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70 Chapitre II.
On peut nier l'exactitude de cette hypothèse; plusieurs textes semblent la contredire : d'abord la Communication à Degen dont on a parlé (p. i5), et, de plus, une lettre de Hansteen à Shumacher où il est dit que, au moment de la publication de Jacobi (dont on parlera bientôt), « Abel était depuis plusieurs années en possession d'une méthode générale pour la transformation ». Nous avons dit notre opinion sur le premier; pour le second, il nous semble de peu de poids : nous savons que déjà, avant d'entreprendre l'étude des équations abéliennes, Abel connaissait les règles de la transformation; mais rien ne prouve qu'il y fût parvenu grâce à l'inversion. Hansteen, peu au courant des travaux de son élève, incapable de les comprendre, ne le savait probablement pas.
Au contraire, plusieurs remarques tendraient à prouver qu' Abel avait, jusqu'au moment oti nous sommes arrivés, fait peu de cas de l'inversion : c'est d'abord la méthode employée dans le travail de Freiberg; c'est ensuite le fait que, nulle part encore, il n'ait eu la pensée d'appliquer aux nouvelles fonctions son théorème d'addition quand il l'eut découvert. Enfin, ce qui nous semble l'argument le plus fort au sujet de l'influence prépondérante qu'eut la théorie des équations, c'est la rédaction même du Mémoire Recherche sur les fonctions elliptiques où il allait donner la théorie des fonctions inverses.
Donnons ici, afin de n'avoir pas à y revenir, une rapide analyse de ce Mémoire dont nous verrons .plus tard la publication. Abel définit la fonction inverse Ar = <p(a) par l'équation
, dx dx
doizizz
•^{i-he^X')(i-^c-x^) s
Le Voyage. 77
et deux fonctions adjacentes
Il définit ensuite les quantités (périodes)
to r'dx w r^'db
Après avoir déterminé la formule d'addition ©(a -f- p) =. . . , il montre les propriétés de double périodicité de la fonction, détermine les zéros et les pôles et toutes les racines de l'équation
Il passe ensuite aux formules de multiplication et démontre que
?(nP), /(nP), F(«P)
sont des fonctions rationnelles des quantités
Il arrive alors immédiatement au problème inverse, c'est-à-dire à la division.
L'équation
est de degré ( 2 n + i )- en
78 Chapitre II.
Elle est entièrement résoluble algébriquement dès que Ton connaît les constantes
Ces constantes dépendent d'une équation de degré (212 -h 2)xn qui se décompose en une équation de degré (2^ + 2) et des équations de degré n.
Les équations de degré n sont résolubles algébriquement; il n'en est pas de même en général de l'équation de degré 2 w -h 2.
Celle-ci Test dans divers cas, entre autres dans le cas de
cas de la lemniscate.
Avant d'entreprendre cette étude particulière, Abel, à l'aide de l'équation
\ 2 fH- I /
en calculant la somme et le produit des racines, passe au développement en série et en produits infinis. Il introduit dès ce moment les séries de termes en sinus et cosinus, ainsi que les développements en exponentiels qui, un jour, prendront une si grande importance dans Tétude des fonctions elliptiques.
Le problème delà division de la lemniscate est alors traité pour le cas d'un diviseur premier de la forme 4/2 4- i; Abel insiste beaucoup sur le résultat — identique à celui de Gauss — de la possibilité de faire la division par racine carrée (c'est-à-dire géo-
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