Chapitre III

» que si Téquation (i) a lieu pour une valeur irrationnelle j^, on » pourra toujours en déduire une autre de la même forme, dans » laquelle j^ soit rationnelle, en changeant convenablement le » coefficient a, les quantités e, et Cj, c et e restant les mêmes. La » méthode qui s offre d'abord pour résoudre le problème dans le » cas où j^ est rationnelle est celle des coefficients indéterminés; » or, on serait bien vite fatigué à cause de l'extrême complication » des équations à satisfaire. Je crois donc que le problème suivant, » qui conduit de la manière la plus simple à la solution complète, » doit peut-être mériter l'attention des géomètres. »

L'exposition de la méthode diffère essentiellement de celle qu'on trouve dans ses Recherches. Dans cette première étude de la transformation, le raisonnement se présentait comme une vérification; ici, Abel part des prémisses, et cherche la forme d'une fonction rationnelle de transformation j^ i^^'l-^)- Le moyen (qui se sent toujours de sa forme d'esprit algébriste) consiste à chercher les racines de cette équation ^^^K a: ),^ étant supposé donné. On voit facilement qu'alors les diverses valeurs de x sont des fonctions àtjr qui répondent à la transformation avec même module. Ayant les racines par la considération de la fonction inverse, on obtient facilement la fonction y. Dans le calcul s'introduisent trois constantes arbitraires. Le problème des transformations rationnelles est complètement résolu (14).

Abel, à la fin du Mémoire, donnait encore, fixant ainsi tous ses droits de priorité, tous les résultats de ses recherches sur la question. 11 annonçait :

1° Qu'il suffisait de considérer des transformations de degré premier;

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des équations; il n'eût pas, quelques semaines plus lot, commencé un tel travail, car il n'est pas parvenu à élaborer une théorie aussi complète qu'il le désire, il na pu trouver l'expression algébrique la plus générale répondant à une équation de degré donné; mais il a découvert un critérium de résolubilité algébrique; plus tard, il démontrera que les racines algébriques s'expriment toujouis en fonction des racines d'équations Abélicnnes; c'est alors qu'il arrêtera la publication du Mémoire sur cette classe particulière d'équations, Mémoire qu'il a envoyé à Crelle, au mois de mars, et qui ne paraîtra que bien plus tard. De toutes ses découvertes-, il compte probablement faire un seul ouvrage dont le retentissement sera, pense-t-il, immense.

Bientôt, il donne, de son état d'esprit orgueilleux, une manifestation d'une autre sorte, d'ailleurs malheureuse :

Crelle lui a demandé s'il était disposé à accepter, au cas oîi on la lui offrirait, une chaire à Berlin.

Abel*écrit le 21 juin, au Conseil Académique, une lettre qui, sous une forme respectueuse, est une véritable mise en demeure. Peut-on lui promettre une situation définitive à Christiania?

Il s'aperçoit bien vite de sa maladresse, et huit jours après, le 29 juin, il écrit qu'on suspende toute décision au sujet de sa lettre. Mais il est trop tard, la demande est parvenue jusqu'au Ministère qui se trouve alors conduit à examiner la situation d'Abel; et, par suite, à demander qu'on retienne, sur ses appointements de Docent, le montant de la bourse accordée à titre de prêt. Tannée précédente. Le Conseil Académique intervint heureusement pour éviter au mathématicien ce nouvel ennui. En même temps, un journal s'est emparé de l'affaire et en use, on ne sait dans quel but, pour le ridiculiser.

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io6 Chapitre III.

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» De la très belle Madame Hansteen, le plus misérable chien.

Mais qu'on ne se trompe pas au ton de cette lettre dont la résignation, comme autrefois, ressemble bien à de la mollesse. Abel n'est plus Tenfant qu'il était : un billet écrit huit jours plus tard à Holmboë témoigne que l'abattement a été passager; Torgueil et l'énergie combative ont pris le dessus : « Mon exécution de Jacobi est imprimée, dit-îl, j'en prépare une autre qui doit partir. »

Dans les premiers jours d'août, il est de retour à Christiania pour y a travailler dur avec ce qu'il a ». Il travaillera dur, en effet, et sa production sera si féconde qu'il y trouvera l'oubli de la misère quotidienne; il y trouvera aussi un adoucissement à une tristesse nouvelle, le départ de M"**' Hansteen. Elle quitte Christiania en septembre; le jour de son embarquement, Abel, malade, ne peut l'accompagner au port^ sa peine est immense : « Comme c'est étrange, écrit-il peu après, je ne puis me mettre dans la tête que vous soyez partie et je suis souvent sur le point d'aller chez vous.

» ... Je ne vois littéralement personne. . . »

Mais la conscience plus nette qu'il a de son génie a maintenant donné un but à son activité; plus que jamais, il vit pour son travail; ce travail n'est plus ce qu'il était, une création presque involontaire; une volonté le règle, une volonté tendue vers la gloire.

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ro8 Chapitre III.

abandonné; nous en avons déjà parlé, c'est le Précis d'une théorie des fonctions elliptiques.

Le 27 août, il envoie à Creile des théorèmes Sur les fonctions elliptiques et débute ainsi : « La formule donnée par M. Jacobi peut être établie facilement par un théorème... ». C'est sans doute là la « seconde exécution » dont il a parlé dans le billet de Fro-

en

land. Abel donne l'expression de o f ^ ; — j explicitement

fonction de cp (6), et une formule plus générale.

Le 25 septembre c'est l'envoi à Schumacher d'un second Mémoire Sur la transformation; l'étude est limitée au cas des modules réels. La démonstration est extrêmement simple et très remarquable : pour la première fois, on ne sent plus l'influence directe de la théorie des équations sur celle des fonctions elliptiques, et cela, bien que le problème soit traité en considérant la fonction inverse. Seule la propriété de double périodicité entre en jeu.

Plus tard, pour le Journal de Creile, le Mémoire Sur le' nombre de transformations différentes qu'on peut faire subir à une fonction elliptique par la substitution d'une fraction rationnelle de degré donné. C'est là une question que n'a pu élucider Jacobi.

Enfin, pour le même journal, \^^ Notes sur quelques formules elliptiques, démonstration des formules concernant les relations entre les modules de deux fonctions transformées l'une dans l'autre. Le nom de Jacobi y est plusieurs fois cité.

Ces Mémoires sont les seuls qu'Abel ait eu le temps d'achever et qui aient été publiés, la plupart d'ailleurs en 1 829 seulement. D'autres sont préparés et, non plus à l'état de brouillons informes

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