SUR LA: RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS

d'une même manière (c'est à dire an moyen de radicaux), que les mathématiciens les plus éminents, comme Lagrange, avaient cru, mais en vain, pouvoir appliquer aussi aux équations du cinquième degré, il continue avec une clarté et une simplicité incomparables: „Cela fit présumer que la résolution des équations générales était impossible algébriquement; mais c'est ce qu'on ne pouvait pas décider, attendu que la méthode adoptée n'aurait pu conduire à des conclusions certaines que dans le cas où les équations étaient résolubles. En effet, on se proposait de résoudre les équations, sans savoir si cela était possible. Dans ce cas, on pouvait bien tomber sur la résolution, quoique cela ne fût nullement certain; mais si par malheur la résolution était impossible, on aurait pu la chercher une éternité sans la trouver. Pour parvenir infailliblement à quelque chose dans cette matière, il faut donc prendre une autre route. On doit donner au problème une forme telle qu'il soit toujours possible de le résoudre, ce qu'on peut toujours faire d'un problème quelconque. Au lieu de demander une relation dont on ne sait pas si elle existe ou non, il faut demander si une telle relation est en effet possible. Par exemple dans le calcul intégral, au lieu de chercher, à l'aide d'une espèce de tâtonnement et de divination, à intégrer les formules différentielles, il faut plutôt chercher s'il est possible de les intégrer de telle ou telle manière.

En présentant un problème de cette manière, l'énoncé même contient le germe de la solution, et montre la route qu'il faut prendre; et je crois qu'il y aura peu de cas où l'on ne parvient à des propositions plus ou moins importantes, dans le cas même où l'on ne saurait répondre complètement à la question à cause de la complication des calculs. Ce qui a fait que cette méthode, qui est sans contredit la seule scientifique, parcequ'elle est la seule dont on sait d'avance qu'elle peut conduire au but proposé, a été peu usitée dans les mathématiques, c'est l'extrême complication* à laquelle elle parait être assujettie dans la plupart des problèmes, surtout lorsqu'ils ont une certaine généralité; mais dans beaucoup de cas cette complication n'est qu'apparente et s'évanouira dès le premier abord. J'ai traité plusieurs branches de l'analyse de cette manière, et quoique je me sois souvent proposé des problèmes qui ont surpassé mes forces, je suis néanmoins parvenu à un grand nombre de résultats généraux qui jettent un grand jour sur la nature des quantités

* Souligné ici.

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dont la connaissance forme l'objet des mathématiques. C'est surtout dans le calcul intégral que cette méthode est facile à appliquer." Abel avait à peine 26 ans quand il écrivait cela.

Rien ne peut mieux rendre compte de la géniale supériorité d' Abel que la clarté pleinement consciente avec laquelle il expose ces considérations générales. Et tout les confirme dans ses œuvres. Parmi les autres particularités dans sa manière de poser et de traiter ses développemeots, j'en signalerai une qui m'a frappé. Ses deux domaines principaux étaient la théorie des équations et la théorie des fonctions, et ses progrès dans l'une de ces deux branches différentes l'ont constamment conduit à de nouveaux progrès dans l'autre, et inversement; il y a aussi une remarquable ressemblance entre les manières dont il s'est posé et a résolu les principaux problèmes dans chacune. Un trait qui revient souvent est qu'il résout les difficultés, lorsqu'il est en face d'un cas particulier, en se posant un problème beaucoup plus élevé, comprenant le précédent. De la position ainsi franchie sa pensée s'avance, par les progrès les plus subtils, jusqu'au principe de classification le plus naturel, grâce auquel il ramène tous les phénomènes essentiels au pins petit nombre possible de types fondamentaux qu'il n'est plus possible de transformer les uns dans les autres. Puis il pénètre et expose leurs propriétés avec une vigueur incomparable, et montre comment ils se comportent dans les formes diverses du système plus complexe. Il est impossible de dire ce qui est ici le plus admirable, la puissance merveilleuse avec laquelle il se soumet la matière la plus indocile (voyez, par exemple, ce qu'il a dit plus haut des complications qu'il fait disparaître), la sûreté spontanée avec laquelle il discerne les caractères essentiels, ou la rigueur logique par laquelle il sait tout réduire aux types les plus simples possibles. A chaque proposition, il sait immédiatement de quel côté elle pourra être généralisée avec le plus grand avantage, et chaque principe plus général ainsi acquis est aussitôt pour lui un nouvel instrument pour aller plus loin. Sa richesse d'idées, l'étendue de son regard, la rigueur du progrès logique de sa pensée, la perfection de son exposé, tout est merveilleux. Ce fut grâce à ces qualités de son esprit, et aussi au travail infatigable qui eu si vite raison de son corps peu vigoureux, qu'AsEL put élever, depuis l'âge de 22 ans jusqu'à moins de 27, des constructions si sohdes, des théories éternelles.

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Vers le milieu de septembre, Madame Hansteen quitta Kristiania pour se rendre dans sa famille à Copenhague, et la maison Hansteen fut vide et déserte. Abel avait perdu sa seconde mère, son amie la plus intime à tant d'égards. La simplicité avec laquelle il pouvait accepter d'elle des services, plus que de personne autre, nous la voyons dans des témoignages d'une insignifiance éloquente, jusqu'à ces petits billets non datés (lettres XXXII et XXXVI), qui ont été pieusement conservés, et qui en réalité racontent encore quelquechose de ses préoccupations pour son frère, quelquechose de ses embarras d'argent, quelquechose sur ses dettes, dont il réussit tout de même à payer une partie, ce qu'il lui a déjà librement confié. A sa manière douce, il exprime dans sa lettre du 22 septembre (lettre XXXVIII), aussitôt qu'il a quitté son lit de malade, le regret que lui cause le départ de Madame Hansteen: „Comme c'est étrange, je ne peux pas me mettre dans la tête que vous êtes partie, et je suis souvent sur le point d'aller chez vous. Je suis pourtant presque absolument seul".

Et dans la jolie lettre d'on ne sait quel jour de novembre (lettre XLI), la dernière adressée à elle, que nous ayons de sa main, toutes ses pensées amicales, enfantines, viennent comme s'accumuler. C'est comme s'il était assis, encore une fois, sur la tabouret à ses pieds, il raconte toutes ses histoires, grandes et petites, et son accès d'orgueil devant la célébrité qui commence à l'assaillir a quelque chose du même caractère qu'autrefois, lorsqu'il avait entendu Degen faire son éloge. En même temps, il essaie de la consoler le mieux qu'il peut de son éloignement de sa maison. Il ne la revit plus jamais.

Le 21 septembre, Abel avait reçu de Crelle une nouvelle lettre, cette fois plus gaie et plus pleine d'espoir. De meilleures chances apparaissaient à nouveau, et la lettre contenait en outre des encouragements sur d'autres points. De cette lettre, qui était datée du 10 septembre, nous n'avons plus que des fragments (lettre XXXVII) qui sont reproduits d'après l'article nécrologique de Holmboe. Ces fragments disent combien son mérite est reconnu des côtés les plus différents, ce que Crelle s'est fait un plaisir de lui communiquer; mais par la lettre suivante à Madame Hansteen nous savons qu'elle contenait en outre l'offre renouvelée de lui payer ce qu'il enverrait dorénavant, à raison d'un ducat par feuille d'impression, et Abel ne crut plus devoir refuser. Si modeste et prudent que se soit certainement montré Abel dans ses lettres à Crelle, il est impossible que celui-ci n'ait pas senti la disproportion

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qui existait entre les mérites d' Abel dans sa science, et la seule manière- dont on avait cru pouvoir l'employer, ainsi que le traitement qu'on pouvait lui offrir à Kristiania. Et de quelque source que cela puisse être venu, il est certain que cette disproportion avait commencé à exciter un étonnement et une sollicitude bien justifiés pour ceux qui n'étaient pas au courant, même en dehors du milieu de Grelle. Dans la correspondance entre Legendre et Jacobi, ce point n'est touché nulle part, mais il n'est pas impossible que Grelle, en parlant d'AsEL à Legendre, ne lui ait pas caché la situation. En tout cas Legendre, Poisson et Lacroix ont fait peu de temps après une démarche tout-à-fait exceptionnelle, en s'adressant au roi Gharles-Jean (Bernadotte), pour qu'on assurât à Abel une situation convenable à l'académie suédoise des sciences à Stockholm. Abel était d'ailleurs absolument ignorant de ce fait, et le 6 décembre, il adresse de son côté une pétition au roi (doc. XLII) en vue d'une amélioration de sa situation financière d'une toute autre et plus modeste sorte. Il désirait simplement obtenir le traitement ordinaire de docent, 600 spd. au iieu de 400, qu'il avait reçus jusqu'alors. La pétition passa par la filière habituelle, sans opposition aucune, cette fois. L'Université est extrêmement satisfaite de la manière dont il compose et expose son cours, et lui donne la meilleure recommandation. Le 9 .février, le décret royal fut signé, accordant la demande. Mais maintenant tous les tardifs rayons de soleil tombent sur son lit de mort ou sur sa tombe.

Il devait passer la Noël à Froland; mais le voyage même lui donne le dernier coup. L'hiver était rigoureux, et le costume de voyage d'ABEL n'était pas des meilleurs. En arrivant il n'était pas précisément malade, mais il ne se sentait pas bien non plus, et la vie de joyeuse sociabiHté à l'usine, où il s'était montré l'un des plus ardents, souvent l'âme de ce milieu, toujours gai parmi les gais, et enfant avec les plus jeunes, fut brusquement interrompue au bout de quelques jours, lorsqu'ABEL dut tout-à-coup s'aliter par suite d'un crachement de sang. G'était une grave inflammation des poumons.

Toute la famille s'était attachée à lui avec un grand dévouement. A Froland toutes ses qualités aimables s'étaient épanouies dans ce milieu de bonté chaleureuse; sa gaieté tantôt tranquille, tantôt exubérante, avait parfois gagné toute la maison, et jamais on ne s'était fâché des nombreuses farces quil s'était permises, sûr qu'il était de la position qu'il avait acquise dans ce charmant milieu dans une famille distinguée. Sa bonté de cœur et son caractère enfantin lui avaient depuis longtemps

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conquis tout le monde. Bien souvent il avait transporté son papier, sa plume et ses profondes spéculations mathématiques dans le cercle même de la famille, où les dames étaient occupées de de leurs travaux à la main, et causaient. Il s'installait là, „et il travaillait et écrivait pour diminuer les frais de poste sur le papier le plus mince et avec l'écriture la plus fine. Lorsqu'il se levait de son travail, raconte Bjerknes, il n'avait pas de plus grand plaisir que de dérober un mouchoir dans une poche ou de fouiller dans une boîte à ouvrage". Alors tout fut changé. Mais il les réunit encore tous autour de lui. Son lit de malade fut le centre de la famille, toutes les pensées s'y concentrèrent.

Il est inutile de dire qu'il fut soigné de la manière la plus affectueuse et la plus attentive, et qu'ainsi sur son lit de malade il jouit peut-être pour le première fois, non des joies de la société et de la vie raffinée, mais de tout l'épanchement d'intime bonté que des mains douces et des cœurs affectueux, dans une maison luxueuse, peuvent verser comme baume et adoucissement sur une jeune espérance de vie, brusquement brisée. Et il a certainement éprouvé à cette époque une joie encore plus profonde, en apprenant à connaître à fond le cœur de sa fiancée.

Il sembla un moment qu'il se remettrait. Mais dès le commencement de janvier survint une rechute, qui l'amena, comme par un pressentiment de ce qui allait suivre, à chercher à sauver le joyau de sa vie et de son œuvre, le grand théorème d'addition contenu dans le mémoire de Paris. Comme pour sauver du feu ce brandon fumant, il le récrivit le 6 janvier, et l'envoya à Grelle. C'est la dernière chose que nous ayons de sa main, littéralement son testament scientifique. Comme nous savons qu'il resta trois mois sur son lit de mort, nous devons croire que c'est le jour même où il eut sa rechute, qu'il allégea son cœur de ce gros souci.

Bientôt le caractère de la maladie fut évident pour tous, sauf pour Abel luimême. C'était la phtisie, et de celles qui ne donnent pas de long sursis.

Il y a une étrange douceur dans cette terrible maladie, en ce que le malade continue à espérer de vivre; il croit, chaque fois qu'un accès est passé et qu'il peut avoir repos et soulagement, qu'il retourne vers la lumière et la santé, et qu'il pourra encore vivre et accomplir beaucoup de choses. A chaque intervalle nouveau, c'était comme si toutes les lumineuses puissances de la vie s'étaient unies pour sa joie en faisant cet espoir d'avenir aussi resplendissant et beau que possible. A tout ce que son entourage ami lui offrait de bon, s'ajoutèrent une série de nouvelles du

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dehors, pleines de promesses. Dans le pays, le montant de son traitement était élevé, et il reçut, tant de Berlin directement, que de Paris par un détour, des nouvelles qui firent battre son cœur et colorèi-ent ses joues une dernière fois. Dans une lettre que nous ne possédons plus, mais dont Bjerknes rend compte, Crelle a de nouveau le meilleur espoir. La nomination à Berlin peut être considérée comme une chose faite. Et cela lui est plus tard confirmé par Legendre (lettre XLIII) dans le post-scriptum : „J'ai reçu il y a quelque temps une lettre de M. Humboldt, dans laquelle il m'informe que le ministre de l'instruction publique à Berlin est autorisé par le roi à fonder un séminaire pour l'étude des hautes mathématiques et de la physique, dans lequel vous serez appelé comme professeur avec M. Jacobi".

La joie que tout cela lui causait fut encore augmentée à l'idée que sa fiancée en profiterait aussi, et elle ne voulut pas l'arracher à ses heureux rêves d'avenir, mais examina, tout en plaisantant, avec lui, comment ils s'arrangeraient. „Tu ne t'appelleras plus madame, ni ma femme, lui arrivait-il de dire par plaisanterie, d'après le récit de Bjerknes, on dira Hr. Professor mit seiner Gemahlin". Et parmi ces jeux certainement mêlés de larmes, il glissa peu à peu, sans s'en douter, jusqu'à la mort. Il sut enfin à son tour que tout espoir était perdu, et sa pensée fut alors surtout préoccupée de faire quelquechose pour elle. Son dernier vœu, nous croyons qu'il fut transmis par la famille Smith, fut de charger son vieil ami Keilhau de prendre soin de sa fiancée. Il la savait ainsi entre des mains fidèles et pieuses, bien que Keilhau ne connût pas alors personnellement Mlle Kemp. „Elle n'est pas belle, dit Abel dans son adieu à Keilhau, elle a les cheveux roux et des taches de rousseur, mais c'est une femme admirable".* L'agonie fut pénible. Grelly ne le quitta point, et comme les autres voulaient partager sa tâche et l'aider à le soigner, elle refusa d'accepter leur aide „pour posséder seule ces instants." Le 6 avril à 4 heures de l'après midi, tout fut fini. Il avait alors 26 ans et 8 mois.

Deux jours après la mort, Grelle écrit encore une dernière lettre à Abel (lettre XLIV). Elle est rayonnante: „Je peux maintenant, mon cher, très-cher ami, vous donner une bonne nouvelle. Le ministre de l'instruction publique a décidé de vous appeler à Berlin, et de vous y nommer . . ." C'est avec peine que l'on lit l'expression de sa joie, sa prière à Abel de n'annoncer encore la nouvelle à personne, et

Finne Grønn: „La famille d' Abel, le grand mathématicien", p. 71.