LE VOYAGE

Avant d'aller plus loin dans le récit de la vie d'Abel, il nous faut un instant revenir en arrière et chercher à voir, dans les travaux qu'il a exécutés jusqu'alors, quelle est la direction de sa pensée mathématique.

Le Mémoire sur l'équation est jusqu'alors le seul dont le jeune géomètre semble connaître la portée; les autres, très nombreux, dont quelques-uns ont paru dans une petite revue norvégienne, il les a laissés entre les mains d'Holmboë, comme des témoins de ce qu'a été son imagination d'étudiant. C'est à son ami (qui les publia dans les œuvres complètes en 1839), que nous devons la connaissance de ces travaux, premiers germes de théories qui rendirent illustre le nom d'Abel. Nous savons aussi, grâce aux registres de la bibliothèque universitaire, quelles furent les lectures d'Abel étudiant : les Institutiones d'Euler, la Philosophie naturelle de Newton, les Ouvrages de Mécanique d'Euler, de d'Alembert, de Lagrange, de Poisson, de Laplace, les Disquisitiones arithmeticœ de Gauss, enfin, le Traité des fonctions elliptiques de Legendre; il faut y joindre, nous l'avons vu, quelques travaux de Cauchy.

Ce qui prouve combien le génie du jeune Norvégien est per-

26 Chapitre II.

sonnel, c'est le peu d'influence qu'ont eu ses lectures sur l'ordre de ses préoccupations. Il nous faut faire exception pour deux auteurs : Euler et Legendre. Euler a été le premiermathématicien qu'Abel ait connu, le premier dont l'intelligence, la richesse, l'aient séduit; il se sentira longtemps de cette séduction. Pour ce qui est de Legendre, il a dû agir sur l'esprit d'Abel, par Tordre tout spéculatif de ses travaux; le vieux géomètre français est, avec Cauchy, le seul qui à ce moment s'occupe d'autre chose que de Mécanique analytique. Degen avait montré de la pénétration, en conseillant au jeune étudiant norvégien de s*occuper des fonctions elliptiques; Abel avait suivi ce conseil, et, le travail le plus considérable, de ceux qui nous restent de sa jeunesse, concerne ces fonctions. La plus grande partie de ce Mémoire intitulé Théorie des transcendantes elliptiques est sans originalité; on y trouve la classification et la réduction des intégrales (3); mais il faut noter quelques points qui sont de création purement abélienne; entre autres, la recherche des fractions ration-

nelles :j^ telles que

/•M dx^

soit exprimable par une fonction logarithmique, R représentant le polynôme du quatrième degré

R:=z(l — Ar«)(l — C^JC»).

Au cours de cette recherche, Abel résout Téquation indéterminée P2-Q^R = i, F et Q étant des polynômes en x.

Le Voyage, 27

C'est là que se représente pour la première fois cette forme

dont la décomposition en facteurs aura une si grande importance dans l'étude des fonctions elliptiques.

Ici même la décomposition suivante

pj Q«R — A:(n-WAr*)l*(i-+-n,:c*)l*'

sert à résoudre le problème de la réduction des intégrales elliptiques de troisième espèce par rapport au paramètre.

Ce Mémoire, œuvre de jeunesse écrite après la lecture de Legendre, nous montre la compréhension et l'ingéniosité d'Abel; il ne nous découvre pas encore ce que cette ingéniosité a de personnel. La première affirmation de sa personnalité nous allons la trouver dans deux travaux rédigés postérieurement à celui-ci; avant d'exposer leur objet, je voudrais ?iussi brièvement que possible expliquer un des caractères de celte personnalité ; c'est une certaine forme d'invention ou plutôt une certaine méthode d'invention, méthode instinctive, qui se manifestera plus clairement à mesure que nous avancerons dans notre étude et qui est la recherche de la raison d'être des faits mathématiques; Abel la formulera plusieurs fois lui-même : « J'ai trouvé, écrira-l-il de Paris, la raison pour laquelle les équations jusqu'au degré 4 sont résolubles et non pas les autres. »

Cette recherche de la raison, de la cause d'un résultat, il n'est pas un mathématicien qui ne Tait faite; il n'en est pas un qui n'ait senti quelque différence entre la raison rationnelle d'un fait, c'est-à-dire la raison tenant à la nature même des choses,

28 Chapitre IL

et la raison logique, laquelle tient seulement à Tordre d'un raisonnement; mais je crois bien que nul ne pourrait définir avec précision cette différence.

Pour qu'une certaine propriété A puisse être considérée comme la cause d'une propriété B, il faut, semble-t-il, que A et B satisfassent à deux conditions : i"" que le raisonnement conduisant de A à B soit simple, direct, presque intuitif; 2<» que la propriété A soit susceptible d'être généralisée en A', et que A' conduise, par une marche directe, calquée sur la précédente, à un résultat B' qui soit lui-même une généralisation simple du résultat B.

On voit combien cette définition est vague, ce qu'elle comporte d'arbitraire, de vicieux même (4) ; le fait de considérer une certaine propriété comme la cause d'une autre est l'expression d'un sentiment personnel; il faut dire pourtant que, souvent, en ces matières, un même sentiment est général; c'est ce qui donne une certaine force à la conception de la cause.

Abel faisait instinctivement cette recherche de la cause, il la faisait avec un instinct sûr, avec son génie, et parvenait à des résultats infiniment généraux; nous le voyons déjà dans les deux Mémoires dont nous allons parler, et dont nous pouvons, maintenant, concevoir la genèse :

Voici deux propriétés des intégrales elliptiques : la première, c'est le théorème d'échange entre le paramètre et l'argument, il s'exprime ainsi :

J [x-a]\/R[x] 'J (a-xWR(a)

— c'-\ f xl^ f àa r a}da C dx'\

Le Voyage, 29

la seconde s'exprime en appelant II (a:) une intégrale elliptique quelconque dont X est la limite supérieure par l'égalité

où j^, M et V sont des fonctions algébriques de JCi, JCj, . . . , jc„.

Ces deux propriétés étaient connues de Legendre; il est bien évidentqu'elles sont logiquement contenues dans n'importe quelle définition de l'intégrale elliptique. Pour Abel, il n'en est pas tout à fait ainsi : il trouve la raison delà première dans le fait pour la

différentielle de Tintégrale elliptique iy=^ "7= 1 d'être racine de l'équation différentielle

tandis que la raison de la seconde est dans le fait pour cette même fonction j' d'être racine de l'équation algébrique

Alors il peut généraliser les deux théorèmes : le premier Test dans les deux Mémoires : Sur une propriété remarquable d'une classe étendue de fonctions transcendantes et Extension de la théorie précédente (ce sujet fut repris dans un Mémoire envoyé à l'Académie de Trontjem en 1825) ; il considère la fonction définie par l'équation différentielle

dy

3o Chapitre IL

et posant

t=:^(x) et jrz=z^{x),

il parvient au résultat

dx da.

R étant un polynôme en jc et a.

Il généralise ensuite plus encore en considérant une fonction j' satisfaisant à une équation différentielle linéaire quelconque, à coefficients entiers en x.

Quant au second théorème, sa généralisation est la découverte capitale d'Abel, le Monumentum œre perennius, comme l'appellera Legendre, le théorème d'Abel comme on dit aujourd'hui : Soit une fonction j^ définie par une équation algébrique dont les coefficients sont des polynômes en x

Ao^''4- A,r""*4-.. .4-A„ = o,

considérons l'intégrale

F(x)=J f{x,x)dx..,,

f\x^y] étant rationnel en x et j', on a

V[x,) -\-¥[x,] +-. . . 4- F(^„) = u 4- 2 A;t lo^(v/,)

ATi, ATj, . . . , Xa étant toutes les racines d'une équation de degré n déterminée d'une certaine façon, Uk et Vk étant des fonctions rationnelles des x et Ak des constantes.

Voici donc deux importantes découvertes nées de Tétude des

Le Voyage. 3i

fonctions elliptiques par généralisation de deux formes différentes données à une même définition (5). Nous n'aurons plus guère à nous occuper de la première à laquelle Abel ne reviendra pas, bien qu'il Tait plusieurs fois projeté. Nous devons nous arrêter à la seconde, dont nous aurons souvent à parler.

On est surpris de voir ici, ébauchée dès ces premières années de travail, une théorie qui devra révolutionner un jour l'analyse. Il semble qu'Abel s'est ouvert un immense horizon ; comment expliquer qu'il tarde à l'explorer; nous le verrons dans un an seulement reprendre sa découverte.

Ces: que, pour lui, cette découverte est loin d'avoir l'importance que — avec un recul de soixante quinze années — nous lui voyons aujourd'hui. Son intuition géniale a été si peu préparée, si subite qu'il ne sait comment user de l'admirable instrument de recherche qu'il vient d'imaginer. Son théorème est si différent de tout ce qu'il a lu dans les ouvrages contemporains! Peur-il imaginer qu'il vient d'ouvrir une voie nouvelle aux Mathématiques par ce petit Mémoire modestement intitulé : Sur la comparaison des transcendantes? Est-il d'ailleurs à ce moment assez familier avec l'idée de fonction? Sait-il même ce qu'est une intégrale prise entre des limites imaginaires? Il faut songer que, jusqu'ici, en dehors de la théorie des équations et de celle des fonctions elliptiques, il s'est occupé surtout de l'intégration des différentielles algébriques. Ce qu'il voit dans son théorème, c'est un moyen de classer des transcendantes nouvelles et irréductibles, mais — bien qu'à la fin du Mémoire il y ait une petite application aux fonctions circulaires — il ne sait probablement pas encore qu'il a le moyen d'étudier les propriétés des nouvelles, fonctions (6).

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Le Voyage. 33

elliptiques; aussi, me reportant aux mots « chose impossible » qui se trouvent dans, la lettre d'Abel, je me rangerais volontiers à cette opinion, qu'il aurait employé le mot elliptique par abréviation, pour désigner une classe plus générale. Il est permis dès lors de supposer qu'il soit parvenu à un résultat impossible, étant donné qu'il n'avait certes pas encore la notion d'uniformité d'une fonction. La difficulté qu'Abel aurait rencontrée lui aurait donc masqué la valeur de la propriété de double périodicité qu'a la fonction inverse de la fonction elliptique, propriété dont il ne semble pas s'être servi avant ses travaux de Paris.

Ceci n'est qu'une hypothèse, je le répète, mais elle sera justifiée, je crois, par ce que nous verrons. Dans son Mémoire, Abel parle bien de. périodicité multiple, mais cela semble seulement une notation rapide, écrite par un esprit curieux que surprend au milieu de ses recherches un résultat étrange.

Tels sont les premiers travaux d'Abel; ils portent dès cette époque l'empreinte de son admirable génie.

Abel est de taille moyenne; sur son corps grêle, la tête paraît trop lourde, le crâne est fortement développé, des cheveux longs et abondants cachent à demi son front bombé, le menton est très fin, le teint pâle et mat. Dans cette physionomie d'être malingre, une chose est charmante, ce sont de longs yeux bridés, et leur grand regard d'enfant, très doux, souvent vague et rêveur. De mise négligée, sans assurance dans l'allure, Abel s'exprime difficilement dans toute autre langue que le norvégien.

34 Chapitre II,

Tel est le jeune mathématicien qui part à la conquête du monde savant. C'est un bien timide conquérant! Mais il est heureux^ plein d'ambition; fier de son dernier travail, il croit qu'il suffira d'en sortir de sa poche quelque exemplaire pour recevoir aussitôt un accueil enthousiaste. Il se sent fort aussi de ne pas être seul; deux camarades l'accompagnent : Boek, étudiant en médecine, et MoUer, minéralogiste* en chemin, il doit retrouver deux autres compatriotes, le géologue Keilhau, l'étudiant en pharmacie Machmann. Ces cinq jeunes Norvégiens ont tous une même ambition : rapporter de la vieille Europe â leur pays une culture puissante dans les différentes branches de la Science.

Quels étaient au juste les projets d'Abel? Il avait remis au Conseil Académique un projet de voyage; ce document est perdu. Il est certain que deux buts étaient désignés : Gôttingue, la patrie de Gauss, et Paris.

Abel et ses deux amis partirent à la fin de septembre et, après une traversée pénible de cinq jours, arrivèrent à Copenhague. Laissant ses compagnons continuer immédiatement leur voyage vers le sud. le jeune mathématicien s'arrêta en Danemark afin d'y revoir les gens qui l'avaient accueilli lors de son premier séjour. Le plus amical d'entre eux, le professeur Degen, était mort; mais Abel reçut un accueil cordial de la part du professeur V. Schmitten, qui lui conseilla d'aller à Berlin et d'entrer en relation avec le mathématicien Ci elle, dont il vanta le savoir et la bonté.

Après un court séjour chez la sœur de M™** Hansteen, il prit le vapeur à Lubeck et rejoignit ses amis à Hambourg.

Près de là, à Altona, il devait rencontrer Shumacher. Il attendait avec impatience, de la bouche de ce savant, confirmation des paroles qu'avait dites Gauss, à propos du Mémoire sur

Le Voyage. 33

V équation, Schumacher ne put que lui répéter sa phrase : « Voici encore une de ces horreurs. » Il ajouta, pour l'excuser, que Gauss, très chargé de travail, était peu abordable. Abel, blessé, et craignant aussi d'être mal reçu, décida de modifier son plan de voyage, de n'aller pas tout de suite à Gôttingue ; il suivrait le conseil du professeur V. Schmitten et se rendrait à Berlin.

Il ne s'avouait peut-être pas un autre sentiment qui le poussait à agir ainsi. Ses deux amis Boek et MôUer allaient à Berlin, Machmann y était déjà. Si Abel ne savait pas encore combien la solitude lui pèserait, il l'appréhendait déjà; il craignait instinctivement d'être isolé dans la ville universitaire et, en donnant libre cours à ses diatribes contre Gauss, il justifiait son désir de ne pas quitter ses camarades. Il semble bien qu'il manquait ainsi aux promesses faites au Conseil Académique. Mais quoi, cette visite n'était que différée et ne lui avait-on pas dit qu'il serait fort utile à son instruction d'aller chez le mathématicien Crelle ?

Après huit jours passés partie à Hambourg, partie à Altona, les trois étudiants se mirent en route et vers le milieu de novembre ils étaient à Berlin.

Le Conseiller intime étranger, Léopold Crelle, qui tient une place si considérable dans la vie d'Abel, n'était pas un homme de génie; mais il avait une culture puissante, une curiosité toujours en éveil et un goût passionné pour les grands esprits. Agé alors de cinquante-cinq ans, il avait vu les dernières années du siècle précédent, et nous apparaît bien comme un des derniers représentants de l'esprit encyclopédique. Sa grande capacité de travail, et surtout cette aptitude qu'il eut toute sa vie, à s'intéresser à de nouvelles études, font songer à la forme d'esprit du