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La théorie de la transformation d’Abel; elle est complète et remonte à une époque plus ancienne. Comment elle a été préparée, et comment elle prend place organiquement dans un plan naturellement conçu; quel intérêt historique offre ce plan pour le développement des recherches de Jacobi.

Ainsi, sur un point important, Jacobi ajouta quelque chose de nouveau à la théorie provenant d’Abel, tant qu’il s'est agi de son développement sur les fondements établis. Cela eut lieu en effet, comme nous l'avons dit, au moyen de la théorie de la transformation elle-même, que, à l’aide des représentations de l’inversion, il transporta du champ des transcendantes dans celui des fonctions elliptiques. La théorie de la transformation était en

elle-même une précieuse contribution à l’analyse de cette époque,

soit qu'il s'agisse de la forme donnée par Legendre à cette théorie, soit qu'on transforme le résultat suivant la nouvelle forme. Par son théorème d’induction du 2 août, par le suivant du 5 août, joint à son mémoire du 18 novembre, Jacobi rendit de plusieurs manières à la science mathématique, et en particulier à la branche qui se développait maintenant avec rapidité, d'importants services; et 202 il prit en partie, dans un certain sens, les devants sur Abel.

La question se pose maintenant de savoir si Abel lui-même était alors en possession de la théorie de la transformation comme supplément à sa théorie; avec quelle étendue, dans ce cas, il en était maître; ce qu'il publiait ou avait publié là-dessus, et à quel temps cette publication avait eu lieu; enfin jusqu'à quel point les publications d’Abel et de Jacobi empiétaient les unes sur les autres.

A cela on peut encore joindre cette nouvelle question, à

laquelle cependant ce n'est pas ici le lieu de répondre : Où en était, au point de vue historique, le développement futur de la théorie des fonctions elliptiques pendant tout le reste de l'intervalle qui précéda la mort d’Abel?

Qu'Abel eût pénétré cette théorie de la transformation, attribuée communément à Jacobi comme étant le premier; qu'il l'ait pénétrée non seulement avec plus de généralité et de profondeur, mais aussi bien longtemps avant son émule, c’est ce qui ressort clairement de maintes circonstances. Nous nous bornerons dans ce chapitre à produire une partie de ces preuves, et nous montrerons plus tard que les déclarations et même une communication d’Abel portent témoignage de ce fait.

D'abord on peut déjà reconnaître, d’après les Recherches, dans la première partie de ce mémoire publié en septembre, qu'il a eu en vue d'une manière bien précise la théorie de la transformation, comme un sujet qui devait venir à la suite. Dans la théorie de la division, il se sert ainsi de la même expression fondamentale qui constitue la base de la théorie de la transformation, théorie qui devait suivre celle de la division et qui était réservée évidemment pour la partie restante du mémoire. Bien plus, il désigne cette expression, dans ces deux endroits, par le même signe de fonction que la fonction elliptique principale, et avec cette nuance caractéristique, qu'il y ajoute ce que l'on pourrait appeler son indice de transformation. Car cet indice n'est autre chose que celui qu'il emploie plus tard, dans la théorie de la transformation, pour désigner le module transformé.

Que le lecteur versé dans les mathématiques compare, pour plus amples renseignements, les formules numérotées (68) et (80), ainsi que le texte qui les accompagne, avec les formules correspondantes (234), (235) et (236), dans la suite du mémoire. Qu'il remarque de même comment, dans la démonstration du théorème de transformation établi dans la dernière partie du mémoire avec toute sa généralité, les passages d’une importance fondamentale à la démonstration des expressions des fonctions (237) et (243) peuvent être regardés comme immédiatement prescrits par ce qui

est développé dans la remarque du texte accompagnant la formule (80). Ici s'éclaircissent aussi toutes les questions, telles que la formation de ce 1—y dont parle Legendre.

Dans la marche des recherches d’Abel, en ce qui concerne l'ordre de publication et le plan que cet ordre recèle, il existe en outre une particularité qui doit être remarquée attentivement à celte place.

D'une part on trouve son mémoire de Freiberg (!), qui alors était depuis longtemps livré à la publicité. Là étaient exposées des idées ayant la parenté la plus étroite avec ce que Jacobi appelait le principe de transformation.

Abel y traite, comme on le sait, une classe étendue d’intégrales hyperelliptiques, tant qu’elles sont réductibles logarithmiquement. Et si l’on imite de point en point et dans le même ordre la marche des idées dans les deux ou trois premiers paragraphes, on arrive sans beaucoup de difficulté, en essayant de généraliser la théorie de la transformation, à ce principe de Jacobi. — Pour en déduire ensuite par voie d'induction le théorème primaire de celui-ci, on n'aura qu'à s appuyer sur les anciennes méthodes.

D'autre part, nous avons dans la partie publiée des Fra à l'exposition, bien ordonnée et bien régulière dans la marche, des propriétés fondamentales des fonctions elliptiques. Et en particulier ressort maintenant la dépendance claire et logique entre la théorie de la division et la théorie de la transformation qui devrait la suivre immédiatement. La suite du mémoire fut annoncée, avons-nous dit, pour le cahier suivant du Journal.

Ainsi, pour cette théorie finale qui prend ici sa place dans l'ordre naturel, tous les éléments étaient prêts, et en quelque

(1) Ce mémoire (VI du tome Ier de l’ancienne édition, et XI du tome Ier de la nouvelle) avait déjà paru dans le deuxième cahier du tome Ier du Journal. On ne connaît pas exactement la date de la publication de ce cahier. Mais, d’après une lettre d’Abel à Hansteen, datée du 12 août de cette année 1826, Abel dit qu’il y avait alors trois cahiers publiés, et qu’il recevrait bientôt de Crelie les deux derniers. Donc, comme il a été dit plus haut, avant le 12 août, et vraisemblablement pas plus tard qu’en juillet, les mathématiciens allemands avaient pu étudier ce mémoire d’Abel,

sorte le plan d'opérations était aussi dressé, la démonstration de tous ces théorèmes destinés pour la partie restante étant préparée dans son projet d'ensemble.

En bâlissant sur les principes posés au début du mémoire de Freiberg, en se familiarisant ensuite avec les nouveaux fondements établis dans les Recherches, et particulièrement en consacrant à la théorie abélienne de la multiplication et de la division une étude attentive, les théorèmes de transformation qui se présentent, même pour toutes les transformations rationnelles, auraient pu être découverts sans trop grande difficulté et démontrés avec la rigueur nécessaire.

Cela se fût accompli toutefois encore plus naturellement, si, au lieu de prendre son point de départ dans le premier mémoire, celui de Freiberg, on l’eût pris dans les Recherches, et que l'on eût consulté le premier seulement pour achever la démonstration. De cette manière — tant qu'on n'opère pas encore plus simplement, en partant directement de l'idée de l’inversion — on suivra au moins une voie simple et naturelle : on descend de la multiplication à la division, puis aux transformations, ainsi que l’avait fait Abel.

On n’essaiera pas, suivant cet ordre d'idées, d'aller en sens inverse, de monter, pour ainsi dire, par les facteurs artificiels au résultat de la multiplication, résultat unique et complet, qui est plus simple au fond.

Jacobi, dont les recherches et les idées avaient fixé en tant de points divers leurs racines dans le champ d’Abel, trouva en partie ces résultats, et en partie aussi il livra, le premier, leur démonstration à la publicité.

Les théorèmes appartiennent à une époque où la découverte des fonctions elliptiques lui était inconnue. Ainsi l'influence d’Abel, jusqu'à cette même époque, s'était bornée à cette impulsion que, chez un esprit comme Jacobi, devaient produire ses idées et la grandeur de ses investigations. Quant à Jacobi, ce Jeune savant éminent et toujours méditant, qui, comme il résulte

de sa nature même et aussi de ses propres affirmations, s’enfonça avec tant d'ardeur dans les auteurs pour en tirer des inspirations, — quant à Jacobi, qui venait de lire sans fruit les Exercices de Legendre, ce devait être pour lui un puissant stimulant que de voir se produire les idées si originales d'Abel. Ces idées, il en prit aussi, comme un collaborateur zélé, très promptement connaissance par les publications insérées dans le Journal de Crelle.

+ La démonstration — et nous ne parlons pour le moment que du premier théorème de Jacobi, publié dans le Journal de Schumacher — appartient à l'époque suivante. C’est celle qui commence avec la publication des Recherches, le 20 septembre. Et alors c'est la base même qui change, bien que ce changement ne soit encore que partiel.

Maintenant la démonstration du théorème en question dans sa partie essentielle a-t-elle été trouvée indépendamment des Recherches, et s'est-elle ensuite uniquement transformée conformément aux nouvelles conceptions? ou bien la dépendance vis-à-

vis des investigalions d'Abel a-t-elle été plus grande? C'est difficile à

dire. Mais, en tous cas, les Recherches, comme nous en sommes convaincu, ont été utilisées avant que Jacobi fût parvenu à terminer sa démonstration. Et la conséquence de cela a été que cette démonstration, dans son plan et dans sa forme, s’est trouvée avoir une remarquable ressemblance avec celle qu'Abel lui-même présenta, mais plus tard, démonstration qui, nous pouvons le dire, résultait nécessairement des préliminaires posés.

Et cette coïncidence n’était pas une conséquence forcée de la nature des choses. C'était un résultat des études faites par Jacobi sur le mémoire d’Abel, et du court intervalle dont il pouvait disposer dans la situation où il s'élait engagé, et qui lui imposait l'obligalion de publier une démonstration le plus promptement possible. Dans sa lettre à Legendre du 14 juin 1829, Jacobi dit lui-même, après avoir traversé auparavant tant de phases embarrassantes, qu'« Abel s'est servi du même principe, de sorte que nos démonstrations sont au fond les mêmes. Vous

êtes le premier, Monsieur, » ajoute-t-il, «qui avez montré qu'on peut s'en passer, en effectuant la substitution elle-même au moyen de la résolution en fractions simples. Aussi je n'ai pas tardé à exposer dans mon ouvrage celte démonstration, qui vous est propre et qui donne une excellente vérification. À présent, je suis en possession d'un nombre assez grand de démonstrations différentes. »

Nous disons ici, quand il s’agit de Jacobi, «la démonstration de vérification, » et malgré la grande ressemblance, nous ne nous servons pas, pour Abel, de la même expression. Cela peut paraître étonnant, mais ce n’en est pas moins une chose loute naturelle. Car chez Abel, dans le mémoire même, tout était préparé d'avance, et l'enchainement des idées est évident. Pour Jacobi, qui ne peut toujours porler avec lui la base d'emprunt dans une étendue suffisante et avec le développement nécessaire, il se présente dans son exposition, quelque ingénieuse qu'elle soit en général, quelque chose d'abrupt. Et c’est ce qui était inévitable. Même un vétéran des mathématiques, comme Legendre, profondément versé dans cette région de ses études, ne peut comprendre par où Jacobi a été amené dans cette voie, et demande une explication de l’idée conductrice.

Toutefois l'usage qui a été fait des Recherches pour suppléer ou compléter cette démonstration du théorème de transformation n'a pas certainement été restreint à établir, par l'adoption de l’idée de l’inversion, une telle modification dans la forme extérieure de la déduction et du résultat. Il y avait toutes raisons, lorsqu'il serait fait quelque application des ressources présentes, pour soumettre la théorie de la multiplication et surtout celle de la division à une étude plus approfondie, et Jacobi n’a pu manquer de remarquer les importants secours qu’offrait cette dernière théorie.

A l’époque où Jacobi n'avait encore trouvé que son théorème de transformation restreint du 13 juin 1827, il avait remarqué une certaine liaison de ce théorème avec la trisection dans les fonctions circulaires. Il pressentit l'existence d'une analogie entre

les théorèmes de transformation d'ordre supérieur et les théorèmes de division généraux pour les fonctions en question, et il parvint ainsi, par une ingénieuse induction, à obtenir le résultat général, Après en avoir vérifié l’exactitude, mais seulement sur des exemples particuliers, il envoya, en août, cette découverte à Schumacher et à Legendre, et peu après, celui-ci reçut aussi le théorème complémentaire. Par une heureuse conjecture, est-il dit plus tard, dans le même aveu à Legendre, le 12 avril 1828, il avait trouvé la transformation complémentaire pour la multiplication.

Mais sur ces entrefaites, alors que la démonstration demandée par Schumacher était encore absente, et que Jacobi néanmoins avait communiqué le même théorème et un autre de plus à Legendre, théorèmes vérifiés seulement sur des exemples; il est impossible de ne pas admettre que, quand les Recherches lui ont passé sous les yeux — ce qui ne peut faire l’objet d'aucun doute, — il s'est mis avec toute l’ardeur possible à étudier les théories d'Abel sur la multiplication et la division. Là il a trouvé les moyens les plus à sa portée pour faire la démonstration qu'il cherchait et les meilleures indications pour les mettre en usage.

Jacobi remarque aussi, dans sa lettre à Legendre du 18 janvier 1829, qu’Abel, dans son premier mémoire, avait passé « par le medium des transformations », sans «soupçonner » toutefois, ajoute-t-il, cette circonstance «dans le temps qu'il composa son mémoire ». Cette addition est incorrecte; mais nous pourrons dire que l’assertion, dans son ensemble, témoigne que la présence cachée de la transformation dans ce « premier mémoire » n'a pas échappé à Jacobi.

Cependant il est encore une autre remarque à faire. L'existence d'un post-scriptum, où la continuation des Recherches était promise à bref délai, n'avait pas non plus échappé à l'attention de Jacobi. On le voit par sa lettre du 12 janvier 1828, où il dit que la continuation du mémoire d'Abel «doit avoir élé publiée dans ces jours dans le cahier troisième dudit Journal; mais elle ne m'est pas parvenue encore.» Et à la fin de sa longue

lettre mathématique, vraisemblablement commencée plus tôt que le 19, il ajoute en post-scriptum : «Le troisième cahier du Journal de Crelle, que je viens de recevoir, ne contient pas encore la suite du mémoire de M. Abel (1). »

Jacobi savait done qu'il ne s'agissait que d’un seul mémoire. Et il s'était exprimé aussi, à cetle première occasion, d'une manière complètement correcte, en parlant de «la première partie d’un mémoire » et de « la suite du mémoire ». En d'autres termes, on voit clairement qu'il était ici question d’un exposé qui, de prime abord, ne fut pas regardé par Abel — et qui ne pouvait l'être par qui que ce fût — comme un ensemble organique, avant qu'il fût terminé. Même si, pour la commodité, on eût parlé de deux mémoires, ce qui n'aurait pu donner lieu à aucun malentendu, Jacobi, plus que tous les autres, avait dû supposer qu'il existait un lien, perceptible pour l’auteur, entre les théories de la fin et ces grandes théories qui avaient été développées, avec tant de soin et avec tant de profondeur de vues, dans la première partie. La seule conclusion simple et naturelle eût été d'admettre qu’au moins dans leurs fondements les théories restantes seraient terminées, alors que le retour d’Abel en Norvège le forçait à interrompre son travail — avec la promesse d’une reprise immédiate. Et rien ne pourrait être plus conforme au bon sens que de penser que ce maitre dans la théorie des transformations — c’est ce qu'était Abel pour Jacobi en janvier 1829 — avait vu aussi clairement que lui-même qu'il avait passé « par le medium des transformations. »

De ce qui précède, il résulte — avec un très haut degré de probabilité — qu’Abel doit avoir été en possession des théorèmes de transformation pour les transformations rationnelles, au moment où il rédigeait la première partie de ses Recherches, pendant son séjour à Paris, et par suite vers la fin de 1826, ou au moins pendant son séjour à Berlin, au commencement de

(1) La date de publication de ce cahier était le 12 décembre 1827.

1827. Mais avant de passer à des démonstrations encore plus convaincantes qu’on peut donner de ce fait, nous pouvons alléguer un motif de vraisemblance, qui, joint au premier, n’est pas sans valeur.

À cause de son voyage de retour, en avril ou, au plus tard, dans les premiers jours de mai de la même année 1827, il dut donc interrompre son mémoire avant de l'avoir terminé. Comme nous l’avons indiqué, il ajouta alors, en terminant la premnière partie, que la suite paraîtrait dans le prochain cahier. Cette promesse de continuer immédiatement, on peut se demander à quoi aura-t-elle servi, si ce n'était pour annoncer cette même théorie de la transformation qui fut exposée dans la suite, et qui en fit la partie dominante? Les quelques feuilles où il donne une application de sa théorie de la division à la lemniscate, et au sujet desquelles, dès son séjour à Paris, l’année précédente, il avait fait une communication à Crelle, ne pouvaient former, évidemment, à elles seules, la continuation d’un mémoire d’une si grande étendue.

Abel — nous le répétons — a lui-même fait connaitre clairement que les deux parties des Recherches formaient un mémoire unique.