Chapitre IV

Tanaiyse pure qu'il ignorât un fait aussi important que la prise en considération du théorème d'Abel.

Ce n'est donc ni de Tindifférence, ni de Tégoïsme qu'eut à souffrir Abel; et, si les savants furent coupables envers lui, ce fut par suite de leur ignorance ou plutôt de leur incompréhension.

Cette incompréhension s'explique si l'on se rappelle ce qu'était en 1826 la science mathématique; s'il est impossible d'en faire ici un tableau complet, du moins peut-on en quelques lignes indiquer quelle était sa tendance.

Il faut dans la Science distinguer deux choses : le but et la méthode. Le but semblait être de développer l'analyse selon les nécessités de la Mécanique, de l'Astronomie et de la Physique. Depuis qu'au xviii® siècle Euler, d'Alembert, les BernouUi avaient montré quel admirable outil d'investigation était le calcul différentiel appliqué à l'étude des phénomènes naturels, depuis que Lagrange avait, par sa Mécanique analytique, systématisé la méthode de recherche, une admirable école s'était formée qui avait eu sa plus haute expression dans Laplace, l'immortel auteur de la Mécanique céleste; auprès de lui les mathématiciens comme Poisson, Ampère, Fourier avaient abandonné les recherches de pure abstraction pour étudier les phénomènes physiques, l'élasticité, la chaleur, l'électricité, l'optique. La Mathématique n'était plus pour eux une science existant par elle-même, c'était un instrument de recherche; le but de ces géomètres semblait être d'obtenir par l'analyse des résultats numériques qui devaient s'appliquer à des expériences ou les vérifier. Quant à leur méthode, elle était purement analytique. La Mécanique de Laprange avait eu pour effet l'abandon

Quelques Réflexions à propos d'A bel. 1 3 1

des méthodes intuitives de Newton et même celles d'Euler; et il semblait que, toujours, par des calculs algébriques soigneusement et rationnellement conduits, on dût arriver à résoudre, au moins par approximation, les problèmes mis en équation. Quelques personnes pouvaient croire qu'on était enfin parvenu à une Mathématique universelle.

Peu nombreux étaient ceux qui considéraient la science mathématique en elle-même, ce qu'on appelle la science de spéculation. Elle avait eu des représentants illustres : Lagrange^. le génie le plus intelligent et le plus divers de Tépoque^ et Gauss; et, maintenant, entre autres géomètres, Legendre et Cauchy. Legendre avait refait la Géométrie élémentaire, étudié la théorie des nombres et celle des intégrales elliptiques ; son œuvre était isolée parmi les travaux de ses collègues et il ne semblait pas qu'il eût fait des disciples. Quant à Cauchy, qui publiait ses admirables Mémoires sur les intégrales prises entre des limites imagi* naires, il avait su faire voir, par de nombreuses applications à l'expression en termes finis de diverses séries et de nombreuses intégrales définies, que ses études, bien qu'abstraites, bien que nées d'un travail d'intuition, avaient une portée pratique; mais il ne semble pas que l'on rendît pleinement justice à son génie, et, malgré la nouvelle impulsion qu'il donnait à la Science, les géomètres étaient encore, pour la plupart, dans ce seniiment, exprimé soixante ans plus tôt par d'Alembert, que l'Analyse ne pouvait se développer d'elle-même et qu'elle n'avait de vie que par son application à la Mécanique.

C'est à cette école de Mécanistes que vint se heurter le génie d'Abel; tout était différent en lui, la tendance, la méthode, l'esprit ménje. Ce qu'il apportait était justen^çnt ui^e science qui,

i32 Chapitre IV.

née d'une intuition merveilleuse de la pure pensée, n'avait d'autre appui, d'autre nourriture, que cette pensée même; elle ne présentait ni base concrète, ni représentation géométrique, ni application tangible; et, si son auteur pensait qu'elle avait quelques racines dans le passé, ces racines étaient si ténues que d'autres que lui ne pouvaient les percevoir. Et cela, qui est vrai de toute son œuvre. Test surtout du Mémoire qu*ilprésentaità l'Institut. Ce Mémoire ne pouvait attirer l'attention par sa valeur profonde, il ne le pouvait non plus par ses détails. Si Abel avait présenté un travail sur les fonctions elliptiques, sujet déjà connu, peut-être l'eût-on écouté. S'il avait, comme Jacobi le fit plus tard, appliqué ces fonctions à des équations de la dynamique, sans doute eût-il été bientôt célèbre. Mais, naïvement, il offrit ce qu'il savait être sa plus pure création, et des hommes que rien ne préparait à entendre un tel sujet ne comprirent pas; peut-être même ne cherchèrent-ils pas ce qu'il y avait à comprendre, car, à un moment oîi, à l'aide de l'analyse, ils étudiaient les phénomènes les plus mystérieux de la nature, les géomètres ne voyaient pas d'intérêt à une classification de fonctions transcendantes. On ne doit pas s'en étonner : pour qu'ils comprissent la portée du théorème d'Abel, il leur aurait fallu faire un grand effort, non seulement d'attention, mais d'imagination; et, d'ailleurs, qu'aujourd'hui encore, après quatre-vingts ans, un étudiant, dont l'instruction n'a porté que sur les théories nécessaires à l'étude de la Mécanique rationnelle, ouvre le Mémoire de Paris, il est douteux qu'il en comprenne la portée et qu'il en continue la lecture.

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i34 Chapitre IV,

Cette communauté dans les préoccupations, la même mort prématurée, sont des analogies qui lient dans notre mémoire les noms d'Abel et de Galois; et, pourtant, malgré cette similitude, on ne saurait joindre dans un même sentiment deux génies plus dissemblables, deux œuvres plus différentes.

Sans insister sur l'opposition qu'il est facile d'établir entre leur caractère, — Abel, doux, timide, puérilement en dehors de tous les événements extérieurs; Galoîs, ardent révolutionnaire, passionné, irascible, mourant dans un duel pour une histoire de fille, — il faudrait tâcher de voir comment la forme de leurs ouvrages se ressent de leur nature.

Qu'on lise les Mémoires mathématiques de l'un et de l'autre, et Ton percevra immédiatement quelle empreinte cette nature peut imprimer à des travaux qui semblent créés indépendamment de la sensibilité.

Les Mémoires de Galois sont ardus, rébarbatifs, incompréhensibles même; si. avant de les lire, — non seulement la lettre à Auguste Chevallier, mais les travaux antérieurs, — on ignore complètement la théorie des groupes de substitutions, on est mis violemment en contact avec l'exposé âpre d'une science nouvelle à laquelle on ne trouve aucun lien avec des travaux passés. Car il faut noter que si les idées de Galois ne sont pas absolument nouvelles (la théorie des groupes revient au moins àCauchy, l'idée de la résolvante à Abel, si ce n'est à Lagrange), jamais, — sauf le nom d'Abel une fois prononcé, — Tauteur n'indique qu'il ait puisé à des sources. Et qu'on ne croie pas qu'il agit ainsi par orgueil, la raison est plus profonde : Galois agit en révolutionnaire, il construit des théories mathématiques,

Quelques Réflexions à propos d'Abcl. i35

comme il construirait des théories sociales, et^ s il fait des emprunts au passé, il oublie, il désire peut-être oublier qu'il fait ces emprunts. Dans la vie, il traite d'ailleurs les mathématiciens comme des ennemis politiques et refuse toute explication à des gens qui, pense-t-il, sont de mentalité trop différente pour le comprendre.

Tout autre est Abel; le début de chacun de ses Mémoires est précédé d'une introduction qui marque en quoi il se rattache aux travaux des grands géomètres ses prédécesseurs. Cette façon d'agir est peut-être née de la lecture des ouvrages de Lagrange, dont il semble avoir voulu imiter la forme classique, mais aussi, elle est bien dans sa nature. S'il crée une science nouvelle, c'est, pour ainsi dire, inconsciemment; il reste profondément traditionnaliste et ses théories ne sont, dans leur principe, que des généralisations de théories connues; enfin, on Ta vu, quand Crelle lui demande des détails sur une démonstration, il se donne tout le mal possible pour se faire comprendre.

Aussi, si ces deux jeunes mathématiciens furent incompris, si l'un et l'autre eurent à soufifrir de l'ordre des préoccupations des géomètres, il faut avouer que, pour Galois, il se joignait à cette cause profonde d'autres causes presque matérielles. Ses Mémoires semblaient être volontairement incompréhensibles; pour en saisir le sens, il ne suffisait pas d'y appliquer sa pensée, il fallait en démonter le contenu, puis le reconstruire. Pour ceux d' Abel, au contraire, il aurait suffi peut-être d'une attention un peu soutenue; ils étaient clairs, simples, pour qui aurait voulu s'attacher à en comprendre le sens. L'œuvre de Galois dut attendre trente années avant qu'un mathématicien la refît. Abel, de son vivant, avait trouvé un interprète.

i36 Ciapitve IV.

Jacobi prit en main sa glorification. Ce fut lui qui baptisa les fonctions à différentielle algébriques du nom de Fonctions abéliennes, et le théorème par lequel on les étudiait, de celui de Théorème d^Abel, Il devait, a-t-on dit, montrer au monde ce qu'Abel avait été.

Il serait puéril de vouloir résumer en quelques lignes ce que |

devinrent alors les théories abéliennes. Ce serait résumer l'œuvre j

de Jacobi, de Riemann, d'Hermite, d'Halphen, de tant d'autres !

qui devaient suivre la voie indiquée par le jeune Norvégien. '

L'introduction des fonctions abéliennes a été la plus grande révo- |

lution qu ait subie l'Analyse au xix* siècle. Mais ce n'est pas |

seulement le théorème d' Abel et les fonctions elliptiques dont il \ faut admirer le sort. Il n'est pas, je crois, un Mémoire écrit par

Àbel qui n'ait eu un prolongement dans l'histoire des Mathé- {

matiques; cequ'il avait rédigé de la théorie des équations servit \

de base aux études de Kroneker qui devait, quarante ans après \

Abel, parvenir à des résultats qu'Abel avait connus, comme on j peut le vérifier en interprétant le sens de plusieurs pages de

calculs notés sur ses cahiers de brouillon; ses théorèmes sur la !

convergence des séries eurent leur place à côté des travaux de j

Cauchy; un travail même qu'il avait fait avant son départ pour |

l'Europe sur l'échange du paramètre et de l'argument fut repris !

par Jacobi. « Abel, disait, je crois, Hermitc, a laissé aux î

mathématiciens de quoi travailler pendant cent cinquante j ans. Ji

Et peut-être avons-nous perdu bien des travaux d'Abel; on '

Quelques Réflexions à propos d'Abcl.

croirait que le sort qui avait poursuivi sa vie s*attacha à détruire une partie de son œuvre. Le Mémoire de Paris fut entre les mains de l'éditeur assez de temps pour être imprimé; puis il disparut, et on ne le revit jamais; les papiers de Crelle furent dispersés, et Ton ne put en retrouver trace; enfin un incendie détruisit la plus grande partie des papiers de Holmboë. Mais que sont d'ailleurs ces Notes égarées, auprès de ce qu'Abel emporta dans la tombe I Quand on voit tous ces travaux à peine commencés et pourtant déjà conçus dans leur ensemble, le Précis, ébauche d*un grand ouvrage projeté, le Mémoire sur les équations, le Second Mémoire sur les fonctions elliptiques, le Traité sur les séries, enfin le Mémoire sur le théorème d^ audition, cette page écrite à Froland, on songe avec une émotion profonde que quelques mois d'existence auraient permis à Abel d'achever son œuvre.

Et pourtant, un génie comme Abel, quel qu'eût été le moment de sa mort, aurait laissé des travaux incomplets : il n'aurait pas achevé son œuvre parce que son œuvre ne pouvait être finie; s'il eût vécu, il aurait seulement été plus avant dans ses découvertes, mais, à quelque point qu'il en fût parvenu, il serait mort encore trop tôt. Il était de ces hommes qui semblent avoir pour mission de donner une impulsion nouvelle aux travaux de pensée pure : quand on considère l'ensemble de son existence, la misère de sa vie, l'immensité de son génie, on ne peut s'empêcher d'avoir un sentiment mystique. Abel prend place dans la lignée des Socrate, des Archimède, des Descartes, des Spinoza, de ceux qui montrèrent à l'humanité la puissance créatrice de l'intelligence repliée sur elle-même. La science de pure spéculation est, comme la Philosophie, une création de ces hommes,

i38 Chapitre IV. — Quelques Réflexions à propjos d'Abel.

car, contrairement aux sciences physiques, elle ne peut s'accroître, se renouveler que par. des à-coups de génie.

La science physique (en y comprenant la Mécanique rationnelle), s'appuie sur des objets, sur des faits, elle s'accroîtra toujours, lentement peut-être, mais sûrement; entre des faits expérimentaux une coordination sera toujours possible à établir, et Tintervention des grands esprits se marquera par une vue plus générale, plus simple, dans ces coordinations. La science pure, au contraire, n'ayant aucun appui concret, ne peut se passer du secours d'une intelligence créatrice, et, si, pendant un long intervalle de temps, une telle intelligence géniale n'intervient pas, cette science peut disparaitre; non pas que les problèmes posés soient épuisés, mais parce que les hommes n'y trouveront plus d'intérêt.

En revanche, il est possible de penser que, dans plusieurs milliers d'années, les savants considèrent les sciences physiques comme finies; ce sera le jour oîi, ayant établi entre les divers phénomènes de la nature des coordinations très simples, ils n'imagineront pas qu'ils puissent aller plus loin par une vue purement extérieure des choses ; tandis que la science pure, créée par la pensée, devra vivre autant que la pensée elle-même, se transformant avec elle, et, abandonnant même, peut-être, un jour, la forme brutale du syllogisme, pour une autre qui soit en accord plus intime avec le sentiment de la vie (22).

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