VI. ABEL A HOLMBOE

Den 16de Januar 1826.

Kjære Ven!

Efter mit Løfte til Dig da jeg reiste fra Christiania har du vel allerede for længe siden ventet Brev fra mig, og jeg maa derfor bede Dig om Undskyldning for at Du ikke faaer det førend nu. Aarsagen er at jeg ønskede ikke allene at fortælle Dig hvorledes det er gaat mig i min første Udflugt men ogsaa hvorledes det i det Hele tegner sig med min Udenlandsreise. Tillige ønskede jeg ogsaa at meddele Dig et og andet af mine Undersøgelser over flere interessante Materier med hvilke jeg har beskjæftiget mig. — Jeg vil ikke underholde Dig med Beskrivelser over min Reise, som i det Hele har været meget mager paa Fata og om hvilken Du desuden maaskee har hørt noget af Prof: Hansteen. Jeg bad ham hilse Dig i det Brev jeg for nogen Tid siden skrev ham til. Overmaade vel fornøiet er jeg fordi jeg kom til at reise til Tyskland og navnligen til Berlin førend jeg kom til Paris; thi som Du maaskee har erfaret af mit Brev til Hansteen har jeg her gjort et fortræffeligt Bekjendtskab med Geheimrath Crelle. Du kan aldrig troe hvilken udmærket Mand

det er; netop som jeg ønsker mig, forekommende uden at være belagt med denne afskrækkende Høflighed, som mange forresten hæderlige Folk opvarte med. Jeg omgaaes ham ligesaa ligefreni som med Dig og andre af mine bedste Bekjendtere. Han er overmaade flittig i Mathematiken hvilket er saa meget des hæderligere, som han som Embedsmand har særdeles mange Forretninger. I de sidste Aar har han udgivet flere mathematiske Bøger, som forekomme mig meget gode. Han har foræret mig de fleste af dem nemlig: en Oversættelse af Lagranges mathematiske Værker indeholdende Théorie des fonctions analytiques. Leçons sur les fonctions analytiques og Théorie des équations numériques ledsagede med fortræffelige Anmærkninger ; videre har jeg faaet Crelles Théorie der analytischen Facultaten (Denne findes paa Bibliotheket i Christiania og har Du ikke læst den saa maa Du endelig gjøre det. Det er en i mange Henseender fortræffelig Bog især fra Formens Side); Crelles Lehrbuch der Arithmetik und Algebra og Lehrbuch der Elemente der Géométrie 3 Bind. Desuden har jeg anskaffet mig hans „Darstellung der Rechnung mit veranderlichen Crossen" og vil endnu anskaffe mig flere smaa Af handlinger som han har ladet trykke. Alle disse Bøger og flere andre sender jeg hjem til Foraaret, og vil jeg da anbefale dem til Din Varetægt. Jeg kan naturligviis ikke føre dem med mig. Hos Grelle er jeg hver Mandags Aften, og desuden spadserer vi sammen hver Fredag Middag en Par Timers Tid. Det gaaer da løs paa mathematiske Sager kan Du troe og saa hurtig som min utyske Tunge vil tillade det. Dog hugger jeg mig igjennem saa taalelig. Han kan ikke faae i sit Hoved at jeg kan forstaae Alt hvad man taler og dog ikke rigtig tale selv. — Det Berlinske Sprog er ellers ikke just det bedste, i hvis Henseende temmelig haardt og i andre Henseender umaadelig blødt og flaut. Saaledes sættes overalt i Begyndelsen af Ordene j istedet for g som klinger fordømt underlig, f. Ex. 0! Jot!, hvilket man hører hvert Øjeblik. Man har følgende Udtryk for at gjøre Nar af Berlinerne i denne Henseende: „Eine jute jebratene Jans ist eine jute Jabe Jottes." En anden Ting som ogsaa gjør en underlig Effect er at de blander mir og mich; dir og dich om hverandre; ligesaa siger man her bestandig sind istedet for seyn. Min Oppasser siger: Wollen Sie so jut sind mich Jeld zu jeben; ich werde jleich hier sind. —

Som maaskee Hansteen har fortalt Dig kommer her fra dette Aars Begyndelse ud en Mathematisk Journal, som Du kan troe jeg glæder mig meget over. Den skal sikkert ikke kom[me] til at indeholde meget slet, noget er uundgaaeligt, da mange Folk formodentlig kommer til at skrive deri. Af mig kommer der i hvert Hefte en

TEXTE OEIGINAL DES LETTRES ÉCBITES PAR ABEL EN NORVEGIEN 15

Par Afhandlinger, det kan Du forlade Dig paa, og at jeg vil bestræbe mig for at producere det bedste jeg kan, det kan Du vel troe. Jeg har allerede udarbeidet 6. Af disse komme 1 eller 4 til at staae i første Hefte, der med det første kommer ud omtrent om en Maaned. Den ene af disse Afhandlinger er Beviis for Umuligheden af Ligningers Opløsning i Almindelighed, som jeg har udarbeidet vidtløftigere end jeg havde gjort det, i den Afhandling jeg lod trykke i Christiania. Grelle sagde om denne Afhandling at den var ærefuld, men han kunde endnu ikke ganske fatte den. Det falder mig saa vanskelig at udtrykke mig ganske forstaaelig i denne Materie, som endnu efter min Maade, er saa lidt arbeidet i. — Siden jeg kom her til Berlin har jeg ogsaa søgt at opløse følgende alm: Problem „At finde alle de Ligninger som lade sig opløse algebraisk." Jeg er endnu ikke ganske færdig, men saavidt jeg kan forstaae vil det gaae godt. Saalænge Ligningens Grad er et Primtal har det ikke saa megen Vanskelighed, men naar den er et sammensat Tal er Pokker løs. Jeg har gjort Anvendelse paa Ligninger af 5te Grad og har lykkelig løst Problemet for dette Tilfældet. Jeg har fundet en stor Mængde Ligninger for uden de hidentil bekjendte, som lade sig løse. Naar jeg faaer Afhandlingen færdig som jeg ønsker smigrer jeg mig med at den skal blive god. Det er dog noget almindelig, og Méthode skal der blive i den, og dette synes mig at være det vigtigste. — Et andet Problem, som jeg har meget beskjæftiget mig med er Summationen af Rækken:

cos mx -f- m cos (m — z) x -\ ^-^ cos (m — å) x -\-

Naar m er et heelt positivt Tal er Summen af denne Række som Du veed (2 cos x)"' men naar m ikke er et heelt Tal saa er dette ikke længer Tilfældet undtagen naar x er mindre end ^ . — Det er ikke noget Problem som har beskjæftiget Mathematikerne i senere Tider saa meget som dette. Poisson, Poinsot, Plana, Grelle og en uhyre Mængde andre har søgt at løse det, og Poinsot er den første som har fundet en rigtig Sum, men hans Raisonnement er ganske falsk, og endnu har ingen kundet komme til Ende dermed. Jeg er lykkeligviis ganske strængt kommen dertil. En Afhandling derover kommer til at staae i Journalen og en anden sender jeg med det første til Frankerig for at indrykkes i Gergonnes Annales de Mathématiques. — Jeg har fundet

cos mx -{- m cos (m — 2) a; + .... = (2 + 2 cos 2 x)J. cos rnhn

sin mx -{- m sin {m — 2) a; -j- • • • • = (2 + 2 cos 2 x)Y. sin mhc

m er en Størrelse comprise entre — 1 et + °o . ^ et heelt Tal og x en Størrelse comprise entre (k — ^) tt et {k -\- ^) n. Sætter du i den anden Sætning Æ = 0 saa har du følgende courieuse Formel :

sm mx -\- m sm [m — ^) x -\ ^^-^ sm (m — 4) » + • • • • = 0

for alle Værdier af x som ere comprises entre ^ ^^ -\- ^- Naar m er compris

entre — 1 et — oo saa er begge Rækkerne divergente og have altsaa ingen Sum. Divergente Rækker ere i det Hele noget Fandensskab, og det er en Skam at man vover at grunde nogen Démonstration derpaa. Man kan faae frem hvad man vil naar man bruger dem, og det er dem som har gjort saa megen Ulykke og saa mange Paradoxer. Kan der tænkes noget skrækkelige[re] end at sige at

0 = 1 — 2« + 3» — 4« + etc.

hvor n er et heelt positivt Tal. Risum teneatis amici. Jeg har i det hele faaet Øjnene op paa en meget forbausende Maneer; thi naar man [undtager] de allersimpleste Tilfælde for Ex: de geometriske Rækker, saa gives der i hele Matheniatiken næsten ikke en eneste uendelig Række, hvis Sum er bestemt paa en stræng Maade: med andre Ord det vigtigste af Mathematiken staaer uden Begrundelse. Det meeste er rigtigl; det er sandt, og det er overordentlig forunderligt. Jeg bestræber mig for at søge Grunden dertil. En overmaade interessant Opgave. — Jeg troer ikke Du skal kunne fremsætte for mig mange Sætninger hvori der forekommer uendelige Rækker, iraod hvis Beviis jeg ikke skal kunne gjøre grundede Indvendinger. Gjør det, saa vil jeg svare Dig. — Selv Binominial [!]-Formelen er endnu ikke strængt beviist. — Jeg har fundet at man har

Hl \ «, * I .mim — 1) „ ,

for alle Værdier af m naar x er mindre end 1. Naar x er lig + 1 har man den samme Formel i det Tilfælde at m er > — 1 men ikke ellers, og naar x = — 1 tinder ikke î'ormelen Sted undtagen naar m er positiv. For alle andre Værdier af a; og m er Rækken 1 + mx -\- etc. divergent. Det Taylorske Theorem, Grundlaget for hele den hoiere Mathematik er ligesaa slet begrundet. Kun eet eneste strængt Beviis har jeg fundet og det er af Cauchy i hans Résumé des leçons sur le calcul infinitesimal. Han viser der at man har:

q>(x-\-a) = yx-{-a(px-\--^ç)'x-\-..,.

saa ofte Rækken er convergente, (men man bruger den rask væk i alle Tilfælde). For at vise ved et alm: Exempel (sit venia verbo) hvor slet man raisonner[er] og hvor f orsigtig man maa være vil jeg vælge følgende Exempel : — Saa langt var jeg kommen da Maschmann kom ind af Døren og da jeg længe har manglet Brev hjemme fra saa standsede jeg for at høre efter om han ikke havde noget til mig (Han er nemlig vor constante Brevdrager) men der var ikke noget. Derimod havde han selv faaet Brev og blandt andre Nyheder fortalte han ogsaa at Du min Ven var indstillet til at blive Lector i Rasmusens Sted. Modtag min oprig[tig]ste Gratulation, og vær forsikkret om at ingen af dine Venner glæder sig saameget derover som jeg. Du kan troe at jeg ofte har ønsket en Forandring i din Stilling; thi at være Lærer ved en Skole maae dog være noget forskrækkeligt for En, der som Du interesserer sig saameget for sin Videnskab. — Nu maa Du sandelig ogsaa see at faae Dig en Kjæreste ikke sandt. Jeg hører at Din Broder Provsten har faaet sig Een. Jeg kan ikke nægte det frapperede mig meget. — Hils ham meget fra mig og gratuleer ham am meisten. — Nu til mit Exempel igjen. Lad

være en hvilkensomhelst uendelig Række saa veed Du at en meget brugelig Maade at summere denne Række paa er at søge Summen af følgende:

og siden sætte x = 1 i Resultatet. Dette er vel rigtigt; men mig synes at man ikke kan antage det uden Beviis, thi fordi man beviser at

for alle Værdier af x som er mindre end 1, saa er det ikke derfor sagt at det samme finder Sted for x = \. Det var meget mueligt at Rækken a^^ -\- a^x -\- «2 ^^ + . . • . nærmer sig en ganske anden Størrelse end «o -)- cfj -|- ^2 + • • • • naar x nærmer sig mere og mere til 1. Dette er klart i det almindelige Tilfælde naar Rækken a,, -|- ^^i ~1~ '*2 + • • • • ^r divergent thi da har den ingen Sum. Jeg har beviist at det er rigtigt naar Rækken er convergerende. Følgende Exempel viser hvor man kan bedrage sig. Det kan strængt bevises og man har for alle Værdier af x som ere mindre end 7C

TEXTE ORIGINAL DES LETTRES d'aBEL — 3

^ a; = sin æ — ^ sin 2a; -|- i sin Sx — etc.

Deraf synes at følge at den samme Formel skulde finde Sted for x = n; men da vilde man faae ud

7t = sin 7C — ^ sin Stc + I sin Srt — etc. = 0 (absurd).

Man kan finde utallige saadanne Exempler. —

I det Hele Theorien af de ueiidelig[e] Rækker er hidentil meget slet begrundet. — Man anvender alle Operationer paa uendelige Rækker som om de vare endelige, men er dette tilladt. Vel neppe. — Hvor staaer det beviist at man faaer Dfiferentialet af en uendelig Række ved at diff erentiere hvert Led ? Det er let at anføre Exempler hvor dette ikke er rigtigt, f. Ex.:

a; = sin 35 — •!■ sin 2a3 -f- -^ sin a; — ...

Differentieres saa faaer man

x ^ cos x — cos 2a; -\- cos Bx — etc.

Resultat, ganske falsk, thi denne Række er divergent. — Det samme gjælder om Multiplication, Division etc. af uendelige Rækker. — Jeg har begyndt at gjennemgaae de vigtigste Regler som ere gjældende (nu) i denne Henseende, og vise i hvilke Tilfælde de ere rigtige eller ikke. — Det gaaer ganske godt og interesserer mig umaadelig. —

Jeg kommer formodentlig til at blive her i Berlin til Enden af Februar eller Marts, og reiser da over Leipzig og Halle til Gottingen (ikke for Gauss Skyld, thi han skal være utaalelig stolt men for Bibliothekets Skyld som skal være fortræffeligt). I Slutningen af Sommeren gaaer jeg til Paris. Jeg vilde ønske at jeg var hjemme, thi jeg længes forskrækkelig. Skriv mig nu endelig et langt Brev til om Alskens Ting. Gjør det endelig saasnart Du har faaet mit Brev. — I Morgen skal jeg paa Comødie og see Die schone Mullerinn. Farvel og hils mine Bekjendtere.

Din Ven

JS. H. Abel.

Vil Du have nogle Bøger saa kan Du blot skrive mig til, saa vil jeg sende Dig dem. Du behøver ikke at sende Penge; thi jeg skylder Fru Hansteen, og saaledes kan Du lade hende faae dem. Adieu og skriv mig endelig snart til. Undskyld at dette Brev bliver saa tykt og derfor saa tykt [dyrt?].