeant Tordre des intégrations, j Jo a?" r(n)Jo Jo
^^^ I rsïnbx^ i r r^ r . L ^
I dx = ——i z^-^dz I ^^sinbxdx.
Or, l'intégrale
donne, en y faisant a= z — 6t, en sorte qu'il vient :
et en posant z*=^b*Uy les intégrales des seconds membres se ramènent à des intégrales connues, et Ton a enfin :
/ (** cosbx b"-^
r CCS I
Jo ^'
r (W) ^ HT.
' Jo a?" "^""rWo . Wî:*
. ^ ^ 2sm --
La première de ces formules suppose n compris entre et 1, et la seconde le suppose compris entre et 2. Dans tous les autres cas, les intégrales sont infinies.
On peut distinguer comme cas particuliers ceux où r(w) s\'xprime sous forme finie.
En faisant n = 1, on a.
sma? , TC X 2
En faisant n =^ 5,
r* cosbx . r'&mhx , * / t.
La formule (G) était connue depuis longtemps.
Euler, Cale. Int., t. IV, p. 139.
Mascheroni, AdnoLy p. 52.
Bidone, Mém. Turin, 1812, p. 231.
Fourier, Chaleur y p. 415.
Laplace, Prob., p. 229.
Lobatschewski, Mém. Kasan, 1835, p. 211.
— /. de Cr., t. XXIV, p. 164.
Schlômilch, Gr. Arc., 1. 1, p. 417.
. — J.de Cr.y t. XXXVI, 268.
Il en est de même des formules (7).
Legendre, Exerc,, 1. 1, p. 369.
Bidone, Mém. Turin, 1812, p. 231.
Cisa de Grésy, Mém. Turin, 1821, p. 209.
Plana, Mém. Bruxelles, 1837.
Oettinger, /. de Cr., t. XXXVUI, p. 216.
A l'égard des formules (3) nous renverrons à
Poisson, J. Ec. Pol., cah. XVI, p. 225.
Grunert, /. de Cr., t. VIII, p. 416.
Lobatto, /. de Cr., t. XI, p. 169. Boncompagni, /. de Cr., t. XXV, p. 74.
Oettinger, J. de Cr., t. XXXVIII, p. 216.
Enfin, les intégrales (5) ont été données par Schlômilch (Gr. Arc., t. VI, p. 200. — Studien, t. l, p. 13).
Les intégrales
peuvent s'obtenir de la manière suivante. Partons encore de la formule
f e-^x^'dx = ^.
et pour oL = a + bi, il viendra
l ^-«' 0?^* (cos bx + \^ — 1 sin bx) dx =
(a-hbi)^ r(iA)(a~fet7
Posons a = pcosô, 6 = f sin 6; cette formule donne, en égalant les parties réelle et imaginaire,
er''^ cos bxx^^^dx = — ^ cos 1x6,
e"^ siïibx x^"^ dx = -—^sinpiO.
Si Ton fait en particulier a = 0, on a 6 = ^ et p = 6, on a
i I cosfca?a:^-^djf = -^ cosu. ~, ) Jo 6*^ 2
' I sm 6a?a:^-^rf.T = -^smj;. ^5
qui ne sont autres que les formules (4) trouvées précédemment. Les formules (9) peuvent s'écrire sous une autre forme; on a
b = a igO,
!IIONOGRAPH(E DE LA FONCTION GAMMA. iH
et elles deviennent
^-«*cos bx x^-^ dx = -^ sinf*6 ces ul6
= -^ cosf*ecosu.e,
(il) < /.• p/ \
' I ^-"* sin fta? a?'*-* da? = -^ sin^O sin {xO
Désignons par n un nombre positif moindre que Funité et plus petit en même temps que u.. Multiplions les deux membres de chacune des équations (11) par
b"^^ db = a" lg"-*0 — =-
® cos'O
et intégrons de 6 = jusqu'à i =oo et par conséquent de 6 = à 6 = ^) on a, en changeant Tordre des intégrations dans les premiers membres,
I x^'^e-^'dx l b'^^cosbxdb
cosi^«-*6sin''-^ôcos[AÔdô,
I x^^^ «""* dx I ft"-^ sin bxdb
^r(tA) p
cosi*-"-* sin"-* 6 sin {x6 dO .
Mais, d'après les formules établies précédemment, on a
. , . ,, r(n) nr.
6"-* ces bx db = — ^-^ ces — -,
iT !£ '
i 6»-' sin bxdb = — V sm -s-
2' et les premiers membres deviennent
. ^ nx /" (»)cos-^J^
r(iA— «)r(w)cos— '
a;i*-»-i e-«* do; = r^
m G. BRUNEL.
r (n) sin — ' / a?»^»-> €r-^dx = j;^::;; .
On arrive ainsi à Tévaluation des intégrales suivantes :
ni:
cos-^,
( « cos^*"^ e sm"-» e sin ;aO db ~ ^ ^/, ^ ^ sin —
Jo r(ti.) 2
Si Ton suppose n = u — 1 , on a
r^ix-n)=l, r(n) =
et il vient
