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des raisons de typographie, avait été obligé de prendre une notation analogue à 6(a)). La plupart des résultats étaient vrais, en ne supposant sur cette fonction 6(a)) nulle autre propriété que d'être rationnelle.

On peut penser que c'est ce point auquel Abel donnait le nom de « Mystère », et ce qu'il y avait d'admirable dans la découverte de ce « mystère », c'était le fait d'être conduit à considérer les équations non plus d'après leur degré, ni d'après leur forme, ni d'après la forme de l'expression des racines, mais d'après les relations que pouvaient avoir entre elles diverses racines; une voie nouvelle était ouverte dans l'étude des équations. Abel se proposa alors de résoudre celles dont les racines étaient fonction rationnelle de l'une d'elles et, pour le faire, il n'avait qu'à suivre exactement la méthode de Gauss.

Il traitait ainsi le cas d'équations cycliques, c'est-à-dire d'équations dont les racines étaient de la forme

0), e(co), e[e(co)], e|e[e(co)]î,

qu'il écrivait :

Naturellement amené à étudier le cas oîi, (o étant une racine, deux autres racines eussent pour expression deux fonctions différentes de w

il s'aperçut que la solution était à peine modifiée, à condition que les fonctions Ojto), ^2(10) pussent être interverties, c'està-dire que l'on eût

e,[e,(io)] = e,[ei(a))].

Le Voyage. 73

C'est ce qui arrivait dans la division du cercle.

Tels sont les résultats; les calculs d'Abel sont notés sur le cahier de brouillon de Paris (à la suite du fragment sur la transformation des intégrales elliptiques dont il est question plus haut). Cette théorie n'était pas encore parfaite, et, en effet, à une époque bien postérieure, un an plus tard, on trouve notée, sur un autre cahier, une conclusion erronée, ou plutôt incomplète, touchant les équations abéliennes. Au point oîi elles étaient, ces études allaient lui permettre d'entrer de plein pied dans une étude particulière, celle de la division de l'arc de lemniscate.

L'idée de résoudre les équations de division de l'arc de lemniscate est sans doute née d'un souvenir des Disquisitiones,

Gauss avait écrit en préambule avant d'aborder la division du cercle que la méthode dont il allait parler pouvait s'appliquer à résoudre la division de Tare de courbe représenté par Téq nation

, dx

Cette équation est celle de lemniscate.

Abel, se trouvant en présence de cette équation, dut avoir la pensée de faire la même opération que l'on fait sur Tare de cercle, opération qui revient, considérant le sinus au lieu de Tare sinus, à inverser Tintégrale

r" dx

Ainsi, il était conduit à considérer la fonction inverse d'une

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intégrale elliptique particulière, et l'on peut croire que ses premiers travaux complets sur Tinversion furent l'étude de la division de celte fonction.

Connaissant la double périodicité, il lui fut facile de former réquation de division; il suffisait maintenant de chercher s'il y avait entre les racines la même relation qu'entre celles de l'équation de division du cercle.

Comment s'y prit-il pour découvrir cette relation ? Rien ne nous l'indique; le cahier de brouillon ne contient aucun calcul à ce sujet. Il est peu probable que la méthode ait été celle qui se trouve rédigée dans le Mémoire publié plus tard soqs le titre Recherches sur les fonctions elliptiques. Abel dut s'appliquer directement à vérifier la relation qu'il venait de découvrir

en effet, sur son cahier, à la suite du travail sur les équations abéliennes, il a dessiné une lemniscate et, au-dessous, il a écrit cette égalité :

La notation de ce résultat, qu'il ne craint certes pas d'oublier, cette conclusion qu'il isole du travail — fait probablement sur des feuilles volantes — est là comme un cri de victoire; c'est r « Eurêka » du savant qui vient d'aboutir dans ses recherches.

Abel montre une joie infinie de sa découverte : le 4 décembre il la communique à Crelle ; et, dans le même mois, il en parle longuement à Holmboë. Il en parlera encore souvent et l'on ne voit dans son œuvre qu'une seule étude dont il ait tiré autant de satisfaction, c'est le Mémoire sur la série du binôme.

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