COS
Dans les formules (12) n est compris entre et 1 ; si Ton fait en particulier n = 1, on a
j *cosî^-*ecosixede=:0,
t « cosf*-»e sin [xe de = T.
Jo [x— i
En ce qui concerne les formules (9) et (10) il convient de citer :
Euler, Cal. Int., t. IV, p. 134.
Lacroix, Cale. Dif., t. III, p. 490.
Legendre, Exerc, 1. 1, p. 367.
Cauchy, /. Ec.PoL, cah. XXVUI, p. 147.
— Exerc, i8%, p. S8.
Fuss, Mém. Pétersb., 1830.
Plana, Mém. Brux., 1837.
Grunert, /. de Cr., t. VIII, p. 146.
MONOr.RAPHIR DE LA FONCTION GAMMA. 143
Liouviile, /. de Cr., t. XIII, p. 210.
Schlômilch, Gr. Arc, t. VI, p. 200.
Oettinger, /. de Cr., t. XXXVIII, p. 216.
Les formules (12), (13) et (14) ont été données par Serret (/. de Liou., t. VIII, p. 489) et se sont présentées à Kummer (J. de Cr., t. XVII, p. 210 et t. XX, p. 1) et à Schlômilch {Sludien, 1. 1, p. 24).
Il nous est impossible de donner même un résumé de toutes les intégrales définies dont Tévaluation peut être faite au moyen de la fonction gamma. Il suffit de jeter un coup d'œil, par exemple, sur les Tables d'intégrales définies de Bierens de Haan, pour reconnaître combien est grand le nombre de ces intégrales. Elles se rencontrent à chaque pas dans les travaux de Poisson, Cauchy, Kummer, Dirichlet, Oettinger, Schlômilch... Voir en particulier Meyer, Yorlesiingen ùber die Théorie du bestimmlen Intégrale, 1871, p. 159-229.
§ 53. Considérons l'intégrale multiple (i) t« = rr... fo~' a??»-^ ... a?;;»-* dx^ rfa?, ... dXn
étendue à toutes les valeurs positives des variables a;^, a;,, ..., x^, qui vérifient la condition
«î/| "T" X^ "F" ... "T" Xn — 1 5
les nombres j\j p„ ..., p« étant tous positifs. On a d'une façon générale
r(Pi)r(p,)...r(p«)
r(i -+-Pi + p, -+- ... -hPn)'
Tout d'abord, pour n = 1 , on a
144 G. URUNEL.
Pour n = 2,
J J «/ Pi
r(iH-Pi + p.)'
la formule est donc vraie pour n = 2. Pour n =r 3, on a
en posant y, = 1 — a:,, y, = 1 — rr, — a?,. Si Ton pose
^8 = Î^S -2^8 5 ^î = Jf ^tJ
r intégrale peut s'écrire sous la forme
ou bien, puisque Ton a
y,= 1 — a;,, y, = i — a?^— y,z, = (1— ir^) (1 — z,),
= r a?^'-»(i— a;,)''»+^«da?j T 2?»-» (1 — ;î,y« j 2ï>-'dZj
= B(Pi, 1 -f-z^j + p,) B(p,, iH-p,). -
Ps
iXi+Pi-f-p. + Ps) r(i+p,+P3) r(i+p,) ^ r(Pi)r(P,)r(Pa)
r(i + Pi+P,-HPa)'
D'une façon générale, on posera
1— a?4 = y„ yi — ^1 = ^85 •.•,?«-! — a;„i = y
puis
et l'intégrale multiple se trouvera- décomposée en un produit d'intégrales que Ton sait évaluer séparément. On trouve ainsi
W = B(Pi,l+p, -f- ... -hP«)B(p„l + Ps4- ... +p„)...
Pn
et, en remplaçant les fonctions B au moyen des fonctions r et supprimant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, on a précisément la formule (2).
Soit maintenant l'intégrale
(3) V = [[,., Çpr'r'^"' ,.. P^''dt,dt^ ... dtn
étendue à toutes les valeurs positives de /,, /,, ..., r„, pour lesquelles on a
9j> Îï» •••> 9«î ^i> *^ï» •••> ^«> ^i> ^î) '«M ^.1 étant des constantes positives.
Si Ton pose, d'une façon générale,
t = ax"\ dt = — x"' dx,
il vient
v = - - I I ••• I ^?' ^f'- ••• ^" ^^1 rf^s ... dx„
ou
«Z*! ~T" M 2 i~ .». "H iPii — !•
On a donc
III (3« Série).
Ut
Uj
Lejeune-Dirichlet a le premier réduit les intégrales multiples que nous venons d'étudier aux fonctions gamma.
Ahh. Ak. Wiss. Berlin, 1839.
/. de Liou., t. IV, p. 164.
La démonstration qu'il donne est différente de celle que nous avons exposée et qui est due à Liouville (/. de Liou., t. lY, p. 225).
La formule de Dirichlet dans le cas de trois variables fournit une détermination élégante des volumes, des centres de gravité, des moments d'inertie de toute une série de surfaces. Considérons par exemple Tellipsoïde
on aura pour le huitième de son volume
et, en s'appuyant sur l'expression connue de r l^Y
V =5 - r.abc.
Considérons la surfoce
on a alors
mais, d'après la relation des compléments,
SIU 7 i- / -I
en sorte qu'on peut écrire
en posant :
ou encore, en remplaçant x par j/^
Or, si l'on considère la lemniscate de BernouUi o' = cos 26, on a pour l'arc compris entre un sommet et l'origine
i= 1/ pS.,;+ 1 <ï?>
mais
et il vient
^/p'"~"sin*!iO~ 1— p*'
Jo Ki — p*
La formule (5) représente donc le huitième du volume de la surface considérée, si l'on y désigne par / le quart de la longueur de la lemniscate p* = cos 26.
D une façon plus générale, comme il a été déjà dit, la formule de Dirichlet est très utile dans Tévalualion des intégrales qui se présentent en mécanique, ou plutôt dans la géométrie des masses.
Lejeune-Dirichlet (/. de Liou,^ t. IV, p. 164) a aussi appliqué la même méthode à la détermination de Tattraction de rellipsoïde homogène. Ses résultats ont été généralisés par :
148 G. BRUXEL.
Mehler, /. de Cr., t. LX, p. 321 ...
Mertens, /. de Cr., t. LXIII, p. 360 ... et t. LXX, p. 1 ...
Grube, /. de Cr,, t. LXIX, p. 359 ...
Arrivons maintenant à des intégrales multiples d'un caractère plus général que celles examinées jusqu'ici.
Soit
= 11 .../*('^ + y-*-^+ ...)a?*-^y^-*2"*-^ ... dxdydz ...,
une intégrale multiple où les variables indépendantes a?, t/, z, ... sont toutes positives et satisfont à la condition
h étant une constante positive; de plus f est une fonction de Xy j/, Z'y ... assujettie à la seule condition que Tintégrale considérée ait une signification. On suppose que k, l, m, ... sont des constantes positives.
Pour trouver la valeur de cette intégrale, nous partirons des cas les plus simples et nous supposerons d'abord 7i = 2.
Si dans l'intégrale
^y = f^x'-'âxT 'f{x + y)iy-'d^
on pose, comme nous Tavons déjà fait pour la réduction des fonctions B aux fonctions r,
x=: Mr, y = u{i — t'), il vient
W — f'duf u'-' v"-' f{u) u'-'H—ry-' udi\
= f «»+'-' f(u) du fv"-' (!—»)'-' dv , et par suite
Considérons Tintégrale triple, on a
en désignant par y, la quantité h — x. Mais on a, d'après la formule établie précédemment,
y^~^ ày \ fipo + y-^ z) z"»-* dz
r(/4-m)Jo
donc
et la formule déjà établie s'applique à l'intégrale double qui apparaît dans le second membre, en sorte qu'il vient enfin :
W = .V. ^ ..../ . r^ 1 f(w) ?r»+'+'»-' dw
I f(w) là r(/ + w)r(A:-h/+m) Jo
V{k)Va)Y{m) ^"
'J]Vw
tt?*+'+"'-^dfi;.
La méthode s'applique à une intégrale d'ordre quelconque de multiplicité, et l'on a
f W = W '" f{^-^y + z + ...)a?*"^y'~^2"*~^.. dxdydz ...
(«> / ^ r(fc)r(or(m).. p ...,
r(^4-/-f-f» + ...)Jo ^
en supposant
Si Ton fait /i = 1 et /"(S) == 1 , on retrouve la formule établie
précédemment. Comme alors, on peut obtenir la formule plus générale
/:, /, m, ... /?, g, r, ... 5;, y, j, ... étant des quantités toutes positives, les dernières étant assujetties à la condition
Si /"(ô) est une fonction telle que l'intégrale
Qfc+/+,„4....1 ^0
conserve un sens lorsque h augmente indéfiniment, on peut dans la formule précédente faire croître h au delà de toute limite. Remplaçons alors les quantités a, i,c, ... par l/-> 1/-' 1/ -» ••• et 6 par 6*, on obtient alors l'expression
n... f{ax'' + fry' -+- cz'' -f- ...) x^-^y^-^ 2'"-^ ... rfa; rfy dz ...
par ...a<'h'i c^ ... Il- h i--J
Liouville (J. rfe Ltoie., t. IV, p. 2-5 ...) donna la généralisation des théorèmes de réduction des intégrales multiples aux fonctions gamma et les nouvelles propositions auxquelles il arriva furent
elles-mêmes bientôt généralisées et trouvèrent un grand nombre d'applications. Nous citerons:
Raabe, Réduction des p. fachen Intégrales.
j ? (^l'^V + ••• + cip^'/) ^T^ -. Xp^^dx^ dd\ ... dxj^,.
(/. deCr.,t. XXVII, p. 19.)
Most, Ueberdrei Integrationen innerhalb . . . {SchL Z., t. XIV, p. 422).
Catalan, Mémoire stir la réduction d'une classe d'intégrales multiples {J, de Lieu., t. IV, p. 323).
§ 24. La Ibrmule
^^nx ^-1 flj.
permet de démontrer quelques théorèmes remarquables sur les séries des puissances réciproques des nombres entiers. On déduit en effet de la considération de cette intégrale les théorèmes suivants.
En mettant à la place de 7i successivement les nombres2, 3,4, ...^ on a
et en faisant successivement a = 2, 3, 4 ... on a
a«i« as=ti
,, y ù ù n"" Jo i—e-*ùa\ J^ i—e"
e-"" dx= 1.
La somme des puissances réciproques de tous les nombres entiers est égale à funité.
D'une façon plus générale on a
rfBBjD
a»mi n«il
Si dans la formule (I) on fait n successivement égal à tous les nombres pairs, on a
Z (âïïy- ~ TT^J„ i^=~tf=^ ~ r(fl)J. «^-1'
et par suite
nmmx. NMTx
<ii.S nol
La somme des puissances réciproques de tous les nombres pairs est égale à i2.
Si dans la formule (I) on donne à n toutes les valeurs de la forme An + S, on obtient la relation
Z(4nH-3r"" r(a)Jo l-c"'-^^ ^T(a)Jo ~ê*^^^'
et par suite
ffca-X 11= X
et ces intégrales se déterminent facilement; on obtient
On a de même
rMBOD N«ax
Enfin, en faisant n = 2, 6, 10, ... in + 2, ... on obtient les relations
Z(4nT2r"" r(S)Jo 1-c-^ r(â)Jo ^^-1 '
nasO
et par suite
Voir à propos de ces différents théorèmes :
Stem,/. deCr.^i. X, p. 209.
Steiner,/. de Cr., t. XIII, p. 361.
Meyer, Best. Inleg. et Gr. Arch,, t. XLI, p. 220.
Supposons que pour toutes lés valeurs de x comprises entre et 1 on ait l'équation
{fi) F (a?) = Ao 4- Ajj? + AjiP* H- ...,
remplaçons dans les deux membres x par x^** et multiplions-les par le facteur
rintégrale prise entre les limites et 1 du premier membre donne
r (f-'{^—^y-'F(xf^)dfi.
et pour le second membre, on obtient, en tenant compte de la formule de réduction des fonctions B aux fonctions r,
Si Ton suppose q entier et positif, on a donc
i (a-4-&)(a + b4-l)...(a4-ft4-î— 1) f A,^»
et, dans tous les cas où Tintégrale peut s'exprimer sous forme finie, on arrive ainsi à sommer la série du second membre. Prenons, par exeniple, F(a;) = (l +x)^, on a alors
Vr(g)Jo ^ ^ ^ a(fl-f-l)...(a + î — 1;
^^^ i(a + 6)(a4-6+l) ... (a-^b-hq-l)
