C. G. J. JACOBI

le pays s'était borné à ce qu'il pouvait gagner en préparant des élèves en retard dans les mathématiques élémentaires, ou tout au plus, en donnant quelques leçons de trigonométrie et de stéréométrie, programme mathématique du „ second examen": travail que l'on ne peut qualifier plus exactement que par l'expression de notre génial poëte Vinje, disant à propos d'un autre norvégien que c'est: „atteler le cheval arabe à la charrette à fumier"; que l'on se rappelle aussi l'horreur d'AsEL, à Berlin, lorsqu'il pense qu'il pourrait être mis à la torture dans une école. Nous pouvons comprendre quelle délivrance ce dut être pour lui, d'entreprendre une lutte comme celle qui commença alors, bien que la révélation d'un concurrent inattendu dans sa propre théorie des fonctions elliptiques le rendît nerveux au premier moment, d'autant plus que les circonstances ne lui avaient pas permis, loin de là, de publier toutes ses belles découvertes. Ce qui fit bondir Abel, ce fut que son rival, le jeune Jacobi, avait fait usage, à sa stupéfaction, de la même transition des intégrales de Legendre à ses propres fonctions, „rinversion", qui était le point de départ et le fil conducteur de la partie de ses „Recherches" nouvellement parue, et qu'il avait ainsi démontré des propositions qu'ABEL avait depuis longtemps découvertes, mais non encore publiées.

Carl Gustav Jacob Jacobi était encore plus jeune qu'AsEL; il était né à Potsdam en décembre 1804. Son père était un négociant aisé. Son développement, sauf la différence qui était résultée pour les deux futurs collaborateurs des situations de fortune, avait été remarquablement parallèle à celui d'ABEL. Jacobi avait aussi, dès les années d'école, étudié r„Introductio" d'Euler en leçons supplémentaires, et il s'était aussi heurté à l'équation du cinquième degré, mais sans creuser à fond la question, comme Abel. A l'université de Berlin, ses goûts s'étaient partagés entre la philologie et les mathématiques, qu'il avait étudiées plutôt dans les livres qu'aux cours. La mathématique finit par l'emporter haut la main, et fut l'objet de sa thèse de doctorat, qui déjà témoigna d'une grande originalité. Aussitôt après il se mit à faire des cours, dans lesquels il révéla un remarquable talent de professeur, en sorte que le gouvernement l'encouragea, à l'âge de 21 ans, à demander un poste de privatdocent à Kœnigsberg. Lorsque le journal de Crelle eut commencé, il révéla ses dons éminents dans quelques mémoires, dont l'un est au nombre de ceux annoncés sans signature dans le bulletin de Férussac, et il est bien possible que ce soit Abel lui-même qui se serait alors pour la première fois occupé de Jacobi

dans un bref compte-rendu de l'objet du mémoire. La première connaissance que fit Jacobi des fonctions elliptiques n'a pas été sympathique. Dans son discours à la mémoire de Jacobi, Dirichlet raconte (1852), qu'en rendant à la bibliothèque les „Exercices" de Legendre, il dit à un ami: „Jusqu'à présent, lorsque j'ai étudié un ouvrage important, cela m'a toujours conduit à réfléchir moi-même, et j'ai toujours eu quelquechose à recueillir à mon tour. Cette fois je suis sorti de cette lecture les mains vides, elle ne m'a pas inspiré la moindre idée personnelle." Dirichlet ne nous apprend pas combien de temps se passa depuis lors jusqu'au moment où Jacobi fit imprimer dans les „Astronomische Nachrichten", sans démonstration, l'énoncé de ses deux théorèmes de transformation sur les intégrales de Legendre. Les théorèmes parurent, comme il a été dit, en même temps que les „Recherches" d'AsEL. Ce supplément important à l'œuvre accomplie par le vieux mathématicien français — qui jusqu'à Abel et Jacobi avait été isolé dans la question des intégrales elliptiques — , était si purement dans sa manière, qu'AsEL, en le lisant, ne parait pas avoir trouvé qu'on lui eût coupé, comme on dit, l'herbe sous le pied. Dans les nRecherches", Abel avait, comme nous savons, jeté des bases entièrement nouvelles. Mais le message suivant, qu'ABEL reçut au printemps de 1828, l'inquiéta sur le sort de ses propres découvertes, comme nous allons le raconter.

Abel étant mort l'année suivante, Jacobi se trouva pendant longtemps avoir la réputation d'un homme, qui, dans les mêmes proportions que lui, avait déterré une part essentielle du trésor sur lequel le dix-neuvième siècle a vécu en mathématiques. Maintenant que nous avons un certain recul de temps, les compatriotes de Jacobi eux-mêmes donnent le nom d'ABEL aux sommets les plus escarpés et aux profils les plus audacieux de la région mathématique mouvementée qui fut alors découverte. Mais Abel mourut, et Jacobi, jeune géant lui-même, prit sur ses épaules les idées de tous deux, et les porta plus loin.

La situation de fortune de Jacobi n'était pas comme celle d'ABEL. Il était sorti d'une famiUe riche, et en 1827, lorsqu'ABEL luttait contre sa pire période, Jacobi, à 23 ans, était professeur à Kœnigsberg. En 1829 parurent ses „Fundamenta nova", soigneusement rédigés: c'était l'ouvrage le plus complet jusqu'alors sur les fonctions elliptiques ; — à ce moment Abel luttait avec la mort. Les projets d'ABEL auraient pourtant conduit à un travail d'ensemble sur les fonctions elliptiques ayant un tout autre aspect. Jacobi eut le temps de réaliser beaucoup plus encore pour

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leur tâche commune, pour la mathématique et son avenir. Il mourut en 1851, encore dans la force de l'âge, mais après une production qui a placé à jamais son nom parmi les sommités des mathématiques.

Dans le présent exposé, qui s'adresse autant à la généralité du public cultivé dans le pays même d'AsEL qu'à ses admirateurs compétents dans tous les pays, on ne s'est pas proposé d'entrer dans des développements mathématiques, ni au sujet de son œuvre en général, ni spécialement à cette occasion. Je cherche seulement à démêler les lignes dans la conduite de sa vie, comme un commentaire pour l'intelligence de ses lettres. Mais d'autre part il est naturellement impossible de raconter la vie d' Abel sans s'arrêter quelque peu sur son action mathématique, et j'éprouve très fortement la grande difficulté qu'il y a à ne pas en dire à la fois trop peu aux uns, les mathématiciens, et trop aux autres, les lecteurs qui ne connaissent pas les mathématiques. Et nulle part ce dilemme ne ressort autant qu'ici, dans la rivalité avec Jacobi.

Nous avons vu que l'apparition des „Recherches" d'ABEL marque une manière toute nouvelle d'envisager la question des fonctions elliptiques, caractérisée par les nouvelles fonctions elliptiques, introduites par lui, par opposition aux intégrales elliptiques étudiées par Legendre, et que le passage de ces dernières à celles-là est désigné par le mot „inversion" et constitue un des progrès les plus essentiels dans l'intelligence des véritables profondeurs du problème tout entier. Nous avons noté que, contrairement aux „Recherches", les deux premiers théorèmes de transformation de Jacobi, énoncés dans démonstration, conservaient absolument l'ancien caractère de la théorie. Legendre, qui fut informé du plus important des deux par lettre de Jacobi, fut d'abord hésitant, puis enchanté. Une correspondance active et extrêmement intéressante s'ensuivit entre lui et le jeune mathématicien allemand, qui cependant fut un peu embarrassé, lorsque Legendre désira une explication plus précise de la manière dont il était parvenu à ses deux propositions. Il apparait alors peu à peu qu'il y est parvenu par une induction géniale, et ne les a confirmés que par des exemples particuliers, non par une démonstration mathématique rigoureuse, ce que Legendre regrette d'autant plus qu'il a déjà communiqué ces beaux théorèmes à l'académie en novembre comme de nobles clefs de voûte de la théorie édifiée par lui-même. En décembre les „Astronomische Nachrichten"

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publièrent la démonstration de Jacobi pour l'une des propositions, et ce fut cet article qui, arrivant à Kristiania, effraya tout-à-coup Abel. Bjerknes présume que, à cause des difficultés des communications postales en hiver, Abel n'a guère dû connaître la démonstration de Jacobi avant le printemps.

Ce qui le frappa, ce fut, comme il a été dit, l'usage de l'inversion par Jacobi, et alors il se sentit envahi dans son propre domaine. Hansteen, dans une lettre à Schumacher, a raconté à sa manière sèche, amusante, qu'AsEL «devint tout pâle" lorsque lui, Hansteen, avait „mis sous ses yeux" le numéro des „Astronomische Nachrichten" avec le mémoire de Jacobi. Abel dut, écrit-il, courir chez le pâtissier et prendre un petit verre d'eau de vie „pour maîtriser son émotion". Schumacher communique l'histoire à Gauss, et il ajoute: „Si vous faites un jour connaître vos recherches, ça lui coûtera probablement encore plus cher d'eau de vie."* Quant aux élégantes formules de transformation, dont la simple affirmation sans preuve dans la première insertion de Jacobi n'avaient pas grandement affecté Abel, il s'était jusqu'alors contenté, dans un supplément, à son second envoi des «Recherches", parti le 12 février 1828, de les démontrer comme cas particulier de ses propres études générales sur la théorie des transformations, qui constituait précisément un sujet principal de cette partie de son mémoire.

Il fut d'autant plus consterné en voyant le procédé de démonstration de Jacobi. Ce procédé contenait une menace imminente qu'ABEL fût atteint dans sa priorité pour une grande partie des résultats auxquels il était parvenu, mais qu'il n'avait pas encore rédigés, encore moins publiés. La première chose qu'il fit fut de rédiger un mémoire entièrement nouveau sur la théorie de la transformation sous sa forme la plus générale, sous le titre de: «Solution d'un problème général concernant la transformation des fonctions elliptiques", qu'il envoya le 27 mai aux «Astronomische Nachrichten" de Schumacher. C'est dans le lettre d'envoi** dont Hansteen accompagne le travail d'ABEL, en le transmettant à Schumacher, qu'il donne la petite anecdote sur l'émotion d' Abel. Hansteen ajoute que la théorie de la transformation, sous sa forme générale, comprenant les propositions de Jacobi, était déjà dans la

Schumacher à Gauss (6 juin 1828).

Le mémoire d' Abel est, nous l'avons dit, du 27 mai. Or. Hansteen était parti dès le 19.

Hansteen a donc remis à Abel cette lettre d'envoi avant son départ.

tA LtîTTË AVEC JACOBÎ 97

possession d'ABEL depuis plusieurs années. Et le mémoire d'AsEL le confirme de la manière la plus évidente. Il commence ainsi: „Dans le n° 127 de ce journal, M. Jacob i démontre un théorème très élégant relatif à la transformatton des fonctions elliptiques. Ce théorème est un cas particulier d'un autre plus général, auquel je suis parvenu depuis longtemps sans connaître le mémoire de M. Jacobi On en trouve la démonstration dans un mémoire inséré dans le journal de M. Grelle, et qui a pour titre: „Recherches sur les fonctions ëlUptiqiies." „Mais", continue Abel,* „on peut envisager cette théorie sous un point de vue beaucoup plus général, en se proposant comme un problème d'analyse indéterminée de trouver toutes les transformations possibles d'une fonction elliptique qui peuvent s'effectuer d'une certaine manière. Je suis parvenu à résoudre complètement un grand nombre de problèmes de cette espèce. Parmi eux est le suivant, qui est d'une grande importance dans la théorie des fonctions elliptiques — ."

En formulant ici son problême le plus étendu, où il supprime sa restriction précédente de considérer une certaine fonction, qui joue un rôle dans la question, uniquement comme rationnelle, et lui donne la forme algébrique la plus générale, réelle ou imaginaire, il dit que le problème peut paraître assez difficile à première vue dans une telle généralité; mais il peut le ramener au cas plus simple où la fonction est rationnelle.

Dans sa correspondance avec Legendre, Jacobi dit du mémoire „ Solution" qu'il est au-dessus de son éloge, comme il est au-dessus de ses propres travaux, et ailleurs, il fait précisément ressortir cette généralisation comme, à son avis, le service le plus essentiel rendu par Abel dans la théorie de la transformation.

Abel revint encore une fois sur ce sujet, dans les „Astronomische Nachrichten", dans le supplément : „Addition au mémoire précédent." Il fut commencé dans l'été, et porte la date du 25 septembre. II y résout un problème analogue, extrêmement général, et termine : „I1 y a encoi'e beaucoup choses à dire sur la transformation des fonctions elliptiques. On trouvera des développemens ultérieurs sur cette matière, ainsi que sur la théorie des fonctions elliptiques en

* Déjà dans le premier envoi des „Recherches" Abel tient tout prêt l'appareil qui lui permet dans le second (12 février) de fonder sa théorie de la transformation sons sa première forme. Cette partie des „Recherches" est imprimée dans le journal le 26 mai, la veille du jour où il date la „Solution." Les travaux se succèdent sans interruption.

9â ELLING HOLST: INTEODUCTION HISTORIQUE

général, dans un mémoire qui va paraître dans le journal de M. Grelle." Mais il en fut de ceci comme de plusieurs des vastes projets qui le hantaient à cette époque. La mort arrêta brusquement bien des choses presque achevées, bien d'autres qui venaient de jaillir, et beaucoup de belles idées n'allèrent pas au delà d'une rapide ébauche dans ses cahiers. Et cependant il acheva en moins d'une année qu'il lui restait à vivre, de grands et surprenants travaux.

La lutte proprement dite des deux rivaux sur des principes essentiels, c'est-àdire la théorie de la transformation, continue encore un moment dans des articles moins étendus, et il arrive plus d'une fois, d'après Kœnigsberger, que tous deux sans le savoir traitent en même temps le même sujet et énoncent les mêmes propositions. D'ailleurs leur attention est maintenant, attirée de plus en plus vers d'autres questions connexes, qui ne donnent pas lieu à rencontres, et où leur rivalité est plutôt un combat engagé côte à côte pour la même grande œuvre. Tous deux avaient, nous nous le rappelons, entrepris chacun de son côté de publier un ouvrage d'ensemble sur la théorie toute entière. Mais les projets d' Abel dépassent les limites des fonctions elliptiques — nous savons avec quel résultat — et Jacobi fut, selon l'expression de Bjerknes, l'homme qui, plus que personne, devait montrer au monde ce que c'était qu'ABEL. Il avait déjà en réalité d'assez bonne heure assumé en partie ce rôle dans leur lutte de vitesse, vis-à-vis du vieux Legendre. Aux yeux de celui-ci, l'inversion abélienne paraissait au commencement un détour inutile, et les nouvelles fonctions elliptiques ne pouvaient captiver son attention. Aussi fut-il un peu déçu, lorsque dans la démonstration de Jacobi, la même qui émut tellement Abel, il trouva que Jacobi avait eu recours à l'inversion. C'était pour lui comme si la démonstration n'était 'pas valable, tant qu'elle n'était pas obtenue uniquement par les ressources de sa propre théorie, et il ne s'y rendit pas avant d'y avoir réussi. Alors ce mathématicien de près de quatre-vingts ans fit de la théorie de la transformation, ainsi dégagée des idées abéliennes, un nouveau volume, vrai couronnement de son travail.

Mais Legendre ne tarda pas à son tour à s'apercevoir de l'importance d' Abel, et il le suivit avec une admiration croissante. C'est lui qui le premier a vu cette production simultanée d'ABEL et de Jacobi sous l'aspect d'une rivalité — il les appelle les deux jeunes athlètes — et bientôt il se trouva aussi en correspondance avec Abel. Comme Jacobi parlait constamment de celui-ci, Legendre fut amené