ARRIVÉE À PARIS

donc voir avec plaisir une telle dépense de temps et d'argent. Vivant au loin, exempt de tous soucis, il ne pouvait bien juger à quel point cette vie de vacances était alors utile et même nécessaire pour Abel. Il ne soupçonna pas que cela dût porter bonheur à la science qu'Abel fût ainsi entraîné par des amis prévoyants, qui ne voulurent pas le laisser seul avec sa tristesse.

A présent il se défend de nouveau contre les reproches que Hansteen lui adresse et lui avait déjà adressés depuis longtemps.

« Me voici enfin au centre de tous mes désirs mathématiques, à Paris » — écrit-il à Hansteen, le 12 août 1826. «J'y suis déjà depuis le 10 juillet. Il vous semble sans doute que cela arrive un peu tard, et que je n'aurais pas dû faire le long détour par Venise. Cher professeur, je regrette beaucoup d’avoir fait quelque chose qui ne vous plaise pas; à présent que c’est fait, je n’ai qu’à recourir à votre bonté; J'espère que vous avez assez de confiance en moi pour croire qu'en somme je saurai profiter de mon voyage. Je le ferai certainement. Je ne puis donner d’autres raisons pour m'excuser que la grande envie de connaître un peu le monde; et voyage-t-on seulement pour étudier la science dans toute sa rigueur? A partir de maintenant je travaillerai avec d'autant plus de zèle. »

Cependant Abel dut bientôt abandonner l'espoir de trouver à Paris un séjour fort agréable. Il lui était difficile de lier des connaissances intimes, ce qui lui avait été beaucoup plus aisé en Allemagne. L'ancienne vie avec de bons camarades était presque interrompue; jusque bien avant dans l’automne, le monde savant était resté inabordable pour lui, et plus tard il ne réussit pas non plus à s’y introduire; à la réserve que gardent les Français avec les étrangers s’ajoutait aussi, comme en un obstacle assez grave, sa grande discrétion, et puis, au commencement, la difficulté de se faire comprendre. Il ne faut donc pas s'étonner de ce que le mal du pays se soit manifesté de bonne heure. Abel de plus en plus se renferme ainsi en lui-même et ne vit que pour ses travaux.

Pendant quelque temps il n'avait pas senti la gêne; à présent

les embarras pécuniaires s’'annoncèrent. La vie de voyage avait retranché beaucoup sur les moyens qui étaient à sa disposition, et l’empressement qu'il mit à se procurer des livres utiles contribua également à cette baisse des fonds qui devait bientôt lui donner tant de soucis.

«J'ai acheté plusieurs livres nouveaux de mathématiques, el j'ai pensé à en acheter encore d’autres, surtout quelques mémoires, qu'on ne peut pas avoir si l’on n'est pas sur les lieux; mais puisque cela va coûter cher, j'ai eu l’idée de proposer à Holmboe de faire lachat de concert avec moi. Entre autres, il me faut absolument la partie mathématique du Bulletin de Férussac. »

Par bonheur, Gürbitz s’'intéressait à lui. Gürbitz, artiste-peintre, était le compatriote d’Abel, et il habitait Paris depuis longtemps. Ïl connaissait fort bien la grande ville, et il était toujours prêt à secourir ceux de ses compatriotes qui la visitaient. Pendant un séjour passager à Paris, quelques années auparavant, Hansteen était allé le voir. Abel, qui dans ce lieu étranger se trouvait dans un embarras d'où il semble qu'il n'ait pu sortir sans le secours de quelqu'un, se souvint de cette visite. Ainsi il se lia de bonne heure avec Gürbitz, qui s'empressa de lui prêter l'assistance dont il avait besoin. Abel allait très souvent le chercher.

Cest à cette circonstance qu’on doit l'excellent portrait de notre mathématicien, fait par cet habile artiste, qui, de son côté, a étudié sans doute avec intérêt les traits caractéristiques d’Abel.

Du reste, on n'entend parler que fort peu de quelque intimité avec des compatriotes. En passant il mentionne, — mais seulement pour la curiosité du fait, — un musicien nommé Skramstad. C’était un paysan composileur, assez connu dans ce temps-là. Il demeurait dans un coin de la ville avec deux Suédois, et «il s'habillait en paysan de Hedemarken (!) avec des bas de laine verts et un gilet rayé.» «Je ne l'ai pas vu», dit Abel, « mais j'en ai entendu parler. Il parle suédois. »

Un jour il était avec Keilhau chez l'ambassadeur à un «diner

(1) District norvégien.

diplomatique». Tous deux eurent leur plumet, raconte-t-il, «mais un tout petit». Du reste, il pouvait s'attendre à une pareille réunion diplomatique. Car le 24 décembre de chaque année, le comte Lüwenbjelm réunissait chez lui tous les Suédois et Norvégiens qui demeuraient à Paris, et alors ils étaient tous mis, en bonne forme, sous la table.

Abel vivait donc tranquillement et n'avait guère le loisir de prendre qu’une très mince part aux divertissements qu'offre la grande capitale. De loin en loin il alla au théâtre : c'était, nous le savons, sa passion favorite. Cependant, à peu près un mois après son arrivée, il n'avait pas encore été à la comédie.

Quand il était las de travailler, il se promenait dans le jardin du Luxembourg ou bien il allait au Palais-Royal, ce « lieu de perdition », comme le surnommaient les Parisiens. « On voit des femmes de bonne volonté en assez grand nombre », poursuit-il. «Elles ne sont pas indiscrètes du tout; la seule chose qu'on entende, c'est: « Voulez-vous monter avec moi, mon petit ami? petit méchant ». Naturellement, en ma qualité de fiancé, etc., Je ne prête pas l'oreille à leurs discours, et je quitte le Palais-Royal sans la moindre tentation. H y en a qui sont fort belles. »

Il y avait alors bien peu de faits d’un intérêt universel. Talma avait été malade à la mort, écrit-il au mois d’août, mais à présent il est hors de danger. Toutefois ce rétablissement de sa santé ne dura pas longtemps. La mort du grand tragédien, qui eut lieu vers la mi-octobre, fut un événement. Force gens assistèrent à son convoi funèbre, et le Théâtre-Français, ainsi que les autres théâtres, furent fermés pendant deux soirs.

» Le corps fut porté au cimetière », dit Abel, «sans entrer à l'Église, ce qui est d’ailleurs l'usage. En comédien, il était exclu de la communion des fidèles. Ridicule, mais indifférent! » « Les jésuites veulent tout diriger », écrit-il, « et les feuilles publiques sont remplies de controverses à leur propos. Cest une diable de canaille! » Et puis il raconte l'histoire d'un jeune jésuite « qui avait dénoncé un grand nombre d’entre eux et qui voulait encore en dénoncer trois cents autres. D’après sa descrip-

tion, il faut qu’ils soient les hommes les plus détestables de-ia terre. Ils ont voulu l'égorger, mais il l'a évité. »

Les travaux et les études d’Abel furent souvent interrompus par une correspondance fort développée, dont il ne nous reste cependant que bien peu de fragments, Il donna à pleines mains des lettres détaillées à ses amis; en même temps accablé sous le poids de la solitude, il pouvait y glisser un mot sur leur long silence. Il reçut cependant souvent des lettres de Crelle, aussi souvent, dit-il, que de sa fiancée. Quel dommage que ces lettres de Crelle et surtout celles d’Abel à ce dernier — desquelles sans doute on aurait pu tirer tant de détails sur l'histoire du développement de la science à cette époque — aient à peu près toutes disparu sans laisser de traces! Des communications d’Abel avec Crelle il ne.nous reste que quelques extraits, insérés dans le Journal après la mort d’Abel.

De même qu’Abel menait une vie solitaire sans être remarqué du monde scientifique, qui ne le connaissait pas encore, de même son habitation, qu'après assez de peine il avait trouvée avec l’aide de Gôrbitz, était d’une apparence fort modeste.

Pour mieux apprendre le français, il s'était installé dans une famille, rue Sainte-Marguerite, 41, faubourg Saint-Germain, où il avait tout dans la maison, le blanchissage compris, moyennant 120 francs par mois. On y était très prévenant, mais la chambre était mauvaise, dit-il. Le ton était lascif; toutes sortes d'équivoques étaient débitées sans la moindre crainte et par les hommes et par les femmes. Et on péchait sans doute passablement contre la décence, puisque Abel même, qui n'était pas prude à l’excès, s’en trouvait scandalisé. Le maître de la maison était un savantasse. Il était même un peu mathématicien, mais fort sot; sa femme était une étourdie de trente-cinq ans ou bien davantage.

Accompagné de son hôte, Abel alla rendre visite à Legendre. Il se peut aussi qu'ils aient songé à visiter en compagnie d'autres mathématiciens. Or Legendre sortait pour se promener en voiture et quelques paroles seulement furent échangées. Abel dit d’ailleurs de lui à sa manière stéréotypée : « C’est un vieillard, le plus excellent homme du monde, dit-on; comme mathématicien, on sait

assez qu'il est renommé. » Cependant l'espoir de lier une connaissance ne se réalisa pas. Legendre recevait une fois par semaine, ce qui ouvrait une chance à Abel. Mais bien que celui-ci doive avoir rencontré Legendre au moins une seconde fois, il faut croire que cette rencontre fut très rapide. Sans cela, Abel n'aurait pas manqué d'occasion pour en parler, et, de son côté, Legendre ne l'aurait pas si facilement oublié, s’il avait existé entre eux quelque chose de plus que des entretiens fortuits. !

Il est plus vraisemblable qu’Abel eut un accès plus ou moins complet chez le baron de Férussac, l'éditeur d’un Bulletin qui trailait aussi la branche des mathématiques. Abel avait été voir le baron en août, mais sans le trouver chez lui. Il pouvait cependant aller à ses soirées, dit-il, une fois par semaine; il avait alors l’occasion d'avoir des revues et des livres nouveaux. Et en cette saison, où les bibliothèques étaient fermées et tout le monde en villégiature, cela était un assez grand avantage. On sait aussi qu’Abel fournit des articles pour le Bulletin, « un diable de travail et bien ennuyeux », comme il dit, «quand on n’a pas écrit soi-même le mémoire. »

Mais que n'aurailt-il pas fait pour Crelle, « l’homme le plus honnête qu’on puisse imaginer » !

Abel avait apporté une lettre de recommandation de Litrow à Bouvard, directeur de l'Observatoire. Il n’en résulta pourtant aucune liaison suivie. Bouvard le reçut amicalement, lui fit voir l'Observatoire et s’offrit à le présenter aux mathématiciens les plus célèbres, s’il voulait se rendre à l'Institut. Mais Abel ne pouvait pas accepter cette offre tout de suite, «car il fallait donner d’abord un peu de mouvement à sa langue française ».

De longtemps il n'eut donc que très peu d'occasions de faire connaissance avec les mathématiciens. Quant à Poisson, il ne fit que l’entrevoir dans une promenade publique (!). Du reste, tout le monde scientifique était invisible.

(1) « Il me paraît être un peu entiché de sa personne », dit Abel, « mais il n’en doit pas être ainsi, »

Comment les travaux de Paris forment une série de travaux ayant leur origine dans ceux qu’Abel rédigea à Christiania, antérieurement à son départ.

Nous le savons, déjà à Christiania, avant de partir pour l'étranger, Abel avait découvert les fonctions inverses des transcendantes elliptiques. Il avait découvert, en outre, son théorème d'addition, et cela, dans toute sa généralité. Nous en avons la preuve dans le mémoire préliminaire : Sur la comparaison des fonctions transcendantes.

De Vienne, dans sa lettre à Holmboe, il avait aussi annoncé qu'en arrivant à Paris il composerait «ses choses intégrales, la théorie des fonctions elliptiques, etc. ».

Il peut donc y avoir de l'intérêt à considérer un peu plus attentivement que nous ne l’avons fait jusqu’à présent quelquesuns de ces travaux préliminaires. On y reconnaïitra le développement des idées d’où devaient naître bientôt des branches toutes nouvelles des mathématiques, et l’on y verra comment ces idées ont müri, d'année en année, avant que l’auteur les eût exposées dans une série d'importants mémoires. Il en ressortira également, d'une façon plus claire, comment Abel s'était créé de bonne heure, pour ses recherches, une méthode excellente, qui l’a puissamment aidé dans l'élaboration de ses conceptions successives.

Il se proposa d’abord d'approfondir les questions relatives, d’une part à la résolution des équations algébriques, et de l'autre à l'intégration des différentielles algébriques. Cependant, dans cette vague généralité, il n’y avait encore rien de nouveau. On

TRAVAUX PRÉPARATOIRES DE 1823. 275 devait plutôt n’y voir qu'un premier essai d'imaginer des problèmes à force de travail, et de provoquer des pensées, qui naîtraient pendant l'effort. Il pouvait même paraitre peu original, et certainement peu sensé, de vouloir essayer de résoudre les equations du cinquième degré ; et quant à faire avancer sensiblement la question d’intégrer des expressions différentielles ayant un très haut caractère algébrique, il n'était guère probable qu'il y eût, de ce côté, grand’chose à espérer pour la science. De part et d'autre, en tout cas, il s'agissait primitivement de problèmes trop peu circonscrits pour être pratiques, à moins quils ne tombassent aux mains d’un investigateur hors ligne.

Mais aux mains d’un ingénieux et sévère penseur, sachant poser à la nature une série de questions méthodiques, dont chacune pût recevoir une réponse déterminée, les choses devaient se transformer rapidement à mesure qu’il avancerait son travail et qu'il apprendrait à mieux distinguer le possible et l'impossible du milieu de ses premières illusions.

Un livre manuscrit, écrit en norvégien, tout récemment découvert (au commencement de l’année 1884), et antérieur à l'été de 4823, prouve qu’'Abel fit un premier pas dans l'étude de très hautes différentielles algébriques, en effectuant les réductions qui conduisent aux intégrales hyperelliptiques. Dans un très court article, il considère la différentielle la plus générale s'exprimant rationnellement au moyen de la variable indépendante et d’un radical quelconque du second degré, dépendant de la même variable; il montre (ce qui naturellement ne présente encore aucune difficulté) que, si l'on ne s'occupe pas de certaines parties algébriquement et logarithmiquement intégrables, qui peuvent être séparées comme des parties additives, alors le problème se réduit à un plus simple, à l'intégration d’une différentielle, dont la fonction numérateur est une fonction rationnelle P de la variable, tandis que le dénominateur est le radical de second degré, dont le carré R est une fonction entière quelconque. Jusqu'à ce

point, rien n'était donc encore remarquable, sinon le fait même d'avoir commencé à soulever une très grande question.

Abel continua, en plusieurs sens, ses études sur l'intégration des différentielles algébriques. Il se proposa, conformément au conseil de Degen, d'étudier plus particulièrement le cas elliptique, cas où le degré de R monte à 3 ou 4; dans le cas élémentaire, cas algébrique et logarithmique, ce même degré ne dépasse pas le nombre 2. Il se proposa aussi d'approfondir les questions relatives aux intégrales plus générales dont il était parti, les intégrales hyperelliptiques, correspondant à un degré quelconque de R, savoir à un degré plus haut que 4. Et s’efforçant toujours de considérer les questions du point de vue le plus élevé, il voulut aborder tous les problèmes accessibles aux investigations, lors même que les différentielles à examiner eussent le caractère algébrique le plus général possible.

Abel se mit done à étudier les transcendantes elliptiques. I avait à sa disposition les £xercices de calcul intégral de Legendre. Ce fut dans le cours de ces études, mais sans qu’on sache exactement à quelle époque de la période qui finit à son départ pour l'étranger, qu'il acheva une espèce de traité sur les dites transcendantes. Ce traité, intitulé « Théorie des transcendantes elhipliques », se trouve inséré, comme un de ses travaux posthumes, dans le second volume des « Œuvres complètes ».

Pour certains chapitres, il se contenta de renvoyer aux écrits de Legendre. Ce sont ceux où devait être employée la forme trigonométrique, et ceux où il s’agit de la «comparaison des transcendantes elliptiques », ou de leur «évaluation par approximation ».

Dans les chapitres développés de ce mémoire de début, chapitres non destinés encore à la publication, et hérissés d'une multitude de calculs et de formules, non seulement on reconnaît les premiers germes de travaux futurs, mais on y voit très bien, malgré le caractère préparatoire du travail, se manifester déjà la manière

de poser les questions qui distingue Abel. On y voit utilisée, en quelque sorte, toute une méthode expérimentale, appropriée à l'esprit des recherches analytiques; on y remarque surtout ces réductions à la dernière limite compatible avec la nature des choses, et cet esprit, si rigoureux dans ses classifications, qui ne s'arrête jamais avant d’avoir découvert les vraies lignes de démarcation des choses.

Ainsi il part ici des deux formes, de caractères essentiellement différents, auxquelles on parvient en effectuant seulement une décomposition de la fonction rationnelle P: formes dont l’une correspond à une puissance d'exposant positif, l’autre à une puissance d'exposant négatif.

Alors il se propose d’abord, pour chacune des formes du départ, de trouver les réductions les plus gén’rales possible par voie algébrique, et, de cette manière, il arrive à quatre formes plus simples, et qui maintenant sont érréduclibles, c’est-à-dire irréductibles dans le sens indiqué. Il dit lui-même, vers la fin du chapitre dont il s'agit : «Nous avons maintenant épuisé le sujet de ce chapitre, à savoir de réduire l'intégrale... autant que possible par des fonctions algébriques. »

Arrivé ainsi à ces quatre formes, il se propose, dans le chapitre suivant, d'établir les relalions qu'on peut trouver entre elles par des fonctions logarithmiques.

Dans ce chapitre, on voit aussi le commencement de son futur travail de Freiberg, travail se rattachant à un problème généralisé, à celui des intégrales hyperelliptiques.

On y voit, de plus, une application continuelle des procédés qui mènent au principe des transformations pour les fonctions elliptiques.

Mais quant à l’objet lui-même de ses études présentes, il montre qu'une des intégrales est irréductible dans {ous les cas, et qu’elle constitue ainsi «une transcendante particulière ». En même temps, il donne la formule de réduction pour les autres, en tant qu’une telle réduction est possible, et applique ensuite cette formule à cinq problèmes spéciaux.

Ayant ainsi démontré qu’en principe la réduction logarithmique est impossible et ne peut se faire que dans des cas particuliers, il s'efforce de trouver toutes les intégrales de telle ou telle forme, susceplibles de s'exprimer logarithmiquement.

Dans le troisième chapitre, il fait voir, en outre, comment peut s'établir une relation entre les mêmes quatre intégrales, quand on les prend entre certaines limites, etc.

En conséquence, et bien qu’on n'ait encore affaire qu’à un de ces premiers travaux qu’Abel lui-même jugea plus tard si sévèrement et garda par devers lui, sans songer à les publier, on voit cependant déjà quelle pénétration il apportait dans ses recherches. Les résultats auxquels il était arrivé étaient bien ordonnés et importants pour ses investigations futures.

Abel n’en continue pas moins ses recherches plus g'nérales sur les intégrales hyperelliptiques, mais de telle sorte que les intégrales elliptiques, ou même des intégrales plus élémentaires encore, ne fussent pas d’abord exclues.

Dans un autre mémoire préalable, « Propriétés remarquables, etc. », il fait une inversion des transcendantes que repré- ‘sentent les intégrales, et il remarque le caractère mulliplement périodique de cetie fonction inverse.

Pour léclaireir, il prend, caractéristiquement, l'exemple à la fois le plus simple et le plus instructif, en considérant l'intégrale élémentaire dont la fonction inverse est sinus. Le choix de ce terme de comparaison permet d’entrevoir qu'il s’agit déjà là des grandes généralisalions de nos fonclions trigonométriques.

En se bornant de nouveau au cas des éranscendantes elliptiques, et spécialement à celles de la première espèce, et en procédant ensuite ici de même que pour l'intégrale dont la fonction inverse est un sinus, il fonda la théorie des transcendantes elliptiques inverses, où, pour parler plus simplement, la théorie des fonctions

elliptiques; fonctions qui, à un si haut degré, sont analogues à cette fonction des éléments. Ces fonctions elliptiques (conformément au résultat plus général qu'il venait d'obtenir, mais qui avait aussi besoin d’une explication ultérieure) présentaient la propriété caractéristique d’être doublement périodiques.

Dans l'été de 1823, comme nous le savons, cette découverte était déjà faite dans ses grandes lignes, puisque Abel parle, dans une lettre à Holmboe, de ces « fonctions inverses aux transcendantes elliptiques ». On ignore, cependant, à quel point il en était alors arrivé. Il avait été induit à une erreur qui l’arrêta. On ne sait pas davantage si c’est le petit mémoire « Propriété remarquable, etc. », auquel il fait allusion en cette occasion (sans en indiquer exactement le titre), ou s'il en vise un autre plus développé (comme nous sommes à présent disposés à le croire), — petit mémoire que l'éditeur des Œuvres complètes n’a pas pris en considération, le regardant comme un travail trop inférieur aux chefs-d'œuvre qui l'ont suivi.

Après avoir fait la découverte de l’inversion et posé ainsi une nouvelle base pour l'étude des fonctions elliptiques, Abel dut rédiger, avant la fin de l’année 1893, un autre travail important, au moins relativement à ce temps; mais il ne subsiste plus de ce travail qu’un petit fragment. Il avait été transmis au Sénat de l'Université, et ensuite au ministère du culte.

Sans doute, ce fut un mémoire qui faisait connaître l’état des investigations d’Abel à cette époque; car il l’écrivit dans le dessein de montrer, par un travail soigné, sa reconnaissance pour la subvention qu'il recevait depuis deux années, et qu’il continua encore à recevoir de quelques professeurs. Il avait aussi l'espoir d'obtenir par cette preuve de son habileté une subvention publique; ce qui lui réussit d'ailleurs dès le commencement de l'année 1824.

Sans parler de ce qu’Abel avait déjà découvert l’inversion des transcendantes elliptiques, et en avait tiré des conséquences

importantes, il est certain que lorsqu'il présenta son travail, vers la fin de 1893, il était déjà à plusieurs égards un mathématicien distingué. On peut évidemment conclure de ce fait que dans le cours de l’année qui suivit immédiatement (1824), où il put continuer ses études dans des conditions plus heureuses, il arriva à résoudre le problème poursuivi avec tant d’acharnement et par lui et par les plus célèbres savants, le problème relatif à l'insolubilité algébrique des équations générales du cinquième degré.

Qu'il ait eu, en outre, lui-même l'opinion d’être parvenu, dans les dites années, à des résultats importants, c'est ce qui ressort de certaines autres circonstances, circonstances qui paraïtront d'autant plus significatives qu'on les rapproche de certains faits antérieurs. Il est bien caractéristique que, dans l'année 1893, Abel ait écrit en français son petit Mémorre sur les fonchions inverses aux transcendantes ellipliques, et qu'on ne se borna plus alors à l'aider de la manière ordinaire, mais qu'on le mit en état, au moyen d'une subvention privée additionnelle, de faire un voyage scientifique à Copenhague.

Le second travail dont nous nous occupons maintenant, soit le Mémoire d'intégral qui fut transmis à l'Université, était aussi écrit en français, tout comme le travail, de la fin de l’année 1893. L'importance de ce troisième travail, {raiant des équations, et publié en langue française, dans le cours de 1824 (et cela aux frais du pauvre auteur), est maintenant hors de toute contestation. Ce petit mémoire existe encore, en effet, et se trouve publié dans la nouvelle édition des « Œuvres complètes ».

Mais revenons-en au Mémoire d'intégral. I est possible que ce mémoire, aujourd'hui perdu, n’ait pas encore contenu la découverte du grand théorème d’addition, et que cette découverte, dans toute sa généralité, n’appartienne qu'à la fin de l’année 1824 ou à l'année 1895, à l’époque qui précéda le départ d’Abel, au mois d'août. Si les suppositions que nous émettons plus bas sont justes, il est même probable que ce théorème, s’il y était contenu, n’était pas encore arrivé à toute la généralité qui put lui être donnée. Quoi qu'il en soit, le travail dut avoir beaucoup

d'importance pour ce temps. Aussi fut-il jugé de la manière la plus favorable par l'Université. Nous avons dit plus haut que, sur les indications de Hansteen, Abel y avait essayé de fruiler le calcul intégral d'après une nouvelle méthode.

Jusqu'à sa mort — comme on peut le voir dans une note du Précis — Abel a attaché un grand prix à cet objet de ses études. Il y dit qu'il avait créé une nouvelle théorie de l'intégration des formules différentielles algébriques; mais que les circonstances ne lui avaient pas permis de la publier. « Cette théorie dépasse de beaucoup les résultats connus; elle a pour but d’opérer toules les réductions possibles des intégrales des formules algébriques, à l'aide des fonctions algébriques et logarithmiques. On parviendra ainsi à réduire au plus petit nombre possible les intégrales nécessaires pour représenter sous forme finie toutes les intégrales qui appartiennent à une même classe. »

On aurait done pu, sans doute, tirer de lécrit perdu les renseignements les plus précieux sur le développement des idées d’Abel, depuis leur naissance jusqu’à leur maturité.

Holmboe ne parle pas d’ailleurs de ce travail, qui ne présentait pour lui qu’un intérêt secondaire, pourvu que le contenu (comme c'est vraisemblable), s’en trouvât complètement et sous une forme plus parfaite dans les mémoires postérieurs. Pour Holmboe, l'étude de l’enchaînement des idées d’Abel et de leur naissance ne présentait pas encore l'intérêt qu'une génération suivante trouve à étudier les œuvres d'un grand homme au point de vue historique.

Dans la première édition des « Œuvres complètes » ne fut pas publié davantage le premier mémoire sur les équations du o degré : Holmboe s'est borné à mentionner la découverte qui y est exposée, tout inattendue et extraordinaire qu’elle ait été.

Néanmoins, il subsiste, peut-être, un petit fragment de cet écrit, et ce fragment, rédigé pareillement en langue française, est bien caractéristique. L'auteur sy propose d'examiner Les différentielles algébriques de la forme hyperelliptique. Et il tâche de les traiter au moyen des fonctions algébriques et logarilhmi-

ques; mais il ajoute (ce qui est bien remarquable) par les fonclions exæponentielles. Cela semble indiquer qu'il se cache, dans le plan de l’auteur, un emploi de inversion, qu'il étudiait alors au moins depuis une demi-année. En tous cas, dans l’indication même du sujet, on découvre la méthode à la fois rationnelle et expérimentale, dont se sert Abel et qu'il explore toujours avec tant de fruit pour ses recherches.

Pendant son séjour à Christiania, avant son voyage, entrepris en août 1895, il réussit certainement aussi à développer beaucoup sa théorie des transcendantes elliptiques et des fonclions inverses à ces transcendantes.

En effet, bien qu’il ne se soit pas occupé de ces théories en Allemagne, et qu’il en ait seulement parlé comme des choses connues d'Holmboe (ajoutant qu’il rédigerait à Paris ces recherches sur ce point), Abel les mania de telle sorte, ainsi que nous le verrons plus tard, qu'il se révéla soudainement comme un véritable maitre.

L'idée de l’inversion étant introduite avec la double périodicité et l’analogie avec les fonctions trigonométriques étant, en outre, bien observée, l’auteur, avec ses études profondes et simultanées de la théorie des équations, pouvait achever un grand travail avec une facilité relative. Car alors plusieurs questions se réduisaient à celles de trouver certaines racines, dont la découverte ne présentait pas de difficultés. Il en était ainsi, même quand il s'agissait du problème général de la transformation rationnelle. Celui-ci fut singulièrement facilité par l'introduction de la nouvelle pensée fondamentale. Pour achever la démonstration, il n’y avait qu'à reprendre les procédés qu'Abel avait employés si souvent dans son mémoire préalable sur les «transcendantes elliptiques », et dont il devait se servir de nouveau après son départ, dans le Mémoire de Freiberg.

Cependant, nous connaissons seulement avec certitude l’état général où se trouvait son esprit; c’est-à-dire qu'il possédait dès