ARRIVÉE À BERLIN. LA

d'un jeune et habile mathématicien, Thomas Clausen, attaché alors à l'Observatoire d’Altona. « Encke », dit-il, « qui est maintenant membre de l’Académie de Berlin, était aussi à Hambourg; mais je ne lai pas vu. Il est singulier qu’à Berlin on n'ait pas nommé un professeur d’Astronomie. Encke, dit-on, ne fait pas de leçons. »

Cette rencontre avec Schumacher, l’ami de Gauss et son correspondant assidu, a dû être la première source de la tradition, suivant laquelle — ainsi que nous l'avons rapporté d’après Hansteen — le grand géomètre de Gôttingue aurait dit, à propos du Mémoire d’Abel, que lui-même se faisait fort de démontrer la possibilité de la résolution des équations du cinquième degré.

Nous nous sommes déjà permis d'émettre des doutes sur la parfaite exactitude de ce récit, parce qu’il est très possible, pour les raisons que nous avons développées plus haut, qu'il se soit produit un malentendu sur le sens de l’assertion, et cela d'autant mieux que le propos était parvenu après avoir passé par plusieurs bouches.

Es ist ja ein Gräuel sowas zusammen zu schreiben (1)! C’est en ces mots ou quelque chose d’approchant que, d’après la tradition, fut formulée la dure condamnation du jeune mathématicien de brillant avenir.

Une certaine antipathie contre Gauss, née spontanément dans l'esprit d’Abel ou inspirée par les entourages au milieu desquels il devait bientôt se trouver, semble s'être emparée de lui de bonne heure ou du moins pendant cette période de sa vie. Il n’est pas déraisonnable de supposer qu'il se soit senti blessé de ce que Gauss, ne soupçonnant pas tout ce qui était caché sous une forme peut-être imparfaite et dans des essais qu'il prenait pour des aspirations ambitieuses et insensées, eût plus ou moins directement repoussé son travail digne d’admiration, et qu’il l’eût passé sous silence comme une production de jeunesse, manquant de maturité.

(1) C’est vraiment une abomination d'écrire des choses pareilles

Tout semblait ainsi conspirer pour bouleverser d’une manière heureuse le plan de voyage primitif: la recommandation donnée par von Schmidten d'aller visiter à Berlin l'excellent Crelle; l’inaccessibilité, réelle ou supposée, de Gauss, peut-être aussi — surtout pour Abel, qui n’aimait pas la solitude — une agréable société pour le reste du voyage et le plaisir de vivre avec des camarades. Güttingue était le but désigné, vers lequel il devait tendre, Gültingue où Gauss, dans presque toutes les branches des mathématiques, répandait abondamment la lumière de son enseignement, et où Abel eût eu une magnifique bibliothèque à sa portée. Pourtant, dès le commencement de son voyage, il prit un autre chemin.

À plusieurs reprises, comme nous le verrons, Abel formera le dessein de s’y rendre. Mais chaque fois il reculera, et il décrira un cercle autour de la vieille ville universitaire.

À son arrivée à Berlin, il s'empressa de faire une visite aux deux mathématiciens Crelle et Dirksen. L’entrevue entre le premier, le conseiller intime étranger, et le boursier de l'état encore novice et embarrassé ne parut pas d’abord promettre un grand succès (1). Il fallut beaucoup de temps pour qu’Abel püt faire comprendre à son interlocuteur quel était au juste le but de sa visite, et il semblait que le tout aboutirait à une « conclusion fâcheuse » (?).

A la fin il prit courage lorsque Crelle lui demanda ce qu'il avait déjà lu en mathématiques. Quand il eut cité quelques-uns des plus célèbres ouvrages dans cette science, Crelle devint très affable avec lui, «et, comme il me le dit lui-même », raconte Abel, «réellement satisfait ». Il entama alors une longue conversation avec le jeune Norvégien sur «une grande variété de sujets difficiles, qui n'étaient pas encore traités à fond ». Quand on en

(1) D’après une tradition, Crelle croyait d’abord qu’il venait pour mendier. Cela m'a été raconté par un vieil ami d’Abel. (B.) (?) Lettre d’Abel à Holmboe du 16 janvier 1826.

RENCONTRE AVEC CRELLE. L3

vint à parler de la théorie des équations de degrés supérieurs, Abel annonça qu'il avait démontré l'impossibilité de résoudre généralement l'équation du cinquième degré. Là-dessus Crelle répond que cela ne peut pas être vrai, et s'apprête aussitôt à combattre cette assertion. Abel lui présente alors un exemplaire de son Mémoire écrit en français sur ce sujet et dont nous avons parlé plus haut; mais Crelle dit qu'il ne peut pas apercevoir la raison de plusieurs conclusions contenues dans ce travail. « Plusieurs personnes m'ont dit aussi la même chose », écrit Abel, «et pour ce motif, Je vais me mettre à le remanier ».

À partir de ce moment, Crelle lui donna une fois pour toutes ses entrées régulières pour chaque lundi soir. Aux réunions musicales qui avaient lieu dans le cercle de la famille du conseiller intime, il s'amusait beaucoup, bien que malheureusement, en dépit de la réputation de chanteur d’airs joyeux dont il jouissait parmi ses camarades, il ne fût pas grand connaisseur en musique. Mais il trouvait toujours, pour se dédommager, quelques jeunes mathématiciens avec lesquels il s’entretenait pendant ces réunions «de sujets monstrueusement intéressants ». De cette manière il acquit promptement l'usage de la langue allemande, dont le défaut lui avait été si gênant dans les premiers temps.

Avec les dames de la famille, il était, dit-on, toujours dans les meilleurs rapports; on avait pour lui des ménagements, et il était très goûté. Mais il arrivait parfois qu'elles le prenaient à part dans un cabinet pour l'attifer un peu, avant l’arrivée des invités, quand tel ou tel détail de sa toilette lui allait mal ou était mis de travers.

Tous les vendredis à midi il allait faire une promenade de quelques heures avec Crelle. Alors il s’en donnait à cœur Joie en parlant de mathématiques, « comme tu peux croire (1), et aussi rapidement que le permet ma langue mal façonnée à l'allemand. — Cependant je me tire d'affaire assez passablement. Il né peut pas se mettre dans la tête que je puisse comprendre tout

(1) Lettre à Holmboe du 16 janvier 1826.

lh NIELS-HENRIK ABEL. — $ 11.

ce qu'il me dit, sans savoir moi-même parler correctement. » Steiner, un des fondateurs de la nouvelle géométrie synthétique, les accompagnait souvent dans ces promenades. Quand les passants les voyaient tous les trois, — raconte Geiser dans la biographie de Steiner, — ils se disaient : « Voilà Adam avec ses deux fils, Caïn et Abel. » Crelle avait, en effet, pour prénom Adam. Du reste, chacun des deux fils de son côté déplorait le peu d'aptitude de l’autre pour la vie mondaine.

Abel se félicite à maintes reprises d’avoir fait connaissance avec Crelle, «cet excellent homme ». « Tu ne pourrais croire », écrit-il à Holmboe, « quel homme remarquable c’est : juste l’homme tel que je le désirais pour moi, affable, sans être atteint de cette politesse rebutante avec laquelle tant d'hommes, d’ailleurs honorables, accueillent les gens. Je vis avec lui sans plus de gêne qu'avec toi et mes autres connaissances intimes. Il s'occupe beaucoup de mathématiques, ce qui est d'autant plus honorable pour lui que ses fonctions lui donnent beaucoup de travail. Dans ces dernières années il a publié plusieurs ouvrages mathématiques, qui me semblent très bons. » Abel indique les titres de plusieurs de ces livres qu’il a reçus en cadeau, et ceux d’autres ouvrages du même auteur qu'il s’est procurés lui-même, et qu'il enverra en Norvège au printemps pour les confier à la garde de Holmboe, ne pouvant naturellement les emporter avec lui dans son voyage. C'était à cause des qualités de la forme, sans doute, qu’il trouvait du plaisir à la lecture des travaux publiés par Crelle.

Dans la première entrevue — et dans celles qui se succédèrent fréquemment, et qui, au dire de Crelle, étaient devenues quotidiennes — Crelle parla beaucoup du triste état des mathématiques en Allemagne. Abel signala aussi de son côté les bibliothèques de Berlin comme laissant beaucoup à désirer; il ne semble pas non plus s'être soucié d'assister aux cours de mathématiques des professeurs de cette ville. La précédente tentative faite par Crelle d'introduire quelque vie dans la science par l’organisation de réunions scientifiques dans sa propre maison, avait complètement échoué, et cela, disait-on, par l’arrogance insupportable d’un seul

FONDATION DU SOURNAL. 45

des sociétaires, le physicien Ohm. Toutefois il semblait que dans un prochain avenir une période plus favorable allait commencer. Lorsqu’Abel exprima son étonnement de ce qu'il n'existât en Allemagne aucun journal mathématique, comme il en existait en France depuis plusieurs années, Crelle répondit que depuis longtemps il avait le dessein d'entreprendre la rédaction d’un semblable recueil; il songeait à mettre aussitôt que possible ce projet à exécution.

L'arrivée d’Abel, ainsi que celle de Steiner, et les nombreux travaux qu'Abel désirait voir publier étaient naturellement un secours très opportun pour la fondation d’un journal scientifique, et cette fondation fut décidée. L'existence de riches matériaux, que l’on devait s’empresser sans doute de mettre à la disposition des rédacteurs, fut un motif déterminant de la résolution qui fut prise de se lancer le plus tôt possible, et même immédiatement (au commencement de 1826) dans cette affaire. En tous cas, cela contribua à un haut degré à assurer la publication du journal dans les premiers temps. D'autre part, c'était pour Abel lui-même un événement d’une haute importance; il avait maintenant une position qui lui permettait en toute occasion de faire imprimer tel ou tel de ses travaux de moindre étendue, et pour les mémoires plus considérables, à mesure que son nom deviendrait de plus en plus connu, il pouvait espérer de leur trouver un éditeur.

Abel se mit aussitôt à l’œuvre pour la rédaction de ses matériaux. Dès le commencement de décembre 1825, il avait déjà mis au net quatre mémoires; au milieu de janvier de l’année suivante 1826, six mémoires étaient prêts, tous écrits en français. Mais Crelle eut « la galanterie » de les traduire pour lui. « Ainsi mes bribes de français m'ont rendu bon service. »

Crelle exprima d’ailleurs son opinion sur la forme de ces mémoires en disant qu'il les trouvait très clairs et très bien écrits, ce qui réjouit vivement.le jeune auteur, qui appréhendait toujours de ne pouvoir sans difficulté exprimer ses pensées d’une manière convenable. Cependant Crelle lui conseilla de donner un peu plus de développemments, « surtout ici, en Allemagne... Il m'a

aussi offert, pour mes mémoires, des honoraires sur lesquels je n'avais naturellement pas compté, mais que je n'ai pas, voulu recevoir ; j'ai cru cependant remarquer qu'il eût mieux aimé que J'eusse accepté (1). »

Abel ayant maintenant ses entrées dans un journal scientifique, parmi les travaux dont il s'occupa avec ardeur, il commença par revenir sur la question de l'impossibilité de la résolution (à laide des radicaux) des équations algébriques générales, d’un degré supérieur au quatrième.

Il reprit son ancien mémoire de Christiania, encore peu connu, pour le soumettre à un nouveau travail. Après les revers qu'il avait éprouvés et les jugements inadmissibles que ces revers avaient provoqués, il chercha maintenant à développer sa démonstration avec plus de détails qu’il n'avait dû se contenter de faire aux Jours difficiles d'autrefois, quand il publia son travail dans son pays natal. La position de gêne économique où il se trouvait avait aussi contribué, d'après le récit de Hansteen, d’une manière très sensible à la forme malheureusement écourtée de cette note, Abel ayant dû supporter seul avec ses ressources si limitées, tous les frais qu'entrainait l'impression. Peut-être aussi dans le dessein que formait Abel de perfectionner ce travail, entrait pour une part le désir de combler une véritable lacune, qui pouvait très bien, comme nous l’avons dit plus haut, avoir autrefois échappé à son attention. Crelle avait dit de ce Mémoire qu’il faisait honneur à l’auteur; cependant il ne pouvait pas entièrement le comprendre. «Il m'est si difficile », écrit Abel, « de m'exprimer tout-à-fait intelligiblement dans cette matière, sur laquelle on a encore si peu travaillé à ma façon! »

Depuis son arrivée à Berlin, il s'était déjà proposé encore un nouveau problème dans le même ordre d'idées, celui de déterminer toutes les équations, qui sont résolubles algébriquement.

(1) Lettre à Holmboe du 16 janvier 1826.

La manière heureuse dont il avait surmonté les difficultés dans la démonstration de l'impossibilité de résoudre algébriquement les équations de degrés supérieurs tout à fait générales — diffcultés que les plus grands géomètres des temps passés s'étaient en vain efforcés d’écarter — l'avait ainsi amené de bonne heure à se poser un problème d’une nature plus positive, mais constituant d’ailleurs l’entreprise la plus audacieuse; et cela, il faut bien le remarquer, dans les circonstances où la possibilité, au moins partielle, de l'exécution n'était plus déjà une vaine imagination, où le travail dépensé à cette œuvre n'était plus un vain gaspillage de forces, mais où le terrain était soigneusement préparé, et les moyens d'action les plus puissants étaient mis en usage. La solution progressive de ce vaste problème, qui naturellement se rattache au précédent et le complète, est sans aucun doute de la plus haute importance pour les progrès ultérieurs de l'analyse mathématique.

«Je ne suis pas encore tout à fait prêt », écrit Abel à Holmboe; «mais, autant que je puis comprendre, cela ira bien. Tant que le degré de l'équation est un nombre premier, cela n'offre pas une bien grande difficulté; mais quand c’est un nombre composé, alors le diable s'en mêle. J'ai fait des applications à des équations du cinquième degré, et J'ai résolu heureusement le problème pour ce cas. J'ai trouvé un grand nombre d'équations, outre celles que l’on connaissait déjà, qui peuvent se résoudre. Quand j'aurai terminé le mémoire comme je le désire, je me flatte qu’il sera bon. Ce travail en tous cas est quelque chose de général; on y trouvera de la méthode, et c’est ce qui me paraît le plus important. »

En dehors des divers problèmes qu'Abel, à cette époque, s'était proposé de résoudre ou avait effectivement résolus, mais que nous nous dispensons de mentionner comme relativement moins essentiels, il est un autre travail d’une importance hors ligne, qui maintenant l’occupera longtemps. Et certainement, bien qu’il semble à première vue tenir une petite place dans ses écrits, ce travail spécial a exercé l'influence la plus considérable

sur son œuvre scientifique. Un coup d'œil rétrospectif, auquel peu à peu il avait été forcément conduit par tant d'essais hardis, et pas toujours heureux, pour reculer les limites de la science, lui fit voir de plus en plus les points faibles du système tout entier des mathématiques de l'époque, surtout quand il s'agissait de pénétrer dans des régions plus élevées, jusque-là inaccessibles aux efforts des chercheurs et où les anciennes idées n'étaient pas toujours suffisantes. En maint endroit il fallait consolider les fondements et épurer les conceptions, si l’on voulait avec sûreté continuer l'édifice.

Il faut voir avec quelle rudesse il s'attaque aux extravagances de la science. « Les séries divergentes », dit-il avec sa manière originale et parfois un peu brutale, « sont en bloc une invention diabolique, et c'est une honte que l’on ose fonder là-dessus une démonstration quelconque. On peut, avec leur secours, établir tout ce qu'on voudra, et ce sont elles qui ont donné naissance à tant de déceptions et à tant de paradoxes. Peut-on imaginer quelque chose de plus affreux que de dire que... Tout cela m'a fait lever les yeux avec une vraie consternation, car, si l’on excepte les cas les plus simples, tels que les séries géométriques, il n'existe, dans toutes les mathématiques, presque aucune série infinie dont la somme soit déterminée rigoureusement ; en d'autres termes, ce qu'il y a de plus important en mathématiques ne repose sur aucun fondement. La plupart des résultats sont justes, il est vrai, et c’est un fait extrêmement étonnant. Je fais mes efforts pour en découvrir la raison. C’est un problème excessivement intéressant. — Je ne crois pas que l’on püt me proposer beaucoup d’énoncés où il entrerait des séries infinies, et dont la démonstration ne me fournit pas matière à des objections fondées. Fais-le, et je te répondrai. — La formule de binôme elle-même n’esl pas encore démontrée rigoureusement. J’ai trouvé que, ete. Le théorème de Taylor, fondement de toutes les hautes mathématiques est tout aussi mal établi. Je n’en ai rencontré qu'une seule démonstralion rigoureuse; c’est celle de Cauchy dans son Résumé des leçons sur le Calcul infinitésimal. »

Vers le même temps, Abel préparait aussi un mémoire très remarquable concernant la série du binôme. Il avait choisi comme objet d’une étude approfondie un des fondements les plus essentiels des hautes mathématiques. Ce mémoire est en outre un témoignage spécial de la sagacité et de la pénétration de l'auteur et de sa finesse critique. Là aussi il ouvre une campagne contre le manque de rigueur avec lequel on opère en toute sécurité au moyen des séries infinies, comme s'il s'agissait d'expressions finies, en même temps qu'on se sert des séries divergentes pour calculer des valeurs numériques, procédé, dit-il, « avec lequel on peut démontrer tout ce que l’on veut, l'impossible aussi bien que le possible. » Le principal mérite de ce travail réformateur sur le problème du binôme n'appartient pas cependant exclusivement à Abel; il n’y a même pas pris la part prédominante. Son mémoire s'appuie en réalité sur l'important ouvrage déjà cité de Cauchy, le Cours d'Analyse, publié à Paris quelques années auparavant, en 1821. Cauchy avait lui-même travaillé sur le même terrain, en devançant ainsi Abel, qui évidemment avait pris cette direction sous l'influence du grand géomètre français; il sy était montré comme un réformateur de la science, établissant des règles pour la convergence des séries infinies, et proscrivant tout emploi des séries divergentes. Cauchy, bien qu'avec moins de détails et avec moins de profondeur et de pénétration que son successeur, ne se contente pas d'étudier encore généralement cette série fondamentale pour les valeurs réelles et imaginaires de la variable, mais il la considère encore pour les valeurs critiques, où sa détermination cesse définitivement d'exister.

Un autre objet non moins digne d'attention est une remarque, faite dans le même travail, et d’après laquelle Cauchy, dans son excellent ouvrage, énonce un théorème dont il semble que l'évidence soit {rès facile à saisir, mais qui n’en est pas moins douteux; ce théorème concerne la détermination de la continuité d'une fonction, lorsqu'elle se présente comme la somme d'une série, composée uniquement de fonctions partielles continues. Quand on sort du domaine algébrique, pour entrer dans un

terrain complètement étranger, alors, comme on le constate par un exemple emprunté aux séries trigonométriques, on voit cesser en réalité cette généralité supposée. Et ce fait, qui, si invraisemblable quil pût alors paraître au premier abord, n'avait pourtant pas échappé à l'œil pénétrant du jeune mathématicien, devait aussi Jouer un grand rôle dans les progrès de la science. Avant toutes choses, un résultat important, c'était que les recherches, qui Jusqu'à cette époque ne s'étaient guère attachées à de pareilles propriétés des fonctions, transportassent leur action sur un terrain plus élevé. Cette transformation n'est pas due seulement aux travaux d’Abel et de ses successeurs, mais aussi aux études auxquelles a conduit le développement de la physique mathématique, et particulièrement la théorie de Fourier sur la propagation de la chaleur dans les corps solides conducteurs.

Dans une lettre postérieure, au professeur Hansteen, il revient sur ce sujet, en continuant ainsi son important travail de révision dont il s'était manifestement occupé depuis quelque temps, non seulement avec beaucoup d'ardeur, mais aussi avec un succès marqué; car déjà en janvier il écrit à Holmboe que cela va bien et «que cela l'intéresse énormément, » Dans la lettre de Dresde déjà citée, en date du 29 mars, il s’explique sur ce sujet pour la seconde fois, et il exprime ses idées en termes remarquables.

«Je me réjouis infiniment », dit-il, « de rentrer dans ma patrie et d'y trouver les moyens de travailler tranquillement. J'espère que cela finira par bien marcher. Les matériaux ne me feront pas défaut d'ici à plusieurs années; J'en récolterai bien quelques-uns en voyage; car Juste en ce moment il y a beaucoup d'idées qui me trottent dans la tête. Les mathématiques dans leur plus pure acception devront faire à l'avenir mon seul sujet d'études. Toutes mes forces seront employées à porter la lumière dans là monstrueuse obseurité qui incontestablement règne aujourd'hui sur l'Analyse. Elle manque si complètement de plan et de système, qu'il est en vérité grandement surprenant que tant de gens puissent se livrer à son étude, et ce qu'il y a de pire ici, c’est qu'elle n’est nullement traitée avec rigueur. On

trouve excessivement peu de propositions dans la haute Analyse qui soient démontrées d’une manière incontestablement rigoureuse. Partout on rencontre la déplorable coutume de conclure du particulier au général, et il est extrêmement remarquable que, d'après cette manière de procéder, on n’aboutit que rarement à ce qu'on appelle des paradoxes. Il est vraiment très intéressant de chercher la cause de ce résultat. — D'après mes idées, cela tient à ce que les fonctions dont l'Analyse s’est occupée jusqu'ici peuvent le plus souvent s'exprimer par des puissances. — Dès qu'il s'en présente parfois d’autres, cas, il est vrai, qui ne se rencontre pas souvent, les choses ordinairement ne vont plus bien, et les fausses conclusions font naître alors un enchaînement d’une multitude de propositions inexactes. — J'ai examiné à fond plusieurs de ces résultats, et j'ai été assez heureux pour tirer la chose au clair. Pour peu que l’on procède d’une manière générale, cela marche assez bien; mais J'ai dû être particulièrement circonspect; car les propositions une fois admises sans démonstration rigoureuse (c’est-à-dire sans démonstration) ont poussé dans mon cerveau de si profondes racines qu’à chaque instant Je suis exposé à m'en servir sans examen suffisant. Ces pelits travaux paraitront dans le journal publié par Crelle. »