NOUVEAUX TRAVAUX

Abel reprit donc son travail, et, comme on le voit, il le continua pendant quelques semaines avec sa vigueur ordinaire. Mais les espérances des premiers jours, qu'avaient dû lui inspirer les efforts réitérés en sa faveur par l'Université, devaient se changer avant peu en une vive inquiétude, qui ne pouvait guère être sans influence sur ses études et sur leur direction. Arrêté dans sa libre action par les graves circonstances où il se trouva dès lors, et qui bientôt allèrent encore en empirant, il semble que peu à peu il retourna à ses études, et s’enfonça dans des recherches qui l’éloignèrent de son but primitif. Néanmoins elles se rattachaient encore très visiblement au sujet qu’il avait à traiter dans son mémoire inachevé. Rien aussi n’était plus naturel — si réduit qu'il fût pour le moment à l'impuissance de publier ses découvertes — que d'employer ses loisirs forcés à de nouvelles études. Et c'est ce qu'il fit, comme ïl paraît, dans une vaste étendue, avant de reprendre son travail de rédaction. On ne sait, en effet, rien de sûr quant au temps de la reprise des Recherches, bien que l’on puisse suivre une série de travaux préparatoires qui appartiennent à cette longue époque d’angoisse et d'attente.

Dans son livre manuscrit B de 178 pages grand in-folio, dont Abel doit s'être servi pendant le reste de l’année, il commença à composer un mémoire relatif au développement des puissances de sinus et de cosinus; il voulut faire ce développement sans aucune considération des imaginaires. C'était un sujet analogue à celui qu’il avait traité à Paris, en étudiant la série du binome. Mais le sujet présentait aussi un certain rapport avec ses investigations sur la division, qu'il avait poursuivies dans la première partie des Recherches. Seulement c'était ici du cercle qu’il s’agissait; il avait traité déjà, en partie, la division de la lemniscate. Il avait mentionné alors cette division analogue à celle du cercle, et il avait promis, dans la partie suivante de son mémoire, de donner plus de développements relativement au premier sujet, plus difficile.

Il continua aussi, en réalité, de s'occuper des recherches algébriques correspondantes, et il prépara de cette façon son

beau « Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement. » C'était, d’ailleurs, un mémoire qui fut publié très tard. Mais il fut envoyé de Christiania peu de temps après la terminaison des Recherches, car la partie finale de celles-ci fut remise à Crelle dans une lettre du 19 février 1898, tandis que le mémoire algébrique en question, qu'il avait préparé dans la même période, suivit le premier mémoire dès le 29 mars.

Ces recherches préparatoires d’Abel, dans son livre manuscrit, s'étendent presque du commencement du livre jusqu’à la page 39. Et dans les dernières pages, il dirige en particulier son attention vers la division en 17 parties.

Mais à partir de ce point, les investigations ne marchent plus d’une manière régulière. À la page 39, on voit quelques calculs se rapportant aux équations modulaires. Puis, à la page 40, on trouve ce passage éminemment remarquable dont nous avons parlé, et auquel, du reste, nous reviendrons bientôt. Il est intitulé : «Sur la transformation de l'intégrale. — Comparaison des fonctions elliptiques relativement au module. »

Nous remarquerons, en passant, que ces lignes isolées, bien qu'elles n'occupent qu'une seule page, se rapportent au grand mémoire intitulé : «Solution d’un problème général concernant la transformation des fonctions elliptiques » ; de même que les recherches préliminaires qui les précèdent se rapportent au mémoire algébrique en question. Ce travail « Solution... » fut aussi rédigé et expédié pour la publication peu de temps après, savoir le 27 mai.

À la page suivante 41, Abel s'occupe de la division de la lemniscale, sans pousser encore ces recherches au delà du commencement. Il s'arrête de nouveau, et soudainement l’on voit qu'après un travail régulier on est entré dans une période d’irrégularité qui semble indiquer une interruption de travail définitive. Cela serait d’ailleurs bien naturel vers la fin de juin ou au commencement de juillet, la belle saison dans notre pays septentrional, où le temps des vacances dure pendant le mois de juillet et la première moitié d'août.

pan. ee