TRAVAUX DE

lors les moyens les plus efficaces pour faire les découvertes d'application découlant des principes révélés par lui; mais on ne saurait déterminer exactement à quel point il était arrivé pendant cette première époque.

Mais il ne s'arrêta pas, dans ses recherches précoces de Christiania, à l'étude des transcendantes des fonctions elliptiques, ni à l'étude préalable des intégrales hyperelliptiques. Il se mit à méditer Les intégrales des différentielles algébriques dans toute leur généralité; et il se laissa guider dans ses réflexions par certaines analogies communes à des fonctions d’un rang inférieur.

Dans la préface de son Mémoire de Paris, il raconte lui-même comment il fut amené à faire ces anciennes découvertes; et il complète ainsi, par ses propres explications, nos connaissances sur la marche de ses idées : il fournit, en quelque sorte, lui-même de nouveaux renseignements sur ses études antérieures à son départ pour l'étranger.

Il y dit: « Quant aux fonctions dont les dérivées sont rationnelles, la somme d’un nombre quelconque de fonctions semblables s'exprime par une fonction algébrique et logarithmique, quelles que soient d’ailleurs les variables de ces fonctions.

» De même, une fonction elliptique quelconque, c’est-à-dire une fonction dont la dérivée ne contient d’autres irrationalités qu'un radical du second degré, sans lequel la variable ne passe pas le quatrième degré, aura encore la propriété qu'on peut exprimer une somme quelconque de semblables fonctions par une fonction algébrique et logarithmique, pourvu qu’on établisse entre les variables de ces fonctions une certaine relation algébrique. »

« Cette analogie entre les propriétés de ces fonctions », continue-t-il, «m'a conduit à chercher s'il ne serait pas possible de trouver des propriétés analogues de fonctions plus générales ».

Et il était parvenu ainsi à son théorème d’addition général.

Arrivé à Paris, Abel (ainsi qu’il l'avait annoncé) se mit à la rédaction de ses découvertes.

En premier lieu, il reprit ses recherches d'intégrales, basées sur la découverte du «théorème d’addition », théorème relatif à toutes Les transcendantes dont les dérivées sont algébriques. Dans un mémoire composé pour l'Institut, il voulut démontrer et discuter ce théorème, que jusqu'alors il n'avait pas publié luimême. Plus tard, il voulut en faire des applications. Et, comme il était déjà depuis longtemps maître de son sujet, on croit qu'au lieu de commencer par des recherches préliminaires, il plaça en tête de son travail une ébauche d'introduction, rédigée au courant de la plume, mais fort instructive et très semblable à la préface définitive du Mémoire.

Suivant un ordre naturel, il s’occupa, ensuite, des recherches sur les fonchions elliptiques, comme formant un premier champ d'application. [ei encore, nous rencontrons le théorème d’addition ; mais dans sa forme restreinte, et depuis longtemps connue des savants. Abel voulut, cependant, le présenter cette fois avec une transformation fondamentale, en le liant à l’idée de l’inversion.

Ces travaux finis, il se proposait (ainsi qu’il faut le conclure de l'indication que nous mentionnerons plus bas), de passer aux applications de la seconde série : à celles qui se rapportaient aux plus simples transcendantes hyperellipliques. Il exposa, en effet, explicitement et complètement, les propriétés fondamentales de celles-ci, dans une courte communication à Crelle; et, chose à noter soigneusement, il le fit justement le {9 août, jour où il entreprit le Mémoire de Paris.