LA SITUATION EN

l'énoncé de Jacobi, il ne pourrait être question d’une égalité. Dans ses Recherches, en outre, Abel avait préparé sa théorie des transformations d’une manière évidente, comme d’ailleurs la premidre entrée dans cette théorie avait perdu toute sa difficulté par la découverte de l'inversion et de la double périodicité.

La différence sera encore plus grande si l’on ne pense pas au temps de l’envoi — en comparant la précipitation de l’un avec la tranquillité insouciante de l’autre, — mais qu’on fixe son attention sur l’origine de ces intéressantes propositions. Abel dit, dans son livre manuscrit B, et, comme il est à croire, en juin 1827, qu'il avait alors trouvé depuis longtemps la solution du problème des transformations algébriques, et qu'il l'avait trouvée dans sa plus grande généralité. Done, bien qu'il fût prévenu quant à la première publication de quelques propositions relatives aux transformations, il avait approfondi, déjà, dans sa totalité, la théorie des transformations elliptiques, et cela à une époque si reculée qu’alors Jacobi n'avait pas fait encore le premier pas dans ses découvertes sur ce terrain.

Quelle est précisément l'époque de l’origine des découvertes d’Abel dans la théorie des transformations? On ne la connaît pas. Hansteen, en transmettant dans une lettre à Schumacher le célèbre mémoire d'Abel «Solution, etc.,» — pour être publié dans les As/ronomische Nachrichten, comme réponse à Jacobi qui s'était servi d’abord de ce journal spécialiste, — dit même qu'Abel, en mai 1828, était déjà depuis plusieurs années, dans la théorie des transformations, en possession d’une méthode plus générale que celle de Jacobi. La conséquence directe de cette assertion, le mot « plusieurs » désignant nécessairement un nombre plus grand que deux, devait donc être que la découverte remontait à une époque antérieure au voyage et finissant dans l'été de 1825.

Plus encore : à l’époque qui suivit immédiatement le retour, ou certainement même avant le départ de Paris à la fin de l’année 1826, la théorie entière des fonctions elliptiques avait été découverte par Abel, en tout ce qui était essentiel. Et c’est

cela qu'il avait annoncé à Holmboe en lui disant qu'il avait alors achevé le plus important de ce qu'il a exposé depuis sur ces fonctions.

Ainsi dès lors le travail était entré dans sa seconde période. Il fallait revenir sur plusieurs points, sur de nouveaux détails et de plus grands développements; il fallait simplifier les procédés et corriger les démonstrations, où pouvaient se trouver des défauts de rigueur. Enfin il s'agissait d'étudier, pendant de longues heures de méditation, l'ensemble des phénomènes et leur enchaînement, pour réussir à faire une œuvre simple et sans art, comme une image d’après nature.

C'est là ce que devaient être les Recherches, et c’est ainsi qu’elles devenaient ce chef-d'œuvre de simplicité. Son origine remontait à une époque où aucune idée des découvertes fondamentales qui se préparaient n'existait chez l'émule futur d’Abel. Et pendant qu’Abel continua en bon ordre son travail de description, arrêté ensuite soudainement par les pénibles circonstances qu’il eut à traverser après son retour dans sa patrie, pendant qu'il fut réduit ainsi pour longtemps, à faire pressentir seulement, par un court article, qu’il était le possesseur incontestable et libre de tout le nouveau champ qu’il avait ouvert pour la science, — pendant cela, Jacobi entra en scène, et compléta par ses belles recherches la théorie des transformations de Legendre, à laquelle il donna ainsi un haut degré de perfection.

Néanmoins, à cette époque, Jacobi, qui fut le premier à exposer une partie essentielle de la théorie des transformations, relativement aux éntégrales elliptiques, c'est-à-dire relativement aux fonclions non encore inverses, était bien loin de pouvoir pénétrer profondément — comme le faisaient Abel et Gauss — cette même partie de la science. Alors c'étaient aussi ces deux hommes seulement qui connaissaient les grands secrets cachés dans les fonctions inverses. Mais déjà, le mois suivant, elles pouvaient être étudiées dans les Recherches.