MÉMOIRE DE PARIS

Abel commence son Mémoire de Paris. Communication à Crelle et son importance pour le futur travail de l'application.

On possède quelques cahiers d’Abel avec des calculs préparatoires et des ébauches pour ses mémoires; mais il n’en existe qu'un seul se rapportant à son séjour à l'étranger; c’est celui dont il se servit à Paris, et plus tard à Berlin.

Ordinairement, pour déterminer l’âge de ses manuscrits ou d’autres débris de papiers laissés par lui, il faut se livrer à des comparaisons fondées et sur leur contenu et sur d’autres indices divers qu'on a recueillis grâce à des études prolongées. Mais ici, tout est immédiatement clair. En effet, le cahier est daté du 9 août 1826, et porte encore la marque du marchand : « Magasin de papier de France et de Hollande: M. Lhermitte, rue de Bussy ». Il est d’ailleurs intitulé : «Mémoires de mathématiques, par N.-H. Abel. »

Près du titre, avec une série d’abréviations, sont répétés les mots : «l’Institut ».

Les préoccupations de l’auteur apparaissent ainsi et elles ressortent également de ce que sur la première page on rencontre le nom de Legendre avec l'indication de sa demeure (1). A la vérité, cette célébrité française y figure à côté d’un très humble compatriote d’Abel, le paysan musicien du faubourg du Roule.

Abel se mit donc à rédiger en premier lieu ses « choses intégrales ». Dans cette pensée, il en fit d'abord une ébauche

(1) Rue Saint-Guillaume, n° 9.

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complète sur son cahier. Rappelons-nous, du reste, que le jour même de l'achat de ce cahier, il commença par adresser à Crelle une courte communication relative au même sujet et à la première application qu’il comptait en faire.

Dans sa lettre, il expose en peu de mots — comme nous l’apprend un extrait publié dans les « Œuvres complètes »y —(!) son théorème d'addilion.

«Une propriété générale », dit-il, «des fonctions dont la différentielle est algébrique consiste en ce que la somme d’un nombre quelconque de fonctions peut être exprimée par un nombre déterminé des mêmes fonctions. Savoir, etc. »

La formule qu’il écrit est maintenant composée comme il suit. On s'imagine formée des fonctions © dont il s’agit une somme de w fonctions semblables, chacune correspondant à sa propre variable indépendante. On se figure aussi une somme formée de n fonctions, chacune correspondant à sa propre variable dépendante; et ces n dernières variables doivent dépendre des premières y suivant une ceriaine loi algébrique. Alors, quand on ajoute les deux sommes partielles de fonctions transcendantes, on aura pour résultal une fonction algébrique el logarithmique.

Abel remarque ensuite que «x est un nombre déterminé, indépendant de w. Si, par exemple, est une fonction elliptique, on a, comme on sait, # — 1. Si la fonction n’est pas elliptique, on n’en connaît jusqu'à présent aucune propriété. Gomme un des cas les plus remarquables, je vais rapporter le suivant. »

Ici la fonction ©, qu'il prend, est l'éntégrale hyperelliptique la plus simple : c’est-à-dire — en adoptant les notations du chapitre précédent — qu'elle correspond à une fonction R (sous le radical) dont le degré est égal à 6; et, quant à la fonction numérateur, P, elle est choisie comme une fonction linéaire.

Cela posé, la dite fonction algébrique et logarithmique v se réduit à une constante. Et, pour pouvoir passer à la formule la plus générale, il suffit de montrer comment une somme de

(1) Ancienne édition, p. 253-254, — Nouvelle édition, p. 267.

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trois fonctions © avec des variables indépendantes, peut être réduite à une somme de deux fonctions 9 mais avec des variables dépendantes; le nombre caractéristique » est, en effet, alors égal à 2. Les deux variables dépendantes, appartenant ainsi à cette somme réduite, sont maintenant racines dans une équation du second degré; et les coefficients de celle-ci s’exprimeront comme des fonctions algébriques des trois variables indépendantes se trouvant dans la somme donnée.

Ces coefficients algébriques sont pareillement exposés en détail dans les formules de cette lettre.

Toute la théorie de la fonction +, dit enfin Abel, est comprise dans ses formules; c’est-à-dire qu'elle est entièrement donnée par la théorie d’addition relative à cette fonction, car on peut démontrer que par là la fonction sera complètement déterminée.

Abel ne dit rien, dans cette lettre, des plus hautes fonctions inverses; du moins Crelle n’en parle pas. Cela devait d’ailleurs être très peu compréhensible à une époque où l’inversion la plus simple, celle qui se rapporte aux transcendantes elliptiques, était encore inconnue. Rien, en effet, n'avait été publié jusqu'alors sur cette matière.

Mais, maintenant, on voit très clairement les premières conséquences à tirer de ce qu'expose Abel, et nous les rappelons ici à cause de l'importance qu'elles ont, et parce que, à cette place, elles seront plus aisément comprises après la courte exposition du théorème d’addition se rapportant à ce cas spécial.

1° Lu somme irréductible composée de deux fonctions semblables devait être considérée, par Abel, comme une nouvelle transcendante, une transcendante linéaire.

2° Cela posé, passons du cas fondamental, se rapportant à trois fonctions simples, au cas voisin où le nombre de ces fonctions est quatre. Alors on aura, en même temps, une formule bien symétrique et bien analogue à la formule fondamentale de la théorie des transcendantes elliptiques. On trouve qu’une somme de deux fonctions binaires données (quatre fonctions simples) se réduit à une fonction binaire unique (deux fonctions simples).

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9° Enfin, les deux coefficients à et 6, dans la fonction numéraleur et linéaire P, ne se présentent pas dans l’équalion du second degré qu’expose Abel. [ls ne peuvent donc se présenter davantage dans la nouvelle équation du même degré, à laquelle on arrive en poursuivant ce premier cas voisin. Mais cette équation détermine comment les variables z, et z, de la fonction binaire réduite dépendent algébriquement des variables indépendantes x, et x,, y, et y, appartenant à la somme des deux fonctions binaires données. D'après cela, on peut donc particulariser de deux manières distinctes les fonctions que lon traite, sans exercer d'influence sur les relations algébriques. Et l’on aura un couple de formules d'addition : l'une correspondant à une fonction binaire o,, (où par exemple « et & ont les valeurs 0 et 1); l'autre à une fonction binaire o,, (où « et $ auront les valeurs 1 et 0).

On aura done un parallélisme complet entre la transcendante elliptique et les nouvelles transcendantes hyperelliptiques binaires, transcendantes de deux espèces distincles.

Soit o une {ranscendante elliptique. La somme de deux fonctions semblables, correspondant aux variables indépendantes x et y, se réduit à une fonction pareille, correspondant à une véritable dépendante z. Celte dernière quantité est donnée par une équation de premier degré, dont les coefjicients sont fonctions algébriques des variables données x el y.

Soient, d'autre part, o,, et o., deux transcendantes hyperelliptiques et binaires. Considérons d’abord o,,, et formons la somme de deux fonclions pareilles, l'une correspondant au couple de variables indépendantes x, et x,, l’autre au couple de variables indépendantes y, et y,. La somme peut se réduire alors par la voie algébrique à une nouvelle fonction semblable, correspondant aux variables dépendantes z, et 2,. Il en est tout à fait de même quant à la fonction ©, Or, z, et z, sont maintenant donnés comme racines d’une équation du second degré, et les coefficients de cette équation sont fonclions algébriques des variables indépendantes æ,, æ, et y,, y. |

Ainsi l’analogie demande que, si l’on intervertit, dans le cas

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C'est là ce qui ressort des formules d'Abel exposées dans la lettre du 9 août, à Crelle, sans qu'on ait besoin de résoudre de nouvelles diflicullés mathématiques. Qu'il se posera des questions philosophiques quand on déviera de la marche que fit entrevoir ici Abel, comme un résultat de longues études, ou quand on ne connaît pas encore quelle est la marche à suivre, cela est une autre chose. Et Abel n’a rien laissé, à ce que l’on sache, d'où l’on pourrait conclure de quelle manière il a raisonné quand il arriva, en premier lieu, à son résultat d’une périodicité multiple, provenant d'une inversion directe des intégrales hyperelliptiques.