Chapitre IL

Conseiller intime de Weimar. A soixante ans, quand déjà il menait de front, avec son métier d'architecte, la traduction, l'adaptation des œuvres scientifiques étrangères, la direction de sa Revue mathématique, il avait encore l'énergie de créer un journal de Génie civil. Dans les relations, c'était un homme infiniment aimable : « prévenant, dit Abel, sans être cuirassé de cette effroyable politesse dont se couvrent bien des gens », accueillant, ouvert, avec cette forme de bonhomie qui peut paraître à des Français un peu lourde, mais faite pour rassurer l'étudiant norvégien.

La première visite que lui fit Abel eut un début assez pénible. Crelle ne comprenait pas ce que venait faire ce jeune étranger mal vêtu, très timide, qui prononçait avec peine un allemand incorrect. Il crut, dit-on, qu'Abel, comme beaucoup de savants misérables, venait lui demander un secours.

Voici comment le jeune Norwégien racontait lui-même au professeur Hansteen cette première entrevue.

«... J'ai été assez heureux pour faire la connaissance du Conseiller privé Crelle... Arrivé à Berlin, je me suis rendu chez lui sans perdre de temps. Ce fut long avant que je pusse lui faire comprendre le but de ma visite et le résultat semblait devoir être lamentable, lorsque je pris courage à sa question sur ce que j'avais déjà étudié en Mathématiques. Quand je lui eus cité quelques travaux des mathématiciens les plus éminents, il devint tout à fait empressé et parut vraiment enchanté... Lorsque je lui eus dit que j'avais démontréTimpossibilité de résoudre l'équation du cinquième degré, il ne voulut pas le croire et dit qu'il y ferait des objections. Je lui remis donc un exemplaire, mais il dit qu'il ne pouvait comprendre la raison de plusieurs de mes conclusions.

Le Voyaf^e. jîy

»... Lorsque je lui exprimai qu'il n'existait pas ici de journal de mathématiques,' il dit qu'il avait eu depuis longtemps l'intention d'entreprendre un pareil journal et qu'il n'allait par tarder à le lancer. Tout est prêt maintenant et j'en suis enchanté, car j'ai ainsi où faire paraître tel ou tel de mes petits travaux. »

La création d'une revue qui lui fût ouverte était un bonheur inespéré. Abel se mit au travail avec passion. Le 5 décembre, il écrit à Hansteen qu'il a achevé quatre Mémoires (8). Tous n'ont pas paru, et, d'ailleurs, si l'on en juge d'après ceux qui ont été publiés, ces premiers travaux sont de peu d'importance; mais il en prépare d'autres : une nouvelle rédaction du Mémoire sur l'équation qu'il doit mettre un peu plus au « goût allemand » et une étude sur les Transcendantes elliptiques.

Avec quelle joie il parle de son travail, des longues heures passées dans la riche bibliothèque de Crelle, des promenades avec son protecteur : « Tu peux penser, écrit-il à Holmboë, que Pon s'en donne des Mathématiques, autant que mon mauvais allemand me le permet. »

Le Conseiller intime le reçoit aussi le lundi, à ses réunions musicales. Abel aime moins ces soirées, car son oreille est peu sensible. Un jour, un pianiste dont il a regardé fixement le jeu remarque sa physionomie attentive : « Je cherchais, lui dit Abel, quelle probabilité il y avait que telle note fût touchée. » Car sa pensée est tout entière absorbée dans des recherches mathématiques; il n'y a guère que le théâtre qui puisse la distraire. Abel adore le spectacle; il y va souvent; une fois dans sa stalle, il oublie ses calculs, et, quand il retrouve ses amis, il discute avec le plus grand sérieux du mérite des acteurs.

Pendant ces premières semaines de Berlin, il est heureux, il a

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des camarades, un nouvel ami; il apprend, il travaille, ils amuse. Son avenir même semble devoir être assuré. Une chaire à l'Université de Christiania va se trouver vacante, par suite du départ du professeur Rasmussen; il est probable qu'on la réservera à rétudiant Abel.

Pourtant, malgré cette tranquillité, certains jours, comme à Christiania, il devient sombre, et s'isolant, las de travailler, il sent que quelque chose manque à sa vie. Sa pensée va vers son amie, vers M™'' Hansteen, il lui écrit son ennui, les soucis qu'il a de ses parents, de ses frères et lui fait cet aveu qu'il ne ferait pas encore à Holmboë : « J'ai parfois une terrible nostalgie. » — Hiemwee dit la langue norvégienne — il se rend compte de ce que ses lettres ont d'étrange par leur mélange de sérénité et de tristesse : « Ne soyez pas fâchée contre moi, écrit-il, je dois vous paraître un peu bizarre. »

Les derniers jours de Tannée furent très animés. Toute la colonie norvégienne était réunie. Keilhauqui, en novembre, avait quitté ses amis pour aller faire des études de mines à Freiberg, était revenu pour fêter avec eux la Noël. Ce furent alors des parties de plaisir, des soirées bruyantes dans l'appartement qu'occupaierft les cinq étudiants. On raconte que le philosophe Hegel, qui habitait au-dessous d'eux, fit demander ce qui se passait. « Ce sont de jeunes Norvégiens, lui dit-on, qui fêtent leur réunion. — Des Norvégiens, répondit le travailleur irrité, non pas, ce sont des ours russes » (es sind russiche Bàren), Peut-être n'avait-il pas tout à fait tort? c'étaient des « ours », mais sans méchanceté, êtres gauches et mal dégrossis qui, déjà des hommes, continuaient de jouer comme des enfants.

Le Voyage. 39

Le calme revint. Abel retrouva les longues journées de travail dans la bibliothèque de Crelle. La richesse de cette bibliothèque justifiait à elle seule le désir intense qu'il avait eu de venir en Europe. Il n'avait en effet trouvé chez aucun des mathématiciens de Berlin la nourriture intellectuelle, ni la critique qu*il désirait; — aucun n'avait assez de génie — mais des livres, inconnus jusqu'alors, remplissaient un peu ce double but.

Certains, sans lui ouvrir peut-être des voies nouvelles dans le domaine de l'analyse, devaient donner à sa pensée encore hésitante une forme définitive, une méthode féconde et sûre. L'un d'eux, surtout, semble, à cette époque, l'avoir profondément impressionné : c'est le Cours d'Analyse de Cauchy.

Jusque-là, sa culture était demeurée presque purement eulérienne : Abel était le disciple des Inslitutiones ; ces œuvres si riches, puissants travaux d'approche dans le domaine de l'Analyse, avaient laissé dans le cerveau de l'étudiant la trace de leurs défauts; elles n'avaient pu lui apprendre ni la précision, ni la certitude dans la marche et dans le développement d'une théorie. D'autres ouvrages auraient pu contrebalancer cette influence : Abel admirait Lagrange si précis, si net, si classique, mais ne s'était pas attaché profondément à son œuvre, n'ayant probablement lu, jusqu'ici, que ceux de ses ouvrages qui traitent de la mécanique analytique; il n'aimait, nous le savons, que les sciences de pure spéculation, et, s'il est vrai que, dans ses études, sa sensibilité ait eu plus de part que sa raison logique, on peut comprendre — si Ton nous permet ce mot — qu'il n'ait pas sympathisé avec des

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études d'un caractère trop utilitaire. Mais, en revanche, deux mathématiciens modernes devaient certainement faire surlui une impression profonde ; c'étaient Gauss et Cauchy.

On sait qu*une certaine rancune l'éloignait pour l'instant du premier, on verra qu'elle le rendait même injuste pour son œuvre; il s'assimila immédiatement la pensée du géomètre français.

Il connaissait déjà quelques ouvrages de Cauchy — le Mémoire surPéquai ion du cinquième degré prouve qu'ilavait lu l'étude Sur les diverses valeurs d'une fonction denvariables — mais il n'avait pas encore pénétré sa doctrine. Par le Cours d 'Analyse^ il entra en contact avec cette intelligence si haute, si pleine d'imagination qui, la première, présentait les théories avec précision et indiquait une marche sûre. On peut imaginer avec quel enthousiasme il lut ce livre par lequel se trouvait vraiment créée l'Analyse, c'est-à-dire la méthode analytique. Il écrira un jour que Cauchy est « l'homme qui sait le mieux comment oa doit traiter les Mathématiques ». Abel exprimera ainsi avec précision ce que Cauchy a été pour lui : celui qui lui a montré à « traiter » les Mathématiques.

Ce qui a manqué jusqu'ici à son œuvre, c'est la précision et la méthode; le sentiment de cette imperfection dans ses recherches, et aussi dans la plupart des ouvrages de pure analyse publiés au siècle précédent, naît bientôt avec la lecture de Cauchy.

Il est exprimé dans le violent réquisitoire qu'Abel intercale dans une lettre à Holmboë, du i6 janvier 1826 :

«... Les séries divergentes sont en bloc une invention du diable, et c'est une honte que Ton ose fonder sur elles la moindre démonstration. On peut en tirer tout ce qu'on veut quand on les emploie, et ce sont elles qui ont produit tant d-échecs et tant

Le Voyage. 41

de paradoxes. Imagine-t-on quelque chose de plus affreux que de dire que

ou n est un nombre entier positif. Risum teneatis amici. Je suis devenu profondément attentif à tout cela, car, si Ton excepte les cas de la plus extrême simplicité, il n'y a presque pas dans toutes les Mathématiques une seule série infinie dont la somme soit déterminée de manière rigoureuse : en d'autres termes, ce qu'il y a de plus important en Mathématiques est sans fondement. »

Bientôt sa critique devient plus profonde, il a vu quelle était la faiblesse des méthodes mathématiques, il découvre quelles sont les causes de cette faiblesse; il écrira deux mois plus tard à Hansteen :

Dresde, 29 mars 1826.

« ... La Mathématique pure, dans son sens le plus strict, doit être à lavenir mon étude exclusive. Je veux m'appliquer de toutes mes forces à apporter un peu de clarté dans la prodigieuse obscurité que Ton trouve aujourd'hui dans l'Analyse. Elle manque à tel point de plan et d'ensemble, qu'il est vraiment merveilleux' qu'elle puisse être étudiée par tant de gens, et le pis est qu'elle n'est pas traitée avec rigueur. Il n'y a que très peu de propositions dans l'Analyse supérieure, qui soient démontrées en toute rigueur. Partout on trouve la malheureuse manière de conclure du particulier au général et il est très singulier qu'avec une pareille méthode il ne se trouve, malgré tout, que peu de ce qu'on nomme paradoxes. Il est vraiment très intéressant d'en chercher la raison. A mon avis, cela provient de ce que les fonctions dont

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l'Analyse s'est occupée jusqu'ici peuvent, la plupart, être exprimées pardes puissances. Aussitôt que d'autres interviennent, ce qui, il est vrai, n'arrive pas souvent, alors ça ne va plus, et de conclusions fausses découlent une foule de propositions incorrectes qui s'enchaînent. J'en ai examiné plusieurs et j'ai été assez heureux pour les tirer au clair. Pourvu qu'on emploie une méthode générale, ça va encore; mais j'ai dû être extrêmement circonspect, car les propositions, une fois admises sans démonstration rigoureuse (c'est-à-dire sans démonstration), se sont si fortement enracinées en moi que je suis à chaque instant exposé à m'en servir sans y regarder de plus près »

Ainsi, dans cet espace de trois mois, nous assistons à une transformation complète de l'esprit d'Abel. Nous l'avons vu hésitant; il est maintenant en possession d'une méthode, pour parler avec plus de précision, d'une discipline de recherches. Elle lui permettra de s'élever sans crainte jusqu'aux points de vue les plus éloignés de tout calcul concret pour descendre de là aux applications particulières. C'est dans cette méthode qu'il faut chercher l'origine de ce caractère de généralité et de puissance qui frappe dans l'étude de l'œuvre d'Abel; car on ne peut dire de cette œuvre qu'elle soit ingénieuse; les moyens employés sont toujours simples; les raisonnements ne sont pas pénétrants, comme sont les raisonnements géométriques d'un Poncelet, mais ils nous dominent par leur force, par la sûreté des déductions; ils agissent comme a pu faire la Géométrie de Descartes; les théories n'ont pas de séduction, elles ont de la grandeur. C'est ce caractère qui les rendit incompréhensibles pour les contemporains d'Abel.

Le Voyage, /i3

La transformation qui s'est opérée dans ses conceptions, nous la rattachons à la lecture de Cauchy. Il est impossible de ne pas établir un rapprochement entre les idées qu'exprime Abel à Holmboë et à Hansteen et celles qui dominent dans le Cours d'Analyse qu'il vient de lire. A la vérité, le jeune mathématicien parle peu de Cauchy; il ne savait pas comment étaient nées ses nouvelles pensées. Il était parvenu à un point de connaissance tel que son esprit devait subir la première impulsion forte et précise; ses lectures ont — si Ton peut employer cette image banale mais si nette — agi sur lui comme agit le cristal sur la matière à Tétat de surfusîon, elles ont mis en action son énergie latente, elles ont donné une forme à son génie.

Cette transformation fut très rapide, tant l'esprit avait pris de tension par le travail intérieur de trois années. Le dernier Mémoire qu'il ait écrit est celui de Christiania (sur les équations), si général, mais en même temps imprécis et si peu fécond; nous verrons bientôt le solide Mémoire de Freiberg.

Entre les deux, pour ne parler que des plus importants, Abel a écrit la nouvelle rédaction de ce Mémoire de Christiania ; elle marque bien une période de transition; la première était trop brève, celle-ci est trop lente; tous les points de la démonstration sont longuement développes, cette rédaction paraît fastidieuse, surtout après la lecture de la première sur laquelle celle-ci est calquée; elle ne donne plus ce sentiment d'une vue géniale qu'on avait eu précédemment, car Tauteur ayant senti sa faiblesse — l'imprécision — a trop craint de se laisser aller.

Abel a dû faire ce travail au début de janvier, car, lorsque, le i6, il écrit à Holmboë, il semble dire que cette rédaction est

44 Chapitré II.

achevée. C'est la seule où paraisse encore de Thésilation ; très vite, il doit avoir conçu la méthode qu'il exposera plus tard à Hansteen, car, dans cette même lettre, il fait part à son ami de ses projets, et ces projets sont extrêmement étendus; ses études ont déjà un caractère si général qu'on se demande comment un cerveau tout jeune ose les concevoir.

« Je me suis posé cette question : Trouver toutes les équations que Von peut résoudre algébriquement,.. Tant que le degré de l'équation est un nombre premier, il n'y a pas trop de difficultés; mais, lorsque c'est un nombre composé, c'est le diable. J'ai appliqué aux équations du cinquième degré et j'ai heureusement résolu le problème dans ce cas. »

Plus loin, il parle d'un travail sur les séries dont il cherche à rendre la théorie rigoureuse; nous le verrons bientôt s'attaquer directement à rechercher la somme de la suite infinie

m m (m — il „

pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x et de m.

Nous ne le suivrons pas immédiatement dans le développement de ces deux questions qui vont longtemps occuper sa pensée.

Nous l'avons vu raconter à Holmboë (le r6 janvier) ses projets, ses travaux, ses réflexions sévères sur les méthodes mathématiques. A un moment, la lettre a été interrompue :

« J'en étais là quand Machmann est entré, et comme,

depuis longtemps, je n'avais pas reçu de lettre de chez nous, je

Le Voyage. 45

me suis arrêté pour mUnformer s'il n'en avait pas une pour'moi, mais il n*y avait rien. Par contre, il avait reçu lui-môme une lettre, et, entre autres, il. a raconté que toi, mon ami, tu es nommé lecteur à la place de Rasmussen. Reçois mes félicitations les plus sincères et sois assuré qu'aucun de tes amis ne s'en réjouit autant que moi. J'ai souvent souhaité un changement dans ta situation, tu peux me croire, car être professeur dans une école doit être quelque chose d'affreux pour quelqu'un comme toi qui t'intéresses tant à la Science. A présent, il va falloir que tu t'occupes de trouver une fiancée", n'est-ce pas. J'entends dire que ton frère le Doyen en a trouve une. Je ne puis nier que cela m'a vivement frappé. Salue-le bien de ma part et félicite-le très chaudement, , -

» El maintenant, Je reviens à mon exemple »

Ces quelques lignes sont sans tristesse, et pourtant ce qu'Abel vient d'apprendre, c'est un premier écroulement de ses projets d'avenir. Il avait espéré remplacer Rasmussen, c'est son ami qui prend cette place. Ainsi, au moment où il entre en pleine possession de sa force, la fortune qui, déjà, fut si dure à son enfance, vient troubler le calme où pouvait vivre sa pensée. Il faut le dire tout de suite, nous verrons constamment les soucis l'assaillir dans les moments où son esprit offre les manifestations les plus hautes de sa puissance. De là vient une impression de balancement monotone entre le sentiment de sa grandeur comme mathématicien, de sa faiblesse comme homme. Notre imaginalion ne l'a pas créée, elle naît de la lecture de ses lettres, de l'étude de sa biographie.

Les quelques lignes écrites plus haut nous apprennent, tn\eux que les traditions, ce qu'est Abel : sa douceur, sonhonnèu^^^sa

46 Chapitre IL

sentimentalité, la profondeur de ses affections (car il n'écrit pas un mot qui puisse attrister son ami, pas une plirase où l'on puisse lire le moindre reproche), enfin, sa passion pour le travail qui Tempéche d'arrêter longtemps sa pensée sur ses soucis.

Une autre lettre datée du même jour nous livre un autre état de son âme. Il a dû récrire plus tard, quand, seul, las de travailler, il sent sa tristesse revenir; ses pensées vont alors vers M™" Hansleen :

(c Je vous aime tellement, chère madame Hansteen, qu'il faut au moins que je vous adresse quelques courtes lignes. Mais êtes-vous bonne aussi pour moi? J'ai si peur que vous ne le soyez pas, car je n*ai encore rien reçu de vous, ce qui me serait une si grande joie. J'ai tout de même un ferme espoir, car ma fiancée m'a écrit que vous aviez l'intention de m'écrire une petite lettre. J'ai encore une autre raison d'espérer. J'ai rêvé cette nuit que j'avais reçu une lettre de vous et je ne peux m'empécher de croire que mon rêve se réalisera : J'étais si heureux..... »

Le sentiment qui domine est celui de la nostalgie.

« Je voudrais bien être rentré au pays. C'est si singulier de se trouver parmi les étrangers. Dieu sait comment je supporterai de me séparer de mes compatriotes, ce qui aura lieu au début du printemps. »

Ce désir de vivre dans son pays s'accroît chaque jour. Déjà il amène Abel à refuser l'offre que lui fait Crelle de demeurer à Berlin et de diriger sa Revue mathématique. Il renonce ainsi à un bel avenir, et pourtant, dans cette situation, il n'eût pas vécu isolé, car Crelle est devenu son ami.

a J'ai vraiment fait en cet homme, dit Abel, une connais-

Le Voyage, 47

sance tout à fait excellente Au fond, je suis un homme chanceux; il y a peu de gens, il est vrai, qui s'intéressent à moi^ et ceux-là me sont infiniment précieux par Textréme gentillesse qu'ils m'ont manifestée. »

Crelle est à ce point amical que, sentant combien le jeune mathématicien craint de vivre seul, il lui offre de l'accompagner à Gôttingue et, s'il le peut, de le joindre à Paris.

Abel accepte. C'est un soulagement de ne plus devoir aller seul chez « Tinabordable Gauss » ; car, avec le temps, ses sentiments envers le grand savant ne se sont pas adoucis; il a contre lui une certaine animosité qui ne va pas sans jalousie :

« C'est extraordinaire, écrit-il, à quel point les jeunes mathématiciens portent Gauss aux nues, pour ainsi dire. Il est pour eux la substance de toute perfection mathématique; mais s'il est, en effet, un grand génie, il est certain aussi qu'il rédige mal. Crelle dit que tout ce qu'écrit Gauss est une horreur, car c'est tellement obscur qu'il est presque impossible de le comprendre.... D

Pourtant, dans chacune de ses lettres, il a dit son intention de l'aller voir; jusque-là il manquait de courage; en compagnie de Crelle, il se sent fort et capable de r« affronter ».

Les deux mathématiciens décident de partir ensemble au printemps; en attendant Abel, peut-être pour avoir le loisir de se livrer tout entier à ses travaux, quitte Berlin et va pour un mois chez son ami Keilhau qui, à Freiberg, poursuit ses études géologiques.

Pendant ce séjour paisible dans l'importante cité m'mière de TErzgebirge, auprès de cet ami dévoué auquel, au \ouï ^^

48 Chapitre IL

sa mort, il confiera sa fiancée, Abel va mettre en œuvre les matériaux qu'il a recueillis et préparés à Berlin.

A côté de la théorie des équations, dont Tétude se poursuit ainsi que le prouve Tenvoi d'un énoncé à Crelle, deux impor- N tants travaux sont effectués à cette époque.

Celui qu'on appelle proprement Mémoire de Freiberg, et qui, probablement, fut seul rédigé chez Keilhau, est une étude qui se rattache à la théorie des transcendantes elliptiques. Abel cherche quels sont les polynômes e et R, tels que

r dx

C'est la généralisation d'une étude faite dans sa jeunesse sur le cas elliptique (R de degré 4) : on voit là un aspect de son esprit, sa manière de distinguer, ce qui, dans un raisonneme'nt, se rapporte proprement à l'objet étudié et ce qui est généralisa ble; cette distinction lui est facilitée par l'heureux choix de ses notations.

Par différentiation, après comparaison des degrés, il arrive à devoir résoudre l'équation indéterminée

Pî-Q»R = I,

ce qu'il fait, comme il l'a fait déjà dans sa jeunesse, par une méthode analogue à celle qu'on rencontre dans l'analyse indéterminée numérique.

Le second Mémoire est l'étude de la série

i-\ X -\ ■ jc- -+-

Le Voyage, 49

Cette série a pour valeur (i -h j:)"*; mais, si m n'est pas réel et entier, (1 + x]^ a plusieurs valeurs. Laquelle de ces valeurs est représentée par la valeur unique de la série? Telle est la question que se pose Abel.

Ces deux travaux sont les premiers où se manifeste la force de la discipline qu'il s'est imposée; le second surtout est l'illustration des principes exprimés dans la lettre à Hansteen : L'auteur, s'inspirant directement de Cauchy (dont, au cours de la rédaction, il citera d'ailleurs plusieurs fois le nom), détermine d'abord plusieurs critères de convergence, puis avance pas à pas vers le résultat sans laisser derrière lui un seul point incertain. Il conduit ce travail avec lenteur; il Ta commencé à Berlin, le continue à Freiberg, ne l'achèvera que dans plusieurs mois; il parlera souvent dans ses lettres, et sur un certain ton d'affection, de ce Mémoire qui, quand nous lisons son œuvre, apparaît, au milieu des autres, comme une étude d*atelier parmi des travaux d'imagination. On dirait que, par instant, le mathématicien a abandonné ses recherches nouvelles pour parfaire un détail de cette étude, comme le peintre laissant sa composition commencée s'attache, pour éprouver la fermeté de sa main, à copier le dessin d'un maître. Il semble isolé dans la chaîne que forment les recherches d'Abel; le Mémoire de Freiberg a le même aspect d'isolement. Cette apparence s'explique : pour l'un, le Mémoire sur le binôme, par ce fait que la mort précoce d'Abel Tempécha de publier ses autres recherches sur les séries ; pour le second, par la transformation rapide des idées chez le mathématicien*, il est permis de croire, en effet, que, par une méthode analogue à celle qu'il emploie dans le problème de Freiberg, il avait étudié de^à plusieurs points de la théorie des fonctions elliptiques, Yattans^

5o Chapitre II.

formation entre autres, lorsque, plus tard, la découverte de Tinversion, ou plutôt l'usage de Tinversion lui suggéra une nouvelle méthode d'investigation.

Tandis que, dans la tranquillité de Freiberg, il se livrait avec acharnement à son travail, une fâcheuse nouvelle vint troubler sa quiétude : Crelle, retenu à Berlin, ne pouvait raccompagner à Gôttingue. Il se voyait donc contraint de faire seul ce voyage. Au même moment Keilhau quittait Freiberg pour rejoindre à Dresde Môller et Boeck avec lesquels il devait poursuivre son voyage à travers la Bohême, l'Autriche et la Suisse. Abel n'eut pas le courage de retourner à Berlin, d'y connaître dès maintenant la solitude, et, au lieu de remonter vers le nord, il accompagna son ami.

Quand il eut retrouvé ses compatriotes, il ne se sentit plus la force de les quitter. Il hésita pourtant à les suivre, à rejeter ainsi à une époque indéterminée la visite à Gauss, mais une lettre de Crelle arriva, qui justifia son désir; le conseil s'y trouvait d'aller à Vienne et de voir les mathématiciens Litrow et Burg. Abel put alors écrire à Hansteen, et, sur un ton infiniment respectueux, comme un enfant qui commet une faute, il lui expliqua qu*il partait avec ses camarades, qu'il suivait en cela l'avis de Crelle, qui ne jugeait pas nuisible à son instruction ce voyage à travers l'Europe. C'est dans cette lettre que se trouvent développées ses opinions sur les méthodes mathématiques. Constante opposition entre la force et l'autorité de son génie et la faiblesse de son caractère.

Après un séjour d'une semaine à Dresde, les quatre Norvégiens partirent vers le sud.

Le Voyage. 5i

Nous ne dirons pas tous les détails de ce voyage durant lequel Abel vécut Jes mois les plus heureux peut-être de son existence. Pour en suivre les événements, il faudrait copier ici les deux lettres qu'il écrivit à Holmboë, Tune de Vienne, l'autre de Bolzen.

Ces lettres rappellent celles qu'il lui adressa lors de son premier séjour à Copenhague. Abel est encore un étudiant heureux d'être en vacances; il a, dés qu'il n'est plus attristé par la solitude, la même gaîté, la même jeunesse; et les impressions qu'il communique à ses amis reflètent une âme de petit protestant honnête et sobre, dont la sensibilité puérile et un peu lourde fait songer aux mots d'ourson russe prononcés par Hegel.

Avec l'âge, il n'a pas acquis des curiosités d'artiste ni d'historien : Padoue est une ville affreuse; Vérone n*a de remarquable que ses arènes « oCi peuvent tenir vingt mille personnes » ; seule Venise inspire à Abel quelques phrases; à Prague, la vue du tombeau de Tycho-Brahé ne l'émeut pas. Peut-on penser que le souvenir d'un astronome ne saurait toucher son cœur, et que, peut-être, la tombe d'Euler lui eût paru un lieu saint?....

En revanche, il observe les gens et les juge non sans sévérité.

« Les manières sont grossières à Prague : chapeau sur la tête au théâtre et dans les restaurants, c'est très vilain.... On ne voit que d'afifreuses gens, des femmes avec de grandes cruches de bière devant elles. . ..

» Les Viennois sont extrêmement sensuels et aiment surtout à boire et à manger. L'autre jour, j'ai remarqué quelqu'un qui commençait son repas en déboutonnant son pantalon, c'est effrayant ce qu'il a englouti.

52 Chapitre IL

» A Venise, sur la place Saint-Marc, j'ai compté au moins vingt-cinq cafés remplis de monde »

Il est amusant de voir sa surprise à Vienne, à Venise devant le grand nombre d'églises « où l'on fait du catholicisme à force, sans désemparer ».

« Il est vrai, ajoute-t-il, que le service divin a bien de la grandeur, et il n y a pas à s'étonner que la foule l'aime. »

Cette interprétation du sentiment religieux est d'accord avec le goût d'Abel pour le théâtre ; car le spectacle reste toujours sa plus grande passion; il y assiste dans chacune des villes où il passe et entretient longuement son ami des pièces qu'il a vues.

Nous avons dit qu'Abel était heureux; il Test au point que toute impression de nostalgie disparaît, que sa timidité est oubliée. De Vienne, au sujet de sa visite à Litrow^ il écrit :

« Maintenant, je n'ai plus peur du tout d'accoster les gens; au commencement, cela me paraissait un peu singulier, mais, en voyageant, on acquiert la mesure d'effronterie nécessaire. »

Il ne songe plus à écrire à M*"® Hansteen; il semble même négliger le travail et se laisse entraîner dans une course rapide par les amis dont il n'a pu se séparer.

En trois mois et demi, il voit avec eux Vienne, Trieste, Venise, Padoue, Vérone, Botzen. La petite troupe ne reste pas indissolublement unie pendant tout le voyage, mais Abel n'est jamais seul. Sur un livre d'auberge à Botzen, quelqu'un a trouvé la trace de ces étudiants qui, s'élevant d'eux-mêmes en grade, ont inscrit ainsi leurs noms :

Keilhau, professore de Mineralogia,

BoECK, professore del arte veterinaria,

AbeLj professore délie Geometria.

Le Voyage, 53

Le séjour à Botzen, qui dura quinze jours, fut le dernier qu'ils firent ensemble. Au début de juillet, Abel partit avec Boeck, laissant dans le Tyrol Keilhau qui devait le rejoindre à Paris deux mois plus tard. A Zurich, son compatriote le quitta et il se trouva ainsi réduit à cette solitude contre laquelle il se défendait depuis un an. Mais l'impression en était cette fois moins pénible; il ne s'agissait plus d'aller « affronter » le terrible Gauss, mais d'aller à Paris.

Paris! Combien de rêves ce seul nom faisait-il naître dans l'esprit du jeune Norvégien : Paris, la Ville la plus noble et la plus intelligente du monde. Paris, le berceau des idées d'indépendance. Paris, oîi vivent Laplace, Cauchy, Legendre, Poisson... Paris et son Académie des Sciences qui, seule dans le monde, a le droit de sanctionner la valeur d'une intelligence !

Abel s'y rendit d'un trait depuis Zurich; oubliant la tristesse d'avoir quitté ses concitoyens, il était heureux tandis qu'il se rapprochait de la grande Ville.

Enfant génial, que sa pensée emportait toujours vers l'avenir, il ne songeait plus à toutes les causes qui avaient assombri le passé; il imaginait trouver les premières émotions de la gloire dans un pays oîi, par ces mêmes causes, il devait connaître des jours plus misérables que ceux de sa première jeunesse.

Le lo juillet, il était à Paris.

Un mois plus tard (le 12 août), il écrit à Hansteen : « Me voici enfin dans le foyer de tous mes vœux mathématiques, à Paris. .. Pour me mettre mieux au français^ \^ me

54 Chapitre II.

suis logé dans une famille où j*ai tout pour 120^' par mois. Le mari et la femme sont très aimables et )e suis bien, sauf que la chambre est très mauvaise et que je ne mange pas plus de deux fois par jour. . .

» J*ai été chez le directeur de l'Observatoire, M. Bouvard, et lui ai remis une Lettre de recommandation de Litrow (de Vienne). Il a été très amical. . . et s'est offert à me présenter aux mathématiciens les plus remarquables, quand je voudrai me rendre à l'Institut. Je n'ai pas encore profité de cette offre, parce que je veux d*abord pouvoir parler un peu fi-ançais. En outre, je veux avant tout avoir achevé un Mémoire auquel je travaille et que je veux présenter à l'Institut... J'ai été chez Legendre avec mon hôte, qui est un brigand autodidacte en Mathématiques, il était sur le point de sortir en voiture, en sorte que je ne lui ai dit que quelques mots. . . J'ai été chez le baron Ferrussac, l'éditeur du Bulletin, . . Voilà toutes mes connaissances, mais, avant peu de temps, j'en aurai fait d'autres. Ce ne sera pas long maintenant que j'ai mis en mouvement ma langue française.»

Durant le premier mois, sa vie a donc été paisible. Paris est encore le « foyer de tous ses vœux mall?ématiques ». Emporté par ce sentiment enthousiaste, il n'a pu encore éprouver l'impression d'isolement que devait avoir, au milieu des Parisiens hâbleurs et vaniteux, un étranger timide, honnête et pauvre. Les circonstances lui ont d'ailleurs été jusqu'ici favorables : il a été bien accueilli par les rares personnes qu'il a vues.

Dès son arrivée, un compatriote, le peintre Gôbliiz, s'est occupé de lui et l'a aidé à chercher un logement. Les hôtes chez lesquels il vit sont aimables; enfin, peu de temps après son installation, son ami Keilhau est venu le rejoindre.

Le Voyage. 55

Il est heureux, et, n'eussions-nous la lettre où il nous le dit, nous pourrions le savoir, en voyant ce qu'il y a d'enthousiasme dans le travail qu'il commence et dont il parle à Hansteen. Ce travail qu'il destine à l'Institut est le Mémoire Sur une propriété générale d'un grand nombre de transcendantes, c'est-à-dire le développement du théorème d'addition.

On peut suivre la rédaction de ce Mémoire sur le brouillon, un grand cahier oti se trouvent indiquées la plupart des recherches qu'Abel effectuera pendant son séjour à Paris (9).

Nous y voyons que, le 9 août exactement (il a en haut de la première page indiqué la date), Abel se mit à l'écrire. Le même jour, il envoyait à Crelle l'énoncé de son théorème :

<t Une propriété générale des fonctions dont la différentielle est algébrique est que la somme d'un nombre quelconque de fonctions peut être exprimée par un nombre déterminé des mêmes fonctions, savoir :

Xxj ATî» • • • î ^[x sont des quantités quelconques, ;fi, ^2, . . ., \,t, des fonctions algébriques de ces quantités, et v une fonction algébrique et logarithmique des mêmes quantités, n est un nombre déterminé indépendant de [jl. Si, par exemple, 'f est une fonction elliptique, on a, comme on sait,

SI la fonction n'est pas elliptique, on n'en connaît îusc^u^a Y>^é-

56 Chapitre IL

sent aucune propriété. Comme un des cas les plus remarquables, je vais rapporter le suivant :

» En désignant la fonction

(g H- ^x] dx

\J[a 4- â!i Jc + a^x^' -h asjc^-h ^4 jc^ -h a^x'^ -\- a^^x"^) par (p(ji:), on a

( I ) ?(-^l) + ?(-^2) + ? (^s) = C - [Cp(j'i) + cpfj-s)],

oti Xu ^s, -^8 sont trois quantités variables indépendantes, C une constante tty^^y^ les deux racines de TéqUation

» Toute la théorie de la fonction 9 est comprise dans l'équation (i), car la propriété exprimée par cette équation suffit, comme on peut le démontrer, pour la détermination complète de cette fonction. »

Ce théorème est identique à celui qu'Abel avait découvert étant étudiant, et qui faisait l'objet du court Mémoire Sur la comparaison des transcendantes. On peut croire pourtant qu'il était cette fois écrit dans un autre esprit : la différence ne consistait pas seulement dans l'emploi du mol fonctions en place du mot transcendantes, mais dans l'énoncé de l'exemple et surtout dans la phrase finale : « La propriété (i) suffit à la détermination complète de la fonction. » Cet énoncé prouve que le mathématicien avait déjà pris la question dans un sens nouveau, qu'il

(») Nous ne transcrivons pas les coefficients qui sont des fonctions rationnelles de jr^, ;c„ ^^3.

Le Voyage. 5 7

avait cherché quelle importance au point de vue de la détermination de la fonction pouvait avoir ce nombre des intégrales indépendantes, c'est-à-dire le nombre qu'on appellera, à quelques différences près, plus tard, le genre de la fonction.

Au moment où il écrit à Crelle, Abel a sans doute l'intention de faire rentrer dans le cadre de son Mémoire des développements se rapportant à cet exemple; mais, cette fois déjà, comme il lui arrivera souvent dans la suite, soit qu^il ne se sente pas assez maître de la question, soit qu*il conçoive des développements trop considérables, il sera conduit à remettre à une époque postérieure la rédaction de cette étude.

Nous ne pouvons sur ce point que faire une hypothèse, car tout le travail antérieur qui a trait au théorème d'addition nous demeure absolument mystérieux. Nous ne pouvons savoir ni comment Abel le découvrit, ni dans quel sens il avait l'intention d'en user lorsque, trois mois avant sa mort, il en communiquait encore une fois l'énoncé à Crelle; nous ne sentons pas nettement d'époque transitoire entre le Mémoire Comparaison et le Mémoire de Paris. Comment expliquer que cette importante propriété n'ait pas été utilisée dans le Mémoire de Freiberg? Comment se fait-il que, de Paris seulement, Abel en communique l'énoncé à Crelle? Comment comprendre enfin que, dans ses lettres à Holmboë, Abel ne dise pas à son ami qu'il a développé un Mémoire dont la première ébauche est demeurée à Christiania entre les mains dudit Holmboë?

A cette dernière question, on pourrait répondre que le mathématicien ne parle pas en détail de ses travaux, qu'il ne renseigne ses premiers maîtres que sur ceux dont il s'occupe au moment où il leur écrit; mais, justement, dans une lettre à Ho\m\)oë et

58 Chapitre II.

plus tard dans une lettre à Hansteen, il parle de ce Mémoire sans dire quel en est le sujet, sans même le rappeler.

Aussi, pour mettre d'accord ces diverses observations, pourrait-on penser qu'Abel avait en quelque sorte oublié sa première étude, qu'il n'en avait pas parlé à Crelle, et que, plus tard, il avait en réalité découvert une seconde fois le théorème d'addition.

Cette hypothèse n'a, me semble-til, rien d'absurde. Si on lit la correspondance d'Abel, on ne rencontre dans ses Lettres si pleines de franchise, (sauf quelques passages sentimentaux dans les lettres à M"* Hansteen) pas de phrases qui évoquent des moments de la vie de jeunesse ou des travaux déjà effectués. On pourrait même, si l'on ne cherchait plus loin, croire que, sensible et malheureux, Abel a peur d'évoquer quelque chose de son passé. Ce n'est point cela; sa vie intérieure est si intense, le travail de sa pensée si rapide qu'il n'a pour ainsi dire pas le temps de prendre conscience de sa mémoire, il vit dans le présent, c'est-à-dire qu'il se laisse entraîner toujours vers l'avenir; ce qu'il a vu, ce qu'il a appris, ce qu'il a découvert est bien inscrit dans sa mémoire, mais, lorsque, à un moment, cette empreinte se manifeste, il n'a pas conscience que ce soit un souvenir. On peut croire que ce qu'il a acquis en Mathématique est rentré aussitôt dans la catégorie de ses instincts et que les choses déjà rencontrées peuvent, sous certaines influences, imprimer à sa pensée un certain mouvement dont il ne détermine pas les causes et dont on pourrait dire qu'il est un réflexe,

11 est donc permis de supposer que, par un processus de cet ordre, il avait été, au cours de ses études sur l'intégration, conduit à découvrir de nouveau le théorème d'addition et que ce

Le Voyage.

qu'il communiquait à Crelle était la base d'une théor Imaginée par un esprit dont nous avons vu depu mois le progrès constant^ cette théorie devait être \ et prendre même des racines si fortes que bientôt blement plus encore si Abel avait vécu — les plus i de ses recherches postérieures devaient s'y rattacher. Quand, le 9 août, Abel entreprend la rédaction, il ment depuis quelque temps en possession des résuit exposer : trois jours après, le 12^ il écrit à Hansteen bien réussi dans ce Mémoire qui contient beaucou nouvelles et mérite, je crois, d'être remarqué », et se nous indique que, le 17, la partie la plus importa minée ; Tauteur a démontré le théorème, déterminé la fonction algébro-logarithmique et vérifié si la coi ne doit pas avoir de point de rencontre invariable av( fixe. (Nous employons ici le mot courbe pour simp gage, mais il faut bien remarquer qu'Abel ne l'empl son esprit purement algébriste le porte à considén tions indépendamment de toute représentation.) ( tion faite au brouillon est fort intéressante à suivre est écrit sous une forme presque définitive, mais travail avance, certaines manières de voir ont dû se 1 ou bien Abel a reconnu quelques erreurs; dans c sans rien effacer de ce qui est écrit, il a indiqué d point à modifier et continué le travail comme si ] tion était faite. Dans d'autres cas, il a refait de no une partie de Touvrage, mais sans toucher à ce qi demment écrit. Il n'a pas poursuivi jusqu'au bout littéral; quand il s'est senti bien maître du dévelo

s'est borné à inscrire des ïoftO qui jyj serviront de repères pour le travail dé&nitU de rédaction. Qn ne trouve, dans cette création, ni hésitation, ni retour en arrière; elle va droit devant elle; il semble que ce travail a été fait dans des moments d'inspiration.

La rédaction définitive fut divisée en dix paragraphes. Elle contenait, outre la démonstration du théorème et la détermination de la fonction algébro-logarithmique, le calcul du nombre des intégrales indépendantes, puis l'application de la théorie aux fonctions dont la différentielle porte sur un radical. On peut voir, sur le brouillon, qu'Abel avait eu un moment la pensée d'introduire un onzième paragraphe traitant du théorème d'échange entre le paramètre et l'argument, sujet déjà étudié autrefois, mais qu'il n'avait pas persisté (10).

Commencé le 9 août, le Mémoire était terminé à la fin d'octobre et remis aussitôt à l'Institut. Ainsi nous l'apprend une lettre à Holmboë (24 octobre). Abel avait mis deux mois à achever ce travail dont la première partie, la plus importante, avait été écrite en huit jours. Quelle raison avait pu retarder ainsi l'achèvement de cette rédaction?

La raison? Il faut la chercher dans le changement profond qui, pendant ces deux mois, s'est effectué dans la situation matérielle, et surtout dans l'état mental d'Abel. Quand il a commencé, au mois d'août, à écrire son Mémoire, il se sentait heureux; après l'arrivée de Keilhau, il avait, auprès de son ami, retrouvé cette impression de sérénité qu'il avait eue à Freiberg; comme à Freiberg, il avait travaillé en paix. Mais bientôt les ennuis

Le Voyage.

étaient venus : les soucis oubliés, soucis de famille, soucis d'à nir, avaient troublé sa quiétude; vers la mi-octobre, Keilhau éi parti. Abel était alors demeuré seul, ce qui le rendait impro au travail.

Sa tristesse, nous en trouvons l'écho dans sa lettre du 24 octo à Holmboë.

« Mon ami, écrit-il, envoie-moi quelques mots qui me c( soient et me réconfortent dans ma solitude, car, bien que je s dans la ville la plus bruyante du continent, je suis comme d« un désert. »

Il est seul, en effet; après trois mois de séjour à Paris, il n'a se créer aucune relation. Devant les Français, il a retrouvé timidité que, quelques mois auparavant, il croyait avoir défi tivement surmontée; il se sent alors pour eux une certaine an pathie qui n'est pas exempte de rancune.

« Je n'aime pas autant le Français que l'Allemand : le Franc est extrêmement réservé à l'égard des étrangers; il est très di cile d'arriver à des relations intimes avec lui, et je n'ose espé y parvenir. Chacun travaille à part sans s'occuper des autr Tous veulent instruire et personne ne veut apprendre. L'égoïs le plus absolu règne partout. La seule chose que le Franc recherche chez les étrangers, c'est le côté pratique; personne sait penser que lui. Il est le seul qui sache produire quelq chose de théorique. Telles sont ses idées, et, dès lors, tu pe comprendre combien il est difficile d'attirer l'attention, surtc pour un débutant. » (il).

Il a pourtant encore une certaine gaîté; on trouve dans ce lettre les mêmes notations rapides et précises qu'il écriv durant son voyage ;

62 Chapitre II.

a Legendre est un homme exirêmemcnt aimable, mais malheureusement vieux comme les pierres. . . Cauchy est fou et il n'y a rien à faire avec lui, bien qu'il soit le mathématicien qui sache le mieux comment on doit traiter les Mathématiques. . . Laplace a Tair alerte et petit, mais il a le défaut que le diable boiteux reproche à Zambullo, c'est-à-dire la mauvaise habitude de couper la langue aux gens. . . Poisson est un petit homme avec un Joli petit ventre. Il porte son corps avec dignité. De même Fourier. Lacroix est effroyablement chauve et remarquablement vieux... » (12).

A ce moment, Abel compte encore entrer en relations avec ces savants; il a rencontré déjà Legendre et, présenté à Cauchy, il a tenté de l'intéresser à son Mémoire, mais n*y est pas parvenu. C'est Hachette qui doit mettre le jeune mathématicien en relation avec ses collègues.

Mais, à voir les lettres postérieures, il ne semble pas que ces présentations — en supposant qu'elle aient été faites — aient eu quelque effet, et, jusqu'à la fin de son séjour à Paris, Abel vivra seul, loin de toute société scientifique. En dehors de cette société qu'il désirerait, il n'en a pas qui soit de pure camaraderie; parfois des Norvégiens de passage, et de temps en temps le peintre Gôblitz; mais cette dernière relation — à laquelle nous devons cet objet d'un prix inestimable qu'est le portrait d'Abel — n'a jamais eu le caractère d'une amitié. Quant à ses hôtes, M. de Cotte et sa femme, qui lui semblaient autrefois agréables, voici le jugement qu'Abel porte maintenant sur eux :

« Le mari est un peu mathématicien, mais très béte, la femme très brouillonne, de 35 ans et plus. On parle toujours à table, par équivoque, sur les secrets du ménage . . . Parler de pots de

Le Voyage.

chambre, etc. est parmi les choses les plus convei^^

A la fin de la lettre, on retrouve le même senûtn^^ début :

« Je suis maintenant absolument seul, Keilhau éta le i6. »

Le départ de son ami ramène sa pensée sur ceuxqu'U en Norvège; voici ce qu'il écrit à sa sœur :

« Keilhau part pour rentrer au pays, et je ne veux pas i cette occasion pour t^écrire quelques lignes. Je pense trèt à toi, ma chère sœur. ... Où est (*). . . Vit-il, ev cotni suis très inquiet de lui. Lorsque je suis parti, les < s'annonçaient pas bien pour lui. Dieu sait combien se été triste à cause de lui. Il n'a sans doute pas beaucov tion pour moi; et cela me fait beaucoup de peine, < jamais fait volontairement, rien qui puisse l\ai déplaii Elisabeth, écris-moi tout au long sur ioi, sur ma tnè frères. Ici, à Paris, ma vie est assez agréable. . . i même, je voudrais rentrer au pays, partir au^ourd'l possible. . . »

A ces sujets de tristesse, un autre plvis grave vie c*est le manque d'argent. Abel a dépensé sans comp à Boeck et à Keilhau; très pauvre, il est: mainteni veiller à la moindre dépense. Bientôt, il devra i bourse de son ami Holmboë, afin d'avoir de quoi pi avant de retourner en Norvège. Il fera une dema et, ne recevant pas de réponse, il s' irritera.

Ces difficultés d'argent, ces soiacis de famille.

(') Illisible, il s'agit probableme

nt de son trère-

64 Chapitre II.

songer plus sérieusement à l'avenir. Dans cet avenir, pas une perspective sur laquelle reposer sa pensée. L'Université de Christiania ne promeut toujours rien; et voilà que, maintenant, Crelle ne peut persister dans son offre, avant d'avoir obtenu du Gouvernement une subvention pour le Journal. Abel aurait pu, depuis longtemps, appréhender ces ennuis; mais jusque-là, vivant toujours entre ses camarades, dans une atmosphère de Jeunesse, il ne les avait jamais considérés avec gravité. En peu de temps, par suite de sa désillusion à se trouver si étranger, si seul, dans* le « foyer de ses vœux mathématiques », son esprit a pris plus de maturité; avec ce même esprit qui juge l'orgueil des Français dans un sentiment de la réalité qu'il n'avait pas autrefois, il envisage avec plus de netteté sa situation. Sa tristesse est alors plus continue; à certains moments, elle lui donne même de l'aigreur, ce qu'il n'avait jamais eu.

«... Les Mathématiques, écrit-il, subissent un vilain recul en France. Les jésuites veulent gouverner et les journaux sont remplis de polémiques à leur sujet, c'est une vermine du diable. . . »

C'est le jeune protestant dépité, trouvant dans les gazettes libérales un écho à son ennui, un prétexte à le tourner en irritation. Cette aigreur est bien puérile, bien illogique.

« Cauchy, écrit-il, est extrêmement catholique et bigot, chose bien étrange chez un mathématicien. . . » Et il a dit plusieurs fois : « Cauchy est l'homme qui sait le mieux comment on doit traiter les Mathématiques. » Il est vrai que ledit Cauchy a à peine jeté les yeux sur le travail présenté par le jeune mathématicien. De telles inconséquences aident à comprendre ce qu'est un moment de la vie d'Abel.

Cette vie est intinirr>^^^^^T~'^-~~--^~^^^^_____^^^^ «™^die. C'est, de tout cL " J^"'"' *- clor. et ' ■ ,3^^^'

"'"••oùCauchyaétéch^ - "^^»*"t, il r,^

^ 1 imaginer aloi-^j i,,> ^>^or d autres-

« Elles" "^"^^ ''"'' ^^^^'^ JeurgentiUesse.. '' ^'^

eatenH "''°"'' ecr-ic-il, rïullex«ent indiscrètes. Tout .. "tend, c'est :,yo^le^-^-ous monter avec mo." "' "' "l^'oa

06 Chapitre If.

les écoute pas, et je quitte le Palais-Royal sans aucune tentation. »

Seul et triste, Abel ne trouve pas un endroit — sauf parfois une stalle au spectacle — oîi reposer sa pensée fatiguée. Son seul refuge est le travail même. Encore ce travail n'est-il plus ce qu'il était deux mois plus tôt : Abel ne pourrait aujourd'hui, comme il le fit à Freiberg, comme il le fit au début du séjour à Paris, s'astreindre H la rédaction de ses découvertes. Depuis le milieu d'octobre jusqu'à la fin de décembre, il manifeste souvent l'intention de mettre en ordre ses recherches, mais il ne peut le faire; et, sauf de courts mémoires envoyés à des périodiques français, il n'écrit plus rien.

Pour rédiger, il lui faudrait, par un mouvement d'énergie, revenir en arrière sur ses pensées, c'est-à-dire sur lui-même, et il n'en a pas la. force. Aussi, laisse-t-il son esprit aller, toujours plus avant, vers des recherches nouvelles; et, certainement alors, pendant ces heures de création, il oublie quelle est sa misère.

Pour nous, si nous pouvons comprendre ce qu'est sa tristesse, sommes-nous capables d'imaginer la joie. qui le saisit dans les moments oîi il se sent maître d'une vérité nouvelle, ces moments oîi — selon une forte expression de Balzac — l'âme semble s'être débarrassée des liens de la chair et se trouver comme rendue au monde d'où elle vient. De tels moments doivent compenser toutes les heures pénibles.

Puissions-nous trouver quelque consolation, au milieu de la vie d'Abel, à songer au bonheur qu'il connut quand, à Paris, il découvrit les deux théories dont nous allons chercher la genèse, la théorie des équations Abélienne et celle de la fonction inverse de l'intégrale elliptique.

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^ ^*^^I>l€t cl ^^^^^^^0"- Cela est po^

^ penser qu'il les avait fait:^^^

68 Chapitre II.

par un processus analogue à celui du problème de Freiberg, processus qui devait le conduire sûrement à une solution complète.

Nous avons plus de renseignements touchant les éludes sur la théorie des équations. Abel tient en effet ses correspondants au courant de ses travaux sur ce sujet. De Berlin, il a écrit à Holmboë (Lettres du 16 janvier 1826, voir p. 40) qu'il s'était posé le problème suivant : « Trouver toutes les équations résolubles algébriquement » et qu'il l'avait résolu pour le cinquième degré. Plus tard, de Freiberg (14 mars 1826), il a communiqué à Crelle cet énoncé :

« Si une équation du cinquième degré dont les coefficients sont des nombres rationnels est résoluble algébriquement, on peut donner aux racines la forme suivante :

x=:c-\-A a'^ avalai -^ Avalai al a^

^. 1 jt 1 1 Â A 3.

H- Atala^a^ al-^ Azala^ a^al, »

Il donne la forme de a, a,, a^y a^ qui ne dépendent que de radidicaux carrés; les A, Aj, Aj, A3 sont des fonctions linéaires de ^1, ^2, ^3, a.

Il ajoute :

« J'ai trouvé de pareils théorèmes pour les équations de degré 7, 1 1, i3, etc. »

Comment Abel est-il parvenu à ce beau résultat?

Par une méthode analytique probablement, méthode qui se rapprocherait peut-être de celle employée par Van der Vais dans la même recherche. (Il faut remarquer qu'il avait obtenu déjà dans cet énoncé un résultat très remarquable; il avait même fait

Le Voyage, 69

une découverte qui fut mise au jour, quarante ans plus tard, par Kronecker, celle de la forme des racines des équations abéliennes d'un seul cycle de racine. S'il avait assez vécu pour achever son dernier Mémoire sur ces équations, Abel fût, sans aucun doute, parvenu de nouveau à cette forme des racines. Pourrait-on dire pourtant, avec vérité, que depuis Tannée 1826 elle était découverte?)

Il est à noter que, jusque-là, il ne s'est occupé que des équations numériques à coefficients entiers. Bientôt, la généralité de ses recherches s'accroît et il imagine les équations rationnelles dans un domaine quelconque de rationalité.

Les documents que Ton trouve après la lettre adressée à Crelle sont la lettre écrite à Holmboë, de Paris, le 24 octobre 1826, et un fragment considérable du cahier de brouillon.

Dans ce fragment» on voit que le problème général est posé; Abel use de la quantité algébrique que Ton a nommée « résolvante de Galois » (et qu'on devrait appeler peut-être « résolvante de Lagrange »).

Il semble, d'après ce fragment, qu'il ait été dès ce moment en possession du résultat suivant : que les équations de degré non premier, résolubles algébriquement, sont décomposables en équations de degré moindre; mais tout ce passage est d'ailleurs d'une lecture trop difficile pour qu'on en puisse, avec certitude, tirer une conclusion.

Dans la lettre à Holmboë, qui est de la même époque que ce brouillon, Abel s'exprime ainsi :

« Ce qui m'occupe pour le moment c'est la théorie des équations, mon thème favori, et me voilà déjà assez avancé pour trouver le moyen de résoudre le problème général que voici :

70 Ch.ipitre II.

Déterminer la forme de toutes les équations algébriques qui sont résolubles algébriquement. J'en ai rencontré un grand nombre du cinquième, sixième, septième degré, qu'on n'a pas flairé jusqu'à présent. J'ai en même temps la solution la plus directe des équations des quatre premiers degrés, avec la preuve la plus évidente pourquoi celles-ci sont résolubles et non pas les autres. Quant à l'équation du cinquième degré, j'ai trouvé que, quand une telle équation est résoluble algébriquement, il faut que la racine ait la forme suivante :

où R, R', R", R"' sont les quatre racines d'une équation du quatrième degré résoluble par des racines carrées seulement. »

On voit combien cette forme donnée aux racines de l'équation du cinquième degré est plus féconde que celle qu'il a indiquée à Crelle. C'est une forme semblable que l'on peut donner aux racines des équations du troisième et du quatrième degré (formules de Cardan pour le troisième, de Lagrange pour le quatrième), et Abel a sans doute démontré que les racines des équations des quatre premiers degrés pouvaient seules prendre toujours une telle forme.

Cette recherche de la cause « pour laquelle les équations des quatre premiers degrés étaient résolubles et non pas d'autres », nous semble être le renseignement le plus caractéristique que nous trouvions dans ce fragment de lettre. Il était bien dans l'esprit d'Abel de chercher pour quelle raison certaines classes d'équations étaient résolubles; ayant découvert cette raison pour les équations des quatre premiers degrés, il était tout naturellement amené à la chercher pour une autre classe connue d'équa-

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