MÉMOIRE DE FREIBERG

intégrales elliptiques. Pour celles-ci, le degré du polynôme ne dépasse pas 4; mais elles peuvent aussi être considérées comme renfermant les précédentes comme cas particulier. Si l'on franchit maintenant ces limites, on entre dans un domaine extrêmement vaste, offrant une richesse infinie de formes, et qui a été désigné plus tard sous le nom collectif de transcendantes hyperelliptiques.

Ces transcendantes, à leur tour, sont comprises dans le domaine des intégrales abéliennes, intégrales dont Abel projetait d'étudier les réductions et les caractères avec détail, après avoir décrit leurs propriétés fondamentales dans son théorème d’addition, non encore publié (!). Ainsi ces transcendantes et plus encore les nouvelles intégrales de classes supérieures répondaient, dans un ordre parallèle, aux équations de degrés supérieurs de l'analyse algébrique, branche des mathématiques si peu cultivée jusque-là. Les fonctions elliptiques, au contraire, n'avaient pour termes de comparaison que les équations cubiques et biquadratiques, équations que, depuis le temps de la Renaissance, on avait appris à résoudre ; et enfin, en tant qu’on pouvait les concevoir comme représentant les intégrales élémentaires qui en sont des cas particuliers, elles correspondaient également aux équations du premier et du second degré.

Pour entreprendre l'étude de ces intégrales ultraelliptiques, on dépassa ainsi de nouveau le nombre-limite habituel #4, au delà duquel on avait si rarement osé s’aventurer. Un Gauss et un Lagrange avaient déjà fait, dans cette contrée inconnue, des conquêtes pour la science, surtout le premier par sa belle théorie de la division du cercle; mais les plus heureux succès obtenus dans ces domaines el la découverte capitale des richesses qu'ils renferment appartiennent à Abel.

Cependant cette vaste généralisation exigeait encore des délimilations et un ordre fondé sur de nouveaux caractères de division et sur de nouveaux principes. Ceux-ci ne devaient pas

(t) T. IT, no X (2e édition); écrit avant le voyage d’Abel, et non publié par luimême, avec un seul grand théorème.

être établis d’après des relations extérieures et accessoires, mais d'après la nature et l'essence intime des choses, et reposaient nécessairement sur un examen poursuivi jusque dans les plus menus détails.

Ainsi, s'affranchir toujours de plus en plus de toutes les restrictions arbitraires, qui sont les instruments d’une science encore imparfaite;, trouver les vraies lignes de démarcation et déterminer les limites avec le contenu qu’elles renferment, là où régnait auparavant une généralité sans nom : telle est la marche qui s'impose à un moindre degré, il est vrai, dans l'étude des problèmes ordinaires, mais qui devient une nécessité impérieuse pour celui qui s'attaque aux grands problèmes, aussi bien que pour le naturaliste établissant une classification rigoureuse. C’est en même temps un moyen fécond pour obtenir sûrement des résultats encore plus étendus.

Une telle délimitation du sujet, choisie pour une étude systématique des intégrales abéliennes, a consisté d’abord à considérer exclusivement les intégrales hyperelliptiques. En d’autres termes, Abel n’admettait aucune irrationnalité supérieure à un seul radical carré, tandis que la quantité soumise à ce radical pouvait être d’un degré quelconque. En outre, il étendait la restriction en exigeant que la fonction rationnelle contenue dans l'expression fût entière (1).

De cette classe d’intégrales, qui restait encore extrêmement étendue, il détache maintenant toutes celles qui, par leur caractère exclusivement logarithmique, appartiennent en quelque sorte improprement à cette classe et qui continuent à en conserver la forme extérieure, mais qui, en réalité, sont de rang inférieur : manière de procéder tout à fait rationnelle, dont on pouvait attendre qu'elle fournirait des moyens pour l'étude niême des subdivisions plus élevées, comprises dans ce domaine de transcendantes tout entier.

Dans le plan d’Abel est comprise, sans doute, une séparation de

M (1) T. 1 (2e édit.), n° X, p. 105, lig. 5 en rem., au lieu de

—, lisez p.

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