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Derniers travaux de Paris. — Abel prépare la rédaction de ses « Recherches sur les fonctions elliptiques. »

Abel se sentait donc bien découragé par la solitude, par les difficultés matérielles où il se trouvait de plus en plus engagé, et aussi par le peu de succès qu'obtenait un travail qui méritait un tout autre accueil. Il ne se sentait donc pas disposé au labeur régulier et soutenu qu'eussent exigé la composition et la rédaction des matériaux qu'il avait accumulés. Il ne comptait plus en tirer de résultat satisfaisant tant qu’il n’aurait pas terminé son voyage et tant qu'il ne serait pas bien installé chez lui, « si cela doit Jamais arriver. »

Mais, à d’autres égards, il continua ses travaux, moins régulièrement sans doute, mais avec une plus grande vigueur dans les moments où il était mieux disposé, et le succès le plus décidé couronna ses investigations. Il ne semble pas avoir beaucoup avancé la rédaction du second travail capital qu’il s'était proposé d'élaborer pendant son séjour à Paris, séjour qui, dans ses premiers projets, devait être d’une plus longue durée. En revanche, il élargit très heureusement le cercle de ses découvertes, en poursuivant ses « Recherches sur les fonctions elliptiques ».

Occupons-nous ici de l’ensemble des travaux qui appartiennent à la seconde période de son séjour à Paris, et surtout de ce qui est relatif au très important mémoire que nous venons de mentionner.

Abel avait terminé son mémoire pour l'Académie quelque temps avant la fin d'octobre; il raconte, en effet, qu’il l'avait montré à Cauchy, le 24 de ce mois, et le 30 il le présentait à l'Institut.

Ce travail fini, il s’occupa, pendant quelque temps, de questions d'une moindre étendue et relativement d’une moindre importance.

Il fit, par exemple, des études sur les intégrales défines ; et l'on doit remarquer que le premier mémoire qu'il publia alors dans le Journal de Crelle, traite aussi d’un sujet qui se rapporte à cet ordre de questions. Ce mémoire, dans la série de ses travaux, précède immédiatement les « Recherches ».

On constate encore, en particulier, que, dans les Jours de répit qu'il s’accorda entre ces deux grandes entreprises, il s’occupa des écrits de Cauchy, dont il parle dans sa lettre à Holmboe. Il paraît s'être appliqué alors au célèbre et très important travail que le géomètre français a intitulé : « Mémoure sur les intégrales définies prises entre des limiles imaginaires. » C’est peut-être sous l’influence de Cauchy qu’il fit aussi diverses recherches, bien modernes du reste, sur les quantilés imaginaires, dont il dit qu'il y avait là beaucoup à faire.

D'ailleurs, il continua ses investigations sur le calcul intégral, et surtout sur la théorie des séries infinies, « très mal fondée », d’après lui.

Au moment même où il écrivit à Holmboe la lettre précitée, il reprit son thème de prédilection : la théorie des équations. Il était arrivé à ce point, explique-t-il, qu’il voyait le moyen de résoudre le problème général que voici : « Déterminer la forme de toutes les équations algébriques qui peuvent être résolues algébriquement. » — « J'en ai trouvé, dit-il, un nombre infini du 5°, 6e el 7° degré, qu'on n’a pas flairées jusqu’à présent. J'ai, en même temps, la solution la plus directe des équations des 4 premiers degrés, avec la raison évidente pourquoi celles-ci sont les seules résolubles et non pas les autres. Quant aux équations du 5° degré, j'ai trouvé que, quand une telle équation est résoluble algébriquement, il faut que la racine ait la forme suivante, etc. »

Mais ces travaux ne pouvaient être considérés que comme des travaux accidentels et, en partie, préliminaires, auxquels Abel se livrait avant d'entreprendre la rédaction de ses « Recherches sur les fonctions elliptiques ». Si le temps où ils furent achevés ne