CORRESPONDANCE DES ÉQUATIONS ET DES INTÉGRALES

Ainsi une certaine unité d'idées relie entre eux les travaux d'Abel à Freiberg; ils se coordonnent ensemble comme les anneaux d’une même chaîne de pensées, qui devient de plus en plus visible. Des modes semblables de représentation sont appliqués à des problèmes faisant partie, à première vue, des domaines de recherches mathématiques les plus éloignés les uns des autres.

Si les équations algébriques ne sont pas loutes résolubles par radicaux, on pouvait poser cette question : comment doivent-elles être constituées pour que la résolution soit possible, et particulièrement quelle forme doivent avoir les racines algébriques de ces diverses classes d'équations de degré supérieur? D'autre part, si les intégrales elliptiques ou hyperelliptiques ne sont pas loules intégrables algébriquement ou logarithmiquement, de quelle manière ces intégrales mêmes, ou certaines espèces déterminées d'entre elles, doivent-elles être particularisées (savoir, en premier lieu, au point de vue de la forme extérieure) pour qu’une telle réductibilité puisse s'effectuer?

Telle était la marche que suivaient alors ses pensées.

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Le

Sur les grands travaux qui se préparaient, etsur leurs liaisons avecles recherches antérieures de Legendre et les recherches subséquentes de Jacobi.

L'importance des révolutions scientifiques — il nous est permis de les nommer ainsi — qui étaient maintenant imminentes, non seulement dans le domaine de l'analyse algébrique, mais principalement dans cette partie des mathématiques dont Abel, par son idée de linversion, tira d'une manière aussi inattendue une source abondante de développements de nouvelles fonctions, si remarquables par leurs propriétés, — l'importance, disons-nous, de ce sujet nous ramène à nous occuper de nouveau à celte place des travaux plus considérables qui se préparaient, et de leurs relations, pour ce qui regarde l'étude des intégrales, avec les travaux plus anciens de Legendre, et les recherches postérieures de Jacobi.

Le passage à un maniement plus détaillé des problèmes, où les sommes d’intégrales tiennent la place de l'intégrale isolée — de même que des sommes ou d’autres combinaisons d’espèces différentes des racines tiennent la place de la racine isolée, — n'est pas éloigné du cercle d'idées où Abel se mouvait actuellement; d'autant plus que ses études sur les intégrales se rattachaient de près à ses profonds travaux algébriques, et qu'il avait déjà, à Christiania, découvert son théorème d’addition.

Il y avait longtemps, en outre, que la double périodicité dont jouissent les fonctions elliptiques avait été trouvée (!). Et cette découverte se présenta d'abord comme un fruit de l’heureuse

(1) Tome I, n° VIT: écrit avant les voyages et non pubiit par Abel, Ici se trouve l’inversion et une périodicité multiple.