MÉMOIRE DE FREIBERG

toules les formes inférieures, des formes algébriques et des formes logarithmo-cycliques, aussi bien que des formes elliptiques; mais l'exposilion et l'examen complet de cette classification dans une mesure plus large sont renvoyés à des temps plus tranquilles.

Cependant tandis qu'il groupe silencieusement ses matériaux, il restreint en apparence son problème par une nouvelle condition préalable, Il exige encore un résultat d'intégration ayant une forme unique, indiquée et particularisée avec précision (1), et profitant des moyens de secours qu'il a arlistement ménagés, il résout alors le problème. Finalement il fait l'application de sa méthode aux intégrales elliptiques (?).

Ce détour, comme nous l'avons déjà remarqué en passant, n'est qu'un échelon dans une déduction méthodique, fondée sur des considérations supérieures, et appartenant aux diverses généralisations du problème de Freiberg, qui étaient réservées pour l'avenir. Gar il ajoute, en terminant, que la condition d'un caractère fondamental logarithmique en général, même dans le cas de la plus haute extension, n'apporte aucun changement dans la construction intime des formes d’intégrales déduites (3). C'était donc une réduction des conditions aux extrêmes limites, combinée d'avance et élablie par des études de plus en plus profondes ; il ne s'agissait nullement d’une particularisation forcée, trahissant la nécessité de battre en retraite devant des difficultés insurmontables.

De telles généralisations d'un problème et de la solution de problèmes plus restreints se rencontrent souvent intercalées, sans démonstration, dans les travaux d’Abel ; elles font voir de combien de temps habituellement ses découvertes étaient en avance sur leur rédaction en un mémoire achevé; elles montrent aussi combien étaient vastes les questions dont il s’occupait, et qui même dépassaient en ampleur et en audace les nombreux et gigantesques problèmes qu'il lui fut donné de mener à bonne fin;

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quelquefois elles dépassaient bien ce qui pouvait être réalisé avec le secours des moyens connus de son temps. Ces généralisations sans démonstrations, combinées avec les parties développées de ses déductions, nous ouvrent une vue générale sur une méthode à la fois ingénieuse et féconde, grâce à laquelle les délimitations et les restrictions rationnelles seront discutées avec le plus grand soin, et une réduction plus simple préparera les recherches suivantes. Aucune simplification ultérieure ne peut donc plus se réaliser, et l'impossibilité de la pousser encore plus loin devient dès lors un moyen auxiliaire de démonstration.

Sa manière de poser les problèmes n'est pas moins importante ni moins caractéristique; elle est telle qu'il y a toujours ainsi une réponse à donner à chaque question, et cette réponse fût-elle même négative, constituera un progrès dans la solution d'un problème plus général. Ainsi une question de possibilité étudiée avec circonspection précède la discussion détaillée des problèmes.

Durant son séjour à Freiberg, il parvint encore à faire faire à la théorie des équations algébriques un nouveau progrès. Au fond, ce progrès était de la même nature que celui dont nous venons de parler. De même, en effet, quil avait déterminé la forme d’une classe d’intégrales hyperelliptiques réductibles logarithmiquement, de même il cherchait maintenant, dans certaines circonstances particulières, à déterminer la forme des racines, de façon qu’une équation de degré supérieur füt algébriquement résoluble. Il considéra en particulier l'équation du cinquième degré à coefficients numériques rationnels, pour laquelle il résolut complètement le problème.

Il énonça en même temps un résultat nouveau qu'il avait obtenu simultanément, sans toutefois l'accompagner d'aucune démonstration. Crelle, avec qui il resta toujours en correspondance suivie, en eut communication dans une lettre à ce sujet, datée du 14 mars, et Abel ajoutait qu'il avait trouvé des théorèmes analogues pour les équations des degrés 7, 11, 15, etc.

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