DÉPART POUR FREIBERG

Vers la fin de février, Keilhau, qui était encore une fois revenu à Berlin, devait retourner à Freiberg, où il continuait, à l’Académie des Mines, ses études géologiques. Dans sa visite de Noël, il engagea Abel à venir avec lui, et ainsi le départ fut décidé, Après un petit détour en passant par Leipzig, les deux amis continuèrent leur route vers la ville des mines. Abel resta là un mois pour rendre à Keilhau sa visite, et principalement, d’après ce qu'il nous apprend, pour revoir un mémoire considérable, destiné à être imprimé dans le Journal. H l'écrivit lui-même en allemand, ajoute-t-il, — passablement fier de ce premier essai, — il avait fait usage auparavant de la langue française, et Crelle lui servait de traducteur — «et cela fut imprimé comme il l'avait écrit. »

Probablement il s'agit ici du volumineux Mémoire n° VI du tome [°T (1) des Œuvres complètes. Il est, en ce qui touche la publication et aussi la rédaction définitive, d’une date antérieure au problème du binôme, dont nous avons déjà parlé à propos d'une circonstance précédente, parce que ses études avaient été dirigées de ce côté. Il n’est pas possible, du reste, de déterminer l'époque de la composition de ces mémoires avec plus de précision; peut-être appartiennent-ils tous les deux à la période de Freiberg ; car le voyage de vacances qui suivit cette période ne permit pas le repos nécessaire pour un travail scientifique si important.

Dans les lignes suivantes, nous allons donner au lecteur une idée du contenu de ce travail de Freiberg, et en même temps nous indiquerons aussi quelles étaient à cette époque les autres questions dont Abel s'occupait. La nature de ses recherches ressortira de nos éclaircissements, bien que les détails mathématiques qui seront sous-entendus ne soient pas à la portée de tous les lecteurs. Les projets grandioses, la hardiesse du plan et l’habileté de l'exécution pénètreront peut-être, malgré l'obscurité de inainte expression, dans l'intelligence du lecteur attentif, et

(4) N° XI du tome 1°7 de la seconde édition.

c'est là le seul et unique but des développements que j'entreprends. Certainement aussi, dans ces recherches si lointaines et si spéciales, la vigueur de l'esprit scientifique et de la méthode pourra être clairement reconnue dans l'ensemble, par ceux-là mêmes qui ne peuvent prétendre à se trouver chez eux dans ces régions abstraites.

Dans ce paragraphe (et dans la première moitié du suivant) on trouvera de nombreux et longs développements, confinant à l'extrême limite de l’exposition populaire. Mais, par des motifs qui seront ensuite expliqués plus au long, nous nous voyons ici contraint, pour une partie relativement la plus considérable, d'interrompre la narration toute simple, et d'entrer dans des détails qui ne pourraient être compris dans toutes leurs parties que par un cercle étroit de lecteurs. Ce n’est pas une petite tâche, nous le savons, que nous imposons à la bienveillante patience de nos lecteurs étrangers aux mathématiques. A celui, du reste, qui préfèrera sauter par-dessus les parties trop abstraites, nous conseillerons de passer à la conclusion du paragraphe suivant qui traite des liaisons entre les recherches d’Abel et celles de Jacob; ou mieux encore au tableau des relations entre Abel et Gauss, et à ce qui se passa lors de la dispersion de la colonie et du départ pour le voyage dans le Sud.

Dans ce Mémoire, le premier mentionné, il traite donc un vaste cas particulier appartenant aux travaux déjà commencés, mais jamais publiés en entier, sur le caleul intégral, qui était un des principaux objets de ses recherches. Il reprend, avec certaines restrictions et pour l’étudier dans une tout autre direction qu'auparavant, cette intégrale hyperelliptique d'autrefois, au moyen de laquelle il était parvenu à la périodicité double et plusieurs fois double, — travail important, bien qu'imparfait, sur lequel nous avons déjà plus haut appelé l'attention.

Cette intégrale n'était pas seulement une généralisation des intégrales élémentaires, savoir, des intégrales algébriques et logarithmo-cireulaires, correspondant à des racines de polynômes d’un degré non supérieur à 2; c'était même une généralisation étendue des intégrales de la calégorie suivante, les