LES MANUSCRITS

Il y a lieu de croire que dans la seconde moitié d'août, Abel a recommencé ses travaux. On sait que, le 14 août, Abel n’était pas absent de Christiania, et sans doute le mémoire d'Olivier, qui parut le 5 juillet, était alors entre ses mains.

On voit maintenant qu'un travail régulier recommence. Il examine le mémoire, fautif en un certain point, de ce mathématicien, et il fait dans son livre B, page 47, l'esquisse d’une note pour le corriger. Il revient par la même occasion à de nouvelles études sur les séries et leur convergence, et il les continue longtemps, non seulement dans ce livre B, mais aussi dans un autre livre D, portant la date du 3 septembre 1827, d’une forme et d’un caractère différents, où il s’oceupa le plus souvent de recherches relatives à ces dernières questions.

Après cela le thème va changer, et l’on sent que, de plus en plus, l’ordre et la régularité reprennent leur empire dans ces travaux préparatoires. Cela commence avec la page 85, après quelques leçons sur la trigonométrie. Abel fait ici quelques études sur les fonctions elliptiques; mais, de nouveau, ce n’est pas des études pour les Recherches qu'il s'agit. Il fait de grands préparatifs pour un troisième mémoire fondamental, à côté du mémoire sur les équations résolubles algébriquement. Il prépare, en effet, maintenant son dernier mémoire, le « Précis », laissé inachevé, «d’une théorie des fonctions elliptiques. » Ce travail préparatoire occupe un grand nombre de pages, de 85 jusqu’à 178, d’ailleurs avec une interruption à la page 148, où il intercale un exercice de trigonométrie pour ses élèves. Ce qui présente aussi un certain intérêt, c’est qu'Abel se sert ici de la langue allemande. Il intitule son ébauche de mémoire : « Versuch einer Theorie der elliptischen Funclionen;» ce qu’il a changé ensuite, en revenant à la langue française dans son « Précis ».

Or ce qui nous fournit une nouvelle date, c’est qu'à la page 111 de cette ébauche on trouve la sommation d’une certaine série au moyen des fonctions elliptiques. Et c’est de cette proposition que parle Abel dans la lettre à Crelle, à la date du 15 novembre 1827.

Après cette exposition de la marche des travaux préparatoires, à la suite du retour et jusqu’au milieu de novembre ou encore plus tard, revenons au passage dont nous avons parlé, relativement à la transformation du module. On voit par là qu'il doit avoir été composé non seulement beaucoup avant le 15 novembre, mais certainement aussi antérieurement au 3 septembre. Conformément à la place d'une part, et d’autre part à la marche des développements, comme aux caractères différents de ceux-ci aux époques qui se succèdent, nous croyons qu'il est le plus naturel d'admettre que le livre en question date de la fin de juin. D'ailleurs à cause du contenu, où en particulier Abel parle d'une découverte faite depuis longtemps, il n’a qu'un intérêt secondaire pour la fixation plus précise de la date. Un mois plus tôt ou plus tard ne peut pas changer sensiblement les conclusions

à en tirer.

Voici donc ce qu'écrit Abel, et nous ferons remarquer aussi que les soulignements sont dus à l’auteur même.

« Dans les « Exercices de calcul intégral », M. Legendre transforme la fonction elliptique (iei est insérée l'intégrale elliptique dans la forme adoptée par Legendre) avec un module différent, et il opère cette transformation en substituant à la place des sinus une certaine fonction algébrique de cette quantité. M. Legendre ne parle que de cette transformation, quoique il en existe une infinité d'autres. Je suis parvenu à ce résultat en résolvant le problème suivant :

» Trouver toutes les relations possibles entre c et c, qui permettent de présenter l'intégrale de léquation séparée (ici est insérée l'équation différentielle de transformation dans la forme de Legendre) par une équation algébrique entre sin 6 et sin @..

» La solution complète de ce problème, que j'ai trouvée depuis longtemps, m'a conduit à plusieurs résultats remarquables. Par exemple, si deux fonctions elliptiques dont les modules sont respectivement c et c, peuvent se réduire l’une à l'autre en supposant