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Théorèmes et problèmes. — Nouveaux travaux qui se préparent, et citation d’un livre manuscrit. — Conclusion à en tirer.

La position d’Abel à son retour en Norvège ne lui permit pas de donner tout de suite ce qu'il avait promis.

Il rentra dans sa patrie accablé de dettes. Sans pouvoir occuper immédiatement aucune position, sans même obtenir qu'on lui rendit la petite subvention de l'État sur laquelle il avait droit de compter, sa famille enfin étant dans la gêne la plus étroite, il était ainsi absolument dépourvu de tous les moyens de subsister, sauf le peu qu’il pouvait gagner en reprenant ses leçons de trigonométrie et de stéréométrie pour les candidats à l'examen philosophicum. Cette source de revenus était, de plus, bien peu productive, comme il devait s’y attendre, dans le premier temps après son retour. Il était donc abandonné à la bonté de quelques amis, la haute science ne pouvant l'aider en rien et étant pour lui plutôt un obstacle.

On ne voit donc guère comment il lui aurait été possible de continuer vigoureusement cetle remarquable production, qui n'était encore qu'à moitié achevée; et l'on comprend plus difficilement encore comment il ait pu entretenir avec Crelle une correspondance régulière, correspondance très volumineuse et de plus très chère, comme l’exigeaient les envois fréquents de longs mémoires. Les illusions une fois brisées, il ne pouvait plus être question pour lui de communications régulières et de rapides envois pour un écrit ayant une étendue aussi considérable que les Recherches. Pour avoir une idée des difficultés à vaincre, dans la position où se trouvait Abel, il suffit de remarquer qu'une lettre simple de

156 NIELS-HENRIK ABEL, — $ x11.

Christiania envoyée seulement à Hambourg coûtait en monnaie norvégienne 68 skillings (!).

On remarquera aussi, en tant qu'il s’agit de publications aussi considérables, un arrêt d'assez longue durée, finissant en février de l’année suivante, avec l'envoi de la partie restante des Recherches. Et c'était aussi vers cette époque que commença une amélioration dans la situation désespérée d'Abel, qui était maintenant en train de reprendre des articles qu'il avait laissés, en quittant Berlin, dans les mains de Crelle, en même temps que la partie rédigée de son mémoire, ou bien de petits articles envoyés par occasion, du temps où les frais de correspondance étaient si gènants.

Durant cet intervalle, il n'y à que trois articles à signaler, et ils étaient tous très courts.

Le premier est intitulé : « Théorèmes et problèmes », et il se rattache, pour ce qui en constitue la partie capitale, à de très hautes questions relatives à la transformation des fonctions elliptiques. Cet article se trouve en rapport intime avec les Recherches, surtout avec la partie finale de la Suite de ce mémoire. L'article fut publié dans le 3° cahier du tome IT, où l'on attendait alors cette continuation; et la date de publication était le 12 décembre

Après les « Théorèmes et problèmes » venait, dans le 4 cahier du tome II, publié le 12 janvier 1828, un court mémoire en allemand : «Ueber die Functionen, welche der Gleichung o(x) + o(y) = Ÿ(xfy + yfx) genugthuen. » Dans ce mémoire, relativement d'une moindre importance — en ce qu'il ne se rattachait qu'à des recherches accidentelles, — il examinait si un théorème d’'addition spécial, que l’on rencontre, par exemple, en traitant l'arc sinus, ne pouvait donner lieu à une généralisation.

Enfin on trouve une note sur le mémoire d'Olivier, qui se rapporte à une question sur les séries. Cette note fut insérée au

(#) Environ 3 fr. 17 c.

4 cahier du tome Ill, dont la date de publication était le 25 mars 1828.

Or ce qui historiquement est l'objet principal, c’est de déterminer à quel temps le premier de ces articles fut remis à Crelle pour être publié. Car, à cette époque, Abel a dù être en possession non seulement de la théorie des transformations rationnelles, mais encore des transformations algébriques. I a donc dominé aussi dans ses grands traits celle théorie finale, appartenant à un traité complet et rationnellement exposé des nouvelles fonctions elliptiques.

Il est fort difficile de décider d’une manière précise cette question de temps, Abel n'ayant que très rarement ajouté une date en publiant ses découvertes ou en écrivant des notes pour son propre usage. Mais on peut chercher au moins deux limites bien certaines qu'il ne faut pas dépasser.

Un premier fait dont on peut partir, c’est que le troisième, et par conséquent le dernier des articles de la série en question, la note relative au mémoire d'Olivier, a été envoyé au plus tard le 15 novembre 1827. On conclut, en effet, d’un livre manuscrit qu'une esquisse de cette courte note a été composée beaucoup plus tôt, et vraisemblablement en août ou septembre. Cela est conforme aussi avec la date de publication du mémoire d'Olivier, le ) juillet. Or, de ce point de départ on arrive à la conclusion, qui n’est encore que probable, mais qui l’est à un très haut degré, que le premier article de la série, qui fut publié longtemps avant (dans le 3° cahier du tome IL au lieu du 4° cahier du tome II), avait dû être expédié pour la publication à une occasion antérieure au 15 novembre.

Nous nous bornerons, d'abord, à montrer qu’un envoi coïncidant avec la communication du 15 novembre n’aurait que peu de chances de possibilité.

D'après des renseignements que nous avons recueillis, une lettre de Christiania pour Berlin, au milieu de novembre, ne pouvait arriver dans cette saison à son lieu de destination avant dix Jours. Et probablement il eût fallu un temps encore plus long, sans

tenir compte des retards qui étaient si souvent à craindre à cette période de l'année, pendant un voyage en partie par terre, en partie par mer. Dans l'année 1827, une communication par vapeur avait bien commencé entre Christiania et Copenhague, mais elle était déjà arrêlée à la fin de septembre. Si près de l'hiver, les routes le long de la côte étaient encore suivies pendant un mois, mais toute communication avec l'étranger venait d’être rompue, pour ôtre reprise au printemps suivant. [l n’y avait donc rien à gagner à ces amélioralions modernes.

D'une lettre d'Abel expédiée de Vienne à Christiania entre le 20 et le 30 avril 1826, on peut conclure, en outre, qu'elle est arrivée à Berlin le 30 avril, à Stralsund le 4 mai, et qu'elle a été reçue à Christiania le 13 mai, de sorte qu'entre Berlin et Chris- Liania, via Stralsund, il se passa avant l’arrivée de cette lettre un laps de deux semaines.

Donc, quant à la question de possibilité que les « Théorèmes et problèmes » eussent été remis à Crelle dans une lettre expédiée le 15 novembre, ils n'auraient pu l'être que vers la fin du mois. Et déjà le 12 décembre paraissait ce troisième cahier du Journal où l'article était publié. Nous ajouterons cependant que cet arlicle élait très court et qu’il obtint sa place à la fin du cahier. :

Mais nous pouvons donner de notre asserlion une preuve plus décisive que la précédente et qui, en tout cas, combinée avec celle-ci, mettra la chose hors de doute.

Quelque temps après la mort d'Abel, Crelle fit dresser une liste chronologique des communications tirées de ses lettres. C'était dans le dessein de les insérer dans le Journal, où elles furent publiées dans le 5° tome. De cette façon, il fit copier six parties distinctes appartenant à six communications différentes. Mais le copiste avait numérolé les communications d'une manière différente de celle qui fut adoptée définitivement. On y trouve en effet les six numéros originaires 2, 8, 12, 16, 17, 26. Puis un changement a eu lieu, comme aussi la langue a été corrigée, en vue de la prochaine publication. Crelle a, en outre, mis lui-même

THÉORÈMES ET PROBLÈMES. 159 la date sous chaque communication, à l'exception de celle du numéro 16. Gelle-ei fut copiée, par erreur, comme étant publiée depuis longtemps, et l'article fut donc rayé (1).

Les articles 2, 8, 12, datés respectivement de Freiberg le 14 mars 1826, et de Paris le 9 août et le 4 décembre la même année, sont écrits en allemand. Ainsi c'était la langue dont Abel s'était servi alors dans ses leltres à Crelle; car on voit qu'il ne s'agit pas d’une traduction.

L'article 16 au contraire est écrit en français. C'est celui qui contenait les dits « Théorèmes et problèmes»; c'est en même temps l’article rayé et sans date.

Puis vient l’article 17, écrit de nouveau en allemand, et daté : Christiania, le 15 novembre 1827.

Enfin il y a un long article où l’auteur adopte pour la seconde fois la langue française. La date est ici: Christiania, le 18 octobre 18928, et il porte le numéro 26. Tous les derniers articles d’Abel furent aussi publiés en français.

Or la seule chose que l’on puisse naturellement se figurer, c'est que les numéros primitifs se rapportent à l’ordre des lettres d'Abel à Crelle. Cependant nous ne pensons pas qu'ils indiquent complètement chacun des renseignements écrits, quelque bref qu'il fût, que pourrait avoir reçu ce dernier. De courts renseignements pouvaient êlre donnés quelquefois par Abel, sans qu'il lui fût nécessaire d'écrire des leltres réglées et de se mettre en des dépenses gènantes.

Pour faire voir qu'il ne manquait pas de facilités de celte espèce, nous rappellerons aux lecteurs sa liaison avec Maschmann, dont nous avons fait mention à l’occasion de la lettre de félicitations d'Abel à Holmboe. Maschmann, «notre constant porteur de lettres, » était camarade d'école d’Abel, et bien qu'il n'appartint

(1) La raison pour laquelle on n’ajouta ici aucune date n’est pas, comme nous nous étions figuré antérieurement, une conséquence de ce que l’article fut communiqué à Crelle pendant le séjour d’Abel à Berlin et sans être extrait d'aucune lettre. On ne peut donc rien conclure de cette circonstance ni en faveur de cette époque ni contrairement.

pas à la pelite colonie des «jeunes savants voyageurs », il élait lié avec ce cercle, et il demeura à Berlin, non seulement pendant le premier séjour d’Abel dans cette ville, mais encore pendant le second séjour. Or le père de Maschmann, professeur titulaire et pharmacien à Christiania, était à celte époque en rapports fréquents avec Hansteen, et il eut aussi des liaisons à Berlin.

Abel avait pu sans aucune gêne faire parvenir de temps en temps à Crelle de courts renseignements. On voit même qu'il y a eu une certaine relation entre Maschmann père et Crelle; car ce fut par lui, et non pas par Holmboe, que Crelle reçut la première nouvelle de la mort d’Abel.

Nous ne pensons pas ainsi avoir quelque chose de complet, dans le sens le plus rigoureux, exprimé par les numéros du copiste. Mais il faut d’autre part supposer que l'ordre des lettres proprement dites, que Crelle avait reçues d’Abel, doive être exprimé par ces chiffres; de sorte qu'on a une chronologie à laquelle on peut s’en tenir.

Mais cela étant, il faut fixer lé temps de la communication française n° 16 à une date antérieure au 15 novembre, date de la communication suivante en allemand. Et il s'ensuit que les «Théorèmes et problèmes » ont été remis à Crelle avant cette date de l'automne de 1827.

Mais s’il faut rejeter l'hypothèse d'un envoi fait aussi tard que le 15 novembre, on peut se demander à quelle époque remonte alors l'envoi du premier article, celui qui a pour titre « Théorèmes et problèmes ». Faut-il reculer cette date jusqu'au départ de Berlin, ou s'agit-il d’une date plus récente?

Nous ne voulons pas nous prononcer d'une manière décisive sur cette question. Mais en supposant que la remise ne remonte pas au temps du séjour à l'étranger, on sera porté à croire qu’elle appartient plutôt à la première qu’à la seconde moitié de l'intervalle entre le 20 mai et le 15 novembre. Ici, il faut en convenir, nous n'avons pas toujours pour nous fixer des dates aussi sûres

qu'auparavant. Mais les considérations suivantes feront, au moins, de celle supposition une hypothèse très plausible.

Si l'on a égard à l’ordre dans lequel se sont succédé les diverses publications, il est naturel, en tenant compte des circonstances, d’en tirer des conclusions sur l’ordre de remise des pièces. Pour Abel, lorsqu'il lui devint impossible de remplir la promesse faite au départ, il dut se préoccuper, dès que la situation changea, de se mettre aussitôt que possible en communication avec Crelle pour linformer du retard de la continuation annoncée. Alors il dut bien aussi se heurter aux difficultés qui l'entouraient, et en particulier à celles qui s'opposèrent quelque temps à l'envoi d’un manuscrit aussi considérable que cette suite d'un grand mémoire, qui était attendue. Les circonstances, nous l'avons dit, n'étaient plus les mêmes qu’au départ. Des tentatives réitérées venaient d'être faites par l’Université, et elles furent encore continuées pour lui faire obtenir la restitution de son slipendium. Mais ces négociations entre les autorités, qui trainèrent en longueur pendant plus de deux mois, ne donnèrent plus que de très faibles espérances, et l'on dut finir par y renoncer. Il devait lui importer d'autant plus de faire parvenir à Crelle aussitôt que possible un petit article au moins, comme témoignage de reconnaissance, et pour satisfaire aux besoins du journal. Et rien ne pouvait alors venir plus à propos que de donner un spécimen des objets dont il devait traiter dans la partie restante de son mémoire.

Joignons à cela qu'à partir du commencement du tome second du Journal, il s'opéra un changement dans le plan de la rédaction. Il fut maintenant permis aux collaborateurs de se servir de la langue française, et l'on voulait ainsi étendre l’action du recueil sous une autre rapport, en s’efforçant d’intéresser les lecteurs par l'annonce des « Théorèmes à démontrer et problèmes à résoudre ». Depuis ce moment, on trouve dans tous les cahiers des énoncés provenant de Crelle lui-même et de ses collaborateurs, tandis que dans le tome I on ne voit rien de semblable. Crelle surtout montra ici un très grand zèle. Ainsi, dans le tome II, on ne rencontre

pas moins de douze petits articles de cette nature, tous de sa main

Il y avait aussi de bonnes raisons pour croire aux avantages obtenus par un tel arrangement, et naturellement Crelle devait tenir beaucoup à ce que l’on se conformât à cet ulile perfectionnement. Jl y avait, en outre, tout l'intérêt de la première mise en œuvre d'une bonne idée dans son Journal.

Abel, pendant son séjour à Berlin, devait être considéré presque comme un corédacteur du Journal. Crelle faisait tous ses efforts pour lui persuader de s’y fixer définitivement. Il « le bombardait terriblement », et il lui avait proposé plusieurs fois de prendre la rédaction. Abel, de son côlé, qui désirait revenir et qui entretenait un faible espoir d'acquérir une position à notre Université, refusa, en dépit de Crelle, «cet homme galant. »

Il est donc impossible de croire que notre mathématicien, homme de cœur et vivement attaché à Crelle, n’ait pas voulu faire aussi de son mieux pour se conformer à ses désirs.

Tant que les énoncés ne surabondaient pas dans les cartons de la rédaction, il élait à penser qu’Abel essaierait de s'acquitter de ces petites obligations, même pendant son séjour à Berlin. Mais surtout il dut avoir à cœur de lui fournir cette contribution, bien accueillie lorsqu'il fut en retard avec ses travaux et qu'il ne put tenir une promesse qui était importante pour l'avenir du Journal. Et par ces « Théorèmes et problèmes », envoyés de bonne heure de Christiania, il faisait honneur à ses obligations.

Comme une preuve de l'état très avancé où étaient déjà les investigations d’Abel concernant la théorie des transformations — et même bien avant le temps dont nous parlons, — nous citerons un passage d'un livre manuscrit qu'il commença immédiatement après son retour. Mais avant cela il faut parler d’abord de la marche des recherches d’Abel pendant cet intervalle qui venait de commencer. On verra, en même temps, quels furent les travaux qui se préparèrent et à quelle époque ce passage remarquable doit avoir élé écrit.