LEGENDRE ET ABEL

idée qu'Abel avait conçue dans sa première année d'étudiant, savoir, l'inversion des intégrales elliptiques elles-mêmes, après que le domaine ultraelliptique correspondant, par une marche ascendante du procédé analytique, eut été l'objet de ses tentatives de description. Durant une longue suite d'années, ces mêmes intégrales avaient été, dans les directions les plus variées, le sujet des recherches de Legendre, sans que lesprit du vieux maître eût pu accueillir une idée comme celle de rattacher leurs combinaisons fondamentales, provenant d’une inversion, à celles des fonctions trigonométriques et exponentielles, ou, en d’autres termes, avec les transcendantes les plus élémentaires de la science mathématique.

Un problème d’un grand intérêt historique, appartenant à ces recherches spéciales sur les intégrales, et dont la généralisation et la solution sous la forme ainsi généralisée devait jouer un rôle prépondérant dans la future théorie des fonctions elliptiques, avait été posé dans le siècle précédent par Landen. Plus tard ce problème fut discuté avec grand soin par Legendre et Lagrange. C'était donc le problème, depuis longtemps élaboré, de la transformation elliptique, ayant pour objet de ramener les intégrales correspondantes à d’autres semblables, mais de modules différents.

Sur ce point aussi, malgré tout le travail qui s'y était dépensé, on était loin d’une méthode rationnelle de solution adaptée à la nature du sujet, et d’une conception du problème lui-même, plus idéale et se rattachant à la question. On n'avait pu résoudre jusque-là qu'un petit nombre de cas particuliers; le point de vue élait étroit, et les efforts tendaient plutôt, suivant les idées d'autrefois, à faciliter le calcul numérique à l’aide d'échelles modulaires et de tables, qu'à instituer une étude des propriétés caractéristiques, avec ou sans égard à toutes les conséquences pratiques.

Pour opérer en pleine conformité avec l'esprit abélien, il fallait s'élever au-dessus de ces considérations étroites et poser le problème de la transformation dans sa plus vaste généralité. Naturellement cette intégrale était traitée sous une des formes

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normales, au moyen desquelles toutes les transcendantes d'ordre inférieur — les logarithmes et les arcs de cercle — peuvent déjà être regardées comme exclues. Car, pour obtenir cette irréductibilité, qui dans toutes les recherches d'Abel joue un rôle d’une si évidente importance, et que l’auteur emploie d’une façon si magistrale comme moyen de démonstration, il suffisait dès lors de mettre de côté certaines valeurs-limites des constantes contenues dans l'intégrale; en poussant ensuite plus loin le développement, ces restrictions, si on l'exige, pourront être levées. — Le but d’Abel n’était donc pas, comme le but primitif de Jacobi, de trouver la substitution isolée d'ordre supérieur à l’aide de laquelle pouvait s'effectuer la transformation de l'intégrale, ou d'obtenir cette transformation en même temps que sa complémentaire (1). En profitant des moyens dont il disposait, Abel s’attaqua immédiatement à la solution complète du problème, en cherchant toutes les substitutions, les imaginaires aussi bien que les réelles. Il ne s'en tint pas non plus, dans le cours de son travail, à la considération des substitutions rationnelles; il admit aussi les irrationnelles, et plus tard il supposa même un nombre quelconque de fonctions elliptiques (?). Ainsi, du problème de la transformation pour les intégrales les plus simples, il parvint finalement à la solution de tous les cas restants, et, par suite, à ceux de la seconde et de la troisième espèce (Ÿ).

Le mode de procéder d’Abel, lorsqu'il attaque son problème de Freiberg (*), rappelle déjà les moyens que Jacobi devait employer plus tard pour arriver à son principe de transformation. On y opère sur des expressions de même nature; on difiérentie et l’on élimine d'une manière entièrement pareille; pareillement aussi on détermine ce qui se rapporte à la divisibilité et au degré. Mais avant tout, dans les deux cas, l'attention est appelée sur les

(") C'était là, en effet, à l’origine, le but de Jacobi.

(?) Voir Recherches, etc., n° 49 (1re édit.).

(3) Voir le Mémoire XVIII (même édit.) : Th’orème général sur la transformation des fonctions elliptiques de la seconde et de la troisièsne cspèce.

() T. 1, n° XI, les deux ou trois premiers paragraphes.

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racines el sur la représentation des polynômes sous forme de produits. Pour un géomètre aussi éminent que Jacobi, Pidée de généraliser la théorie de la transformation de Legendre ne pouvait manquer de lui venir à lesprit, quand un problème comme celui de Freiberg venait d'être traité avec succès.

De cet excellent mémoire, rédigé, comme plusieurs des précédents travaux d’Abel, avec quelques longueurs, Jacobi a dû plus tard tirer profit, de même qu’Abel, tout récemment, s'était servi (1) du Cours d'Analyse de Cauchy. Car, pendant que le géomètre de Künigsberg, suivant le récit de Dirichlet, cherchait vainement à puiser des idées nouvelles dans la lecture du grand ouvrage de Legendre, et qu'il s’apprêtait déjà à quitter ce travail ingrat, il lui vint, dans un champ de recherches voisin du sien, des idées grandes et fécondes. En même temps, les moyens d’exéculer ce plan se présentèrent avec toute la clarté désirable.

Dans le cours de mars 1827, c’est-à-dire une année juste après l'époque en question, alors qu’un certain nombre de mémoires d'Abel, parmi lesquels son travail de Freiberg, avaient depuis longtemps été livrés à la publicité, le jeune privatdocent de Künigsberg découvrit son principe de transformation, et, comme il résulte d’une communication faite plus tard à Legendre, c’est par là que lui fut ouverte la voie qui le conduisit ensuite à la théorie de la transformation.

Mais bien que cette découverte préliminaire ne fût pas sans relations avec les idées initiatrices du géomètre pour lequel, peu de temps après, il exprimait une si haute admiration (et dont il avait su mieux et plus tôt que personne apprécier les travaux), il se produisit cependant dans l’ensemble de la méthode pour traiter le problème, des divergences graves; car, ce n'est que dans les préliminaires, et si l'on veut, dans les premières opérations servant de point de départ, que l'on peut distinguer un lien clairement perceptible qui rattache les deux auteurs. Et des fondements donnés — parmi lesquels ces travaux d’Abel devaient

(1) No XIV, 5 2.

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occuper une place jusque-là inaperçue — détacher les idées, les transformer pour les nouveaux besoins, concevoir non seulement l'idée d'une si haute généralisation de la théorie de la transformation de Legendre, mais encore, avec les moyens à sa portée, pousser aussi loin ses recherches, — c'était là bien réellement faire un pas considérable. Ge pas n’eût pu être fait, si Jacobi, dans ses longues recherches sur les sources, n'eût pas approché de très près du même objet.

De même, les idées abéliennes, si inattendues et si isolées qu'elles se présentassent, on pourrait, moyennant une connaissance approfondie de l’histoire et des auteurs (peut-être aussi des écrivains les plus modestes), les suivre dans leur filiation avec d’autres cercles d'idées, en apparence entièrement étrangers. Car sans ces contacts, une influence intellectuelle ne peut être provoquée. Chez cet esprit richement doué, ces contacts sont devenus prodigieusement féconds; ils se sont transformés en problèmes pratiquement résolubles, et ont appelé à la vie mille idées nouvelles qui existaient en germe dans les profondeurs de son Cerveau.

Certainement les prophéties de Degen ont eu leur influence excitatrice sur tout l'ensemble de la direction scientifique d'Abel; l'art déployé par Lagrange pour traiter et pour exposer ses sujels, ainsi que les travaux réformateurs de Cauchy ont eu une part considérable dans sa méthode de recherches rigoureuse et correcte; le mystère impénétrable qui régnait sur la division du cercle de Gauss, et peut-être le doute exprimé par ce géomètre au sujet de la résolubilité des équations algébriques de degré supérieur l'ont excité à continuer ses efforts, et ont enrichi ses découvertes des plus beaux résultats. Mais ce sont avant tout les recherches de Lagrange et de Legendre et les germes d'idées nouvelles que son regard indépendant et scrutateur y voyait poindre, c’étaient aussi l'imperfection et l'infécondité sur tant de points des travaux de ces géomètres, c’étaient là les causes qui, plus que tout le reste, lui avaient donné l'impulsion pour les plans de campagne qu'il dressa et qui le guidèrent dans le droit chemin.

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Mais les choses se passrent certainement de la même manière pour Jacobi, en particulier, dans ses rapports avec Abel.

Bien qu'il n'existe aucun document sur ce sujet, on ne peut douter que les découvertes d’Abel et particulièrement le mémoire de Freiberg, n'aient vivement piqué lPémulation de Jacobi. Là était caché un trésor d'idées, d'idées venant de contrées nouvellement découvertes, pour remplacer les vieilles idées traditionnelles, usées depuis longtemps jusqu'à leurs dernières limites. De là devaient maintenant en jaillir de nouvelles.

C'est là maintenant qu'il fallait chercher les modèles les plus précieux, non seulement pour leur choix, mais pour la manière de traiter, du moins dans les premiers pas, les problèmes importants qu'il fut d'abord conduit à se poser, et dont la difficulté initiale finit par céder à la découverte de son principe de transformation.

Pour Abel, cela va sans dire, c'était une idée toute naturelle et toute préparée d'exposer ce même principe, si toutefois il ne l'avait pas déjà fait depuis longtemps, et des raisons que nous donnerons plus tard rendront cette supposition plus que probable. Il en serait de même en général pour les problèmes de la même nature que le problème en question, qui sans aucun doute étaient toujours à sa portée et tout préparés d'avance.

Par ces voies, Jacobi fut maintenant amené à une généralisation de ces problèmes de transformation dont la publication dans le journal de Schumacher — qui parut en septembre, mais qui portait les dates de juin et d'août, — enrichit d'une de ses plus belles théories l'édifice scientifique élevé par Legendre.

Mais en dépit de l'importance de ce travail pour les fonctions elliptiques, qui allaient bientôt faire leur apparition, la brèche n’était pas encore ouverte pour l'entrée des idées nouvelles. L'esprit et le but étaient ceux de Legendre; le sujet traité, un théorème d'intégration se rapportant aux unciennes lranscendantes, et ayant pour objet essentiel une évaluation à l'aide d'une formation d'échelles.

Pour ce qui est des relations entre la seconde de ses publications dans le même journal et les Recherches d'Abel qui lont précédée, nous éclaircirons plus tard cette question.

Les mémoires d'Abel à cette époque furent publiés dans le même Journal, récemment fondé, dans lequel Jacobi— abstraction faite des articles qu'il faisaitparaitre dans les Astronomische Nachrichten, — avait donné les premières preuves de ses hauts talents pour les investigations scientifiques. Sans doute la lecture des travaux du géomètre norvégien a dû exercer sur son émule une influence féconde, et c’est ce qui devient probable aussi en raison de plusieurs circonstances extérieures. Jacobi avait pareillement, dans sa première Jeunesse, lufté avec l'équation du cinquième degré. Dans le nouveau Journal, il est le collaborateur d’Abel, presque depuis la fondation; tout récemment, il y avait inséré un article, avant même qu'il eût publié dans un autre recueil sa découverte relative aux transformations; et dans le Journal, au moyen des recherches d’Abel (Sur l'équation du cinquième degré), la question s’éclaireissait pour lui. Dans les œuvres de Legendre il prit connaissance de la théorie des intégrales elliptiques (qui ne lui suggéra aucune inspiration); puis, dans le Mémoire de Freiberg (œuvre d'Abel), il trouve traitées des intégrales appartenant à des classes plus élevées, quoique soumises à l'hypothèse d’une réductibilité à des fonctions logarithmiques ; et Justement dans les premières pages ($ 2), ces opérations fondamentales se développent de manière que, avec une modification correspondante du but, elles donneraient le principe de transformation. Ce mémoire, inséré dans le troisième cahier du Journal, était déjà, suivant une lettre de Crelle, antérieurement au 12 avril 1826, entre les mains des mathématiciens de Berlin, et le jeune docent de Künigsberg, qui se livrait avec ardeur, mais sans fruits à l'étude de Legendre, n’a guère pu manquer l'occasion de lire ce mémoire, ou du moins de prendre connaissance des fondements posés dans les premières pages. Un grand problème, d'une haute généralité, était ainsi résolu, et pouvait certainement éveiller l'idée d'essais pareils sur

un terrain analogue, qui réussiraient par des moyens semblables, Dans le quatrième cahier du Journal, — qui, d’après une lettre écrite plus tard par Crelle (24 novembre 1826), était sous presse à cette date, et ne pouvait manquer d’être à la disposition du public dans les premiers mois de 1827, — il se trouve encore un autre mémoire d'Abel, mémoire que Jacobi doit sans doute avoir regardé avec intérêt. C'était le beau travail sur la formule binomiale. Dans ce travail, où Abel avait pris Cauchy pour modèle, on présente maintenant au cercle des lecteurs du Journal les imaginaires de Gauss et de Cauchy, celles qui autrefois étaient accueillies avec tant de frayeur par les mathématiciens, et que ceux-ci (y compris aussi Legendre) avaient tant de soin d'éviter. Gauss, Cauchy et ensuite le nouveau pionnier, Abel, quelque circonspects qu'ils fussent dans leurs raisonnements, en avaient fait hardiment usage, et en tiraient un grand profit. Chez un esprit sans préjugés et accessible aux grandes idées, tel qu'était Jacobi, cette semence ne pouvait que tomber dans un sol fertile.

Aïnsi sans aucun doute, Abel, par ses travaux, par le pouvoir inspirateur de ses propres idées, et indirectement aussi par celles qu'il reçoit, qu'il perfectionne, généralise et répand, a déjà exercé une influence sur son futur rival. Dans une certaine mesure assurément, il a donc eu lui-même sa part dans l'apparition de Jacobi l’année suivante, apparition signalée par le théorème de transformation publié dans le journal de Schumacher, avec les conséquences qui en découlaient. Bien que le grand facteur fût ailleurs et à une plus grande profondeur, les idées stimulantes d’Abel ont pourtant commencé de bonne heure à faire sentir leur action.

LR

FA Abel et Gauss.

Cependant le temps était venu de se remettre en voyage. Le séjour à Freiberg ne pouvait être considéré que comme une escapade aux environs de Berlin, et l'intention primitive avait été aussi de retourner dans cette ville; mais ce plan ne fut pas exécuté. Gôttingue, le but spécial du séjour d'études d’Abel en Allemagne, il avait maintenant l'intention de le visiter; mais ce lieu lui inspirait aussi peu qu’autrefois le désir de s’y rendre.

Nous avons parlé de la répulsion, de la rancune même à l'égard de Gauss, qui à cette période s'était emparée du jeune mathémalicien. C’est là un trait qui ne doit pas être passé sous silence comme un insignifiant détail, Cette aversion, jointe à son abattement d'esprit et au besoin qu’il éprouvait de la vie en commun avec ses camarades, était un puissant motif pour que ce qui s'était déjà passé se renouvelât encore. Et certainement, sans cela, beaucoup de choses auraient eu lieu tout autrement.

Il y a lieu de croire aussi que les événements se sont développés en réalité de la manière la plus heureuse pour Abel. Ce qui lui avait fait défaut autrefois dans le cours de ses études, et qu'il venait de rencontrer maintenant dans les conditions les plus favorables, ce fut d’abord une place pour l'insertion de ses travaux, et ensuite des amis s'intéressant comme lui à la science et avec qui il pouvait échanger librement ses pensées. D'idées et d'impulsion, il n'en avait nul besoin. — On aurait peut-être, au cas où le plan primitif eût prévalu, soulevé des doutes sur la nature des rapports de ses travaux avec ceux de Gauss.

Depuis longtemps déjà le grand géomètre avait fait d'importantes découvertes sur ces fonclions lranscendantes, qui furent,

ABEL ET GAUSS. 87 depuis, étudiées à fond par Abel et Jacobi. L'intervention de ces derniers l’empêcha toutefois de rédiger ses recherches et de publier ses résultats, comme il avait la pensée de le faire, dans un ouvrage étendu : Abel surtout avait pris les devants sur lui (1).

Il est particulièrement remarquable que déjà, dans une lettre écrite à Schumacher, presque au commencement du siècle, le 17 septembre 1808, on trouve ces mots : « Peut-être Je serais en possession de vérités qui pourraient servir à décider cette question (?). Dans le calcul intégral j'ai toujours trouvé un moindre intérêt, — lorsqu'il ne s'agit que de substituer, transformer, etc., bref de pratiquer un certain mécanisme, exigeant de l'habileté, pour réduire des intégrales à des fonctions algébriques, logarithmiques ou circulaires, — que celui que m'inspire la considération la plus exacte et la plus profonde des fonctions transcendantes qui ne peuvent pas se réduire à celles-là. Nous savons traiter les fonctions circulaires et logarithmiques comme notre table de multiplication ; mais la splendide mine d'or où se cache l'essence des fonctions supérieures est encore, pour ainsi dire, une terra incognita. J'ai autrefois travaillé beaucoup sur ce sujet, et quelque jour Je ferai paraître un grand ouvrage spécial, auquel J'ai fait allusion dans mes Disquisiliones arithmetice, p. 993 (3). On est frappé d'étonnement par la luxuriante richesse de vérités et de relations nouvelles et du plus haut intérêt, que présentent ces fonctions, auxquelles entre autres appartiennent aussi celles dont dépend la rectification de lhyperbole et de l’ellipse. »

Si l’on réfléchit à tout ce que renferment ces mots, écrits à une : époque si ancienne par un savant si réservé dans ses assertions,

- !: (1) A la vérité, Gauss certainement n’a pas pensé à Jacobi. Les petites notes de ’

celui-ci, incomplètes et ne répondant pas à la généralité avec laquelle il possédait les choses, n’imposaient pas au grand géomètre. Aussi Gauss ne parle que d’Abel, (B.) (2) L'intégration d’une équation différentielle proposée par Pedrayes et traitée par Pfaff dans les Archives &e Hindenburg, pour un cas particulier. (3) Opera, t. 1, p. 412.

et que l’on en rapproche les importantes déclarations formulées plus tard, ainsi que tout ce que l’on pourra conclure d'autre part des matériaux rassemblés dans ses Œuvres, il ne serait certainement pas injuste de dire que, si Abel depuis le commencement de son voyage d’études se fût fixé à Gôttingue (où il n’est jamais allé), alors, au détriment de sa gloire scientifique, et non sans des motifs graves en apparence, on aurait pu parler de l'influence immédiatement féconde du contact de Gauss. Dès lors lui, le disciple de talent, achevant et complétant ce que le maitre avait commencé, aurait puisé à cette source ses meilleures idées.

S'il n’a existé aucun contact personnel entre Jacobi et Abel, il n’y en eut non plus aucun entre Abel et Gauss. Des idées cireulaient à ce moment; chez Gauss, elles arrivèrent le plus tôt à la maturité; mais elles furent mises au jour pour la première fois et utilisées plus complètement par Abel. À un degré éminent, bien qu'inférieur, Jacobi prit aussi part à ce travail; il sut néanmoins rattraper promptement son devancier, et bientôt après, à la mort d’Abel, se trouva par survivance placé à la tête du progrès de l'avenir. Mais entre les deux géomètres il ne fut jamais question de rapports personnels de maitre à disciple.

Même pour des hommes de science de rang inférieur, comme Degen, les idées qui circulaient dans l'air leur apparaissaient, et comme nous l'avons vu, Degen a été un guide qui a indiqué le but, sous une forme obscure et mal définie, au jeune élève de l'École cathédrale. Ces idées se sont-elles répandues en partant d'un centre unique et lumineux, ou se sont-elles indépendamment fait jour en maints endroits, parce que leur époque était prête à les recevoir ? c’est une question qui ne paraît pas facile à décider.

Cette aversion pour Gauss (comme celle qu’Abel conçut plus tard pour Cauchy) n'avait aucun rapport avec la haute position que ce savant illustre occupait dans la science. Abel reconnaissait ses mérites hors ligne, sans enthousiasme exagéré, mais en lui rendant toutefois pleine justice; et malgré une répulsion intime pour la personne de celui qu'il considérait comme tout à fait inabordable et possédé par lorgueil, il n’en convenait pas moins