II. ABEL A HOLMBOE
Kjøbenhavn [4 août 1823]
Tag Décimal-
Gode Ven! ^^' V6.064.321.219 | i,^,^^^ ^^^
Du har vel faaet mit Brev som jeg skrev Dig til strax jeg var kommen. — Jeg vil nu videre mælde Dig hvad Observationer jeg har gjort. Mathematiken florerer just ikke her. Jeg har endnu ikke faaet opsnuset nogen blant Studenterne som er noget stive, og langt mindre nogen som ex professo dyrker Math:. — Den
eneste som kan Math: her er Degen, men han er ogsaa en Djævels Karl. Han har viist mig flere af sine Smaaarbeider og de røbe en stor Finesse. Jeg har ogsaa viist ham nogle af mine han syntes godt om dem især blev han ganske indtagen i en Formel som angav hvormange ulige Factorer et Tal har, hvilken han ikke kunne begribe hvorledes jeg havde fundet. Den lille Afhandling som Du erindrer handlede om de omvendte Functioner af Transcendantes elliptiqves, og hvori jeg havde beviist noget umueligt har jeg bedet ham læse igjennem; men han kunde ikke opdage nogen Feilslutning, eller begribe hvori Feilen stak; Gud veed hvorledes jeg skal komme ud deraf. —
Jeg har i denne Tid studeret to vigtige Værker nemlig Application de l'analyse à la géométrie par Monge og Essai sur la théorie des nombres par Legendre. Det sidste er umaadeligt interessant og det er stor Skade at det ikke skal findes i Christiania. — Følgende Theorem som findes der og som vistnok er det mærkværdigste i hele Mathematiken kan jeg [ikke] af holde mig fra at af skrive:
Theorem: Hvis y betegner det Antal Primtal som findes mellem 1 og x saa er
log x — 1,08366
Logarithmen er naturligviis hyperbolisk. —
Formelen er som man let kan tænke kun approximatorisk, men kommer dog Sandheden meget nær, hvilket Du kan see af følgende Tabel
Beviset for denne Formel kan Du agitere dig paa til jeg kommer hjem, saa skal jeg meddele dig det Beviis som findes hos Legendre.
Et andet smukt Theorem er at «^ -f- « + 41 er et Primtal naar a er et af Tallene 0, 1, 2, 3, 4 .... til 39. — , og mange andre. — Bibliothekerne ere ikke godt forsynede med mathematiske Bøger; men de besidde en god Deel Videnskabers Selskabs Skrifter. I blandt andre Philosophical transactions, hvori findes mange meget gode Sager; saa at Engellænderne ikke ere saa daarlige i Mathematiken
efter ^ den sande
Formel:
Værdi :
som jeg havde tænkt. Herschel og Young ere meget flinke. Ivory er blandt de bedste nulevende Math: (hvis han ikke er død). Jeg har læst tre Afhandlinger af v. Schmidten, de ere ikke saa gode som jeg havde tænkt; dog bhver han altid en særdeles flink Math:, det var rigtig nok ogsaa hans første Arbeider. —
Jeg har læst en Mængde af Gruson (verjagen), det er en gruelig Trompeter; dog har han beviist at e er irrational. — Du kan tænke at han har havt den Uforskammenhed at stjæle en Afhandling fra Parseval og indlevere til det Berlinske Videnskabers Selskab. Den er oversåt Ord til andet. —
Foruden at jeg læser arbeider jeg ogsaa selv. Saaledes har jeg søgt at bevise Umuligheden af Ligningen W" = &« -f- c" i hele Tal naar n er større end 2 ; men jeg har jeg været hældet. Jeg har ikke kommet videre end til indlagte Theoremer, som ere snorrige nok. — Følgende Ligning:
xp(ct) = g)(ax) . f {x) dx {x = k, x = k')
har jeg opløst, hvor tp og f ere to givne Functioner og hvor tp søges. — Endvidere har jeg integreret følgende Udtryk
x"' dx __^
1/ Ça — {m + 2) .i;» + 1 + (m + 1) æ'" + ^^ (i -\- 2x -\- Bx^ -^ . . . -\- m x""-^ + (m + 1) x'"^
hvor a er en hvilkensomhelst constant Størrelse, hvilket er vel at mærke. Kan Du integrere dette Udtryk? — Det er ikke vanskelig. —
Den Iste Julii høitideligholdtes Regentsens Jubilæum. Jeg var med. Der blev drukket tappert 800 Flasker Viin. Her har været to Gange Comødie. Jeg var der begge Gange. Den sidste Gang blev et Stykke udpebet. —
Jeg kommer hjem i Slutningen af August, og skal da meddele Dig min Høst som er ganske god. —
Hvis Du vil beære mig med et Par Ord saa er min Adresse Christianshavn Store Strandgade No. 30.
Hils dine Brødre meget fra mig. —
Din
N. Abel.
Theorem I.
Ligningen
hvor n er et Primtal er umuelig naar een eller flere af Størrelserne:
a, h, c, a -\-h , a -\- c , h — c, ia, ^b , ic ere Primtal.
Theorem II.
Hvis man har
^« __ Jn | c«
saa maa man altid kunne opløse a, &, c i to Factorer der ere indbyrdes Primtal saaledes at hvis man sætter a^ a .d , b = ^ .b', c = y .c, man da har:
enten 1)
eller 2)
««-1 a'" + h'" + c'« , n"-^ a'" -j- b'" — c'" ot"-^ a'" -f- c'" — &'"
eller 3)
d" + w«-'- i'« + c'« , d" -\- w"-' y" — c'" ft'« -f- c'" — TO"-^ y»
eller 4)
^«-1 (ft'« | j'») | c'« n"-^ jd" + 6'") — c'" n"-^ (ft'" — b'") + c'"
eller 5)
Theorem III.
For at Ligningen
skal være muelig maa a have een aï følgende tre Former
g, a;" -f- ^ -{- '^"~^ ■^'' hvor x og y og z ingen fælleds
3) ffl =
Factorer maa have.
Theorem IV.
Den mindste Værdie a kan have er
^ 5" -|- 3" -|- 2" [Les nombres 5, 3, 2, ont été
2 corrigés par Abel en 9, 5 et 4]
og den mindste Værdie den mindste af Størrelserne a, h, c kan have er
5" — 3" -|- 2" [Comme ci-dessus; cependant
a Abel n'a pas continué la cor-
rection dans ce qui suit]
f. Ex. naar n^l saa er den mindste Værdie c kan have
eller c = 38033
og i dette Tilfælde er a = 40220
b = 40092 men disse Værdier ere umuehge. —
m. ABEL A HOLMBOE
Kjøbenhavn den 15de Sept: 1825.
Gode Ven!
Tillad at jeg skriver Dig til i en Hast for at bebyrde Dig med Forretninger. Sagen er denne: Fra Prof: Thune er bleven sendt til Christiania 4 Pakker med Cataloger over Dagens Bøger til mig, for at uddeles til Folk i Landet. Nu er jeg her og maa derfor bede Dig at faae fat paa samme Pakker der enten maae være paa Postcontoiret eller hos min Broder, der boer hos Fru Tode i Voldgaden. Portoen for disse Pakker er betalt, hvilket Du nærmere vil kunne see ved at aabne det medfølgende Brev. Du vil maaskee ogsaa være saa god at opfylde Prof: Thunes Ønsker angaaende disse Pakker ved at henvende Dig til Professor Sverdrup angaaende deres Uddeling. Du maa ikke blive vred for at jeg paabyrder Dig disse Commissioner ; det er mig saa over maade magtpaaliggende for Thunes Skyld. Gjør det saa snart Du kan thi Auctionen skal være den 5te October. Den 13 reiser jeg til Sorøe for at besøge Fru Hansteens Moder og Søster; og der bliver jeg et Par Dage. Paa Fredag otte Dage skal jeg reise med Dampskibet til Lubek og derfra til Hambourg.
Hils endelig Fru Hansteen og hendes Søster hvis du kommer der op.
Afhandlingen skal jeg sende med Petersen.
En anden gang skal Du faae et ordentligere Brev fra mig.
Din Ven
N. Abel.
