fl4-26)(a + 2fc4-l)...(a-+-2ft
Lorsque a et 6 sont des nombres entiers, l'intégration peut être effectuée. Si, par exemple, on a
a = b = l, î = 3, |jL = — 1, il vient
[ "" T2;3 "" ïJa "^ 3XB ~ IXë "^ '••'
jî étant compris entre — 1 et-f 1.
Si dans la formule (8) on fait 6 = 1, a; = 1, a étant alors supposé positif, l'intégrale est alors une intégrale eulérienne de seconde espèce, et il vient
. r(î)r(a4-ç-h[jL) a(a-4-l) ...(a-t-j — 1)
ix(|x-l) 1
Dans la formule (6) remplaçons dans les deux membres JD par 07 6 et multiplions de part et d'autre par
en intégrant entre les limites et 1, on obtient
Si l'on fait, par exemple, F («)=(! — a?)^, on trouve
re'-'(i ey-*-'(i— oop)
db
' a(a-t-l)(a + 2) fc(&-i-l) (b-h2) ^
et il y a bien des cas où Ton peut effectuer Tintégration figurée au premier membre. Si Ton fait en particulier a? = 1, Pintégralc est une intégrale eulérienne de première espèce, et il vient
r(c) r(c— fc— g) __ ab a(a-\- 1) bjb-hi) r(c— a) r(c— ft)"" "^Ic"^ 1.2 cJcTT)
jf fl(a-i-l)(a-f-2) &( & + !) (6 + 2)
où l'on doit nécessairement supposer c > a + 6.
Inversement, si Ton choisit F (a;) et les constantes A en sorte que la série du second membre ait une somme connue à Tavance, on peut obtenir par les formules précédentes, les valeurs d'un
grand nombre d'intégrales définies.
Dans la formule (12) faisons a = — âM'>*=â.^j^ = ^'^=^*
et le second membre est alors le développement de cosuarcsin^.
Si nous posons en outre a = arc sin z et si nous faisons 6 = sin* (o, il vient
I * sinf*-^ e cos-J"e(l-sin»asin*e)«de = ^ ' , ^ cosixa;
oL doit être compris entre et 4 et a entre — ô®* + i*
Les considérations précédentes sont enripruntées à Schlômilch {Compendium, t. II, p. 277...).
Le second membre de la formule (12) est la série appelée hypergéométrique que Gauss a étudiée dans le Mémoire que nous avons souvent cité {Werke, t. III) et qui a donné naissance aux remarquables travaux de Kummer^ Jacobi, Goursat, etc. C'est à Toccasion de la formule (13) que Gauss s'est trouvé amené à étudier d'une façon plus particulière la fonction gamma.
D'autres applications à la théorie des suites ont été exposées par Limbourg {Théorie de la fonction gamma, p. 120...).
Il convient encore de citer à ce point de vue Schlômilch (Schl. Z., t. III, p. 130), Lejeune-Dirichlet (/. de Cr., t. XVII, p. 57). Voir aussi Berger, sur une sommation de quelques séries. {Nov. Ad. Upsaly XIIJ.
§ 25. La fonction i^{v) peut servir à sommer plusieurs suites remarquables.
Considérons la somme
b 6-4-c ft4-2c *" b-hnc' On a évidemment
- + 1 - -f Le c
et par conséquent
^iH-l Sj, ^
ou bien
S„^i ? J^ 4- n 4- 2) = S» - ^ J^ 4- n + iV
On voit donc que ia différence
ne change pas quand on augmente ou quand on diminue n d'une unité. On a donc
et, par suite,
On aura, par exemple.
Soit encore
(3) S, = ^ - ^TjT^ + Y^^r^c ~ - ~ bTï^xTiTc'
Sx = T 4- î :r- + ... 4-
I) fc4-2c " b-^ixc
bTc "^ fcTâc "^ ••• "^ fcT(2^TT)c/'
138 G. BRliNEL.
et, en employant la formule précédemment établie,
ic^\ic
\ -b^c-rc^kc-^'^-^^J'^rc^kc'^V'
Faisons croître x indéfiniment, on aura à la limite
.tK
et par conséquent
^ b b-hc 64- 2c
Par exemple, en faisant 6 = i,c:=1,ona si l'on fait b = i, 0=2,
= li;
c'est-à-dire
-•=ln["(I)-K0]
Considérons encore l'expression connue
sinç
ir.
que nous écrirons
sin ç <p ç — K
9 2'ÎT
ç-i-';: f + i:+i: ç + r + Si:
En appliquant deux fois la formule (5), nous trouvons 1 T lû
sin 9 (^{t: — (p) (<p4-7:) (ç + 27c)
jI<'^MW)-<'^)-<-^)}
Faisons ç:=mT: et il vient
sinfw:: w(i — m) (m + i) (rw -f- 2)
i[H-?)-'m^Kr'f)-HM)]-
Si dans cette formule on remplace -^ par x et si Ton tient
compte de la formule
il vient enfin
formule facile à vérifier au moyen de la relation des compléments .
Au sujet de Tapplication des fonctions
dlTjx) d^lVx dx ' dx' ' •••'
nous renverrons en particulier à une Note de M. Appell (C. /?., t. LXXXVI, p. 953).
Le terme général du binôme (p + ç)^ est
