Y=*/(«MP)+F(«,P
le terme F(a, (3) ne devant d'ailleurs figurer dans le second membre que lorsque a et [3 sont compris entre certaines limites, et étant dit, pour cette raison, terme complémentaire .
Décomposons alors la valeur dey en deux parties, y' et y", telles que
{Notices publiées par le Ministère des Travaux publics, à l'occasion de l'Exposilion universelle de 1889. Volume : Mines, Documents divers, p. 3o8).
Collet, Traité théorique et pratique de la régulation et de la compensation des compas. Paris, Ghallamel.
Ajoutons que, pour la construction de ces abaques, M. Lallemand a été très habilement secondé par les dessinateurs de son service, notamment par MM. Prévôt et Renard.
EQUATIONS A TRIPLE RÉ(ÎLURE PARALLÈLE. ABAQUES HEXAGONAUX. 3g
Nous pourrons construire séparément les abaques de ces deux équations. Il nous suffira, dès lors, les valeurs de y' et de y" nous étant fournies par ceux-ci, de faire la somme des résultats ainsi obtenus.
La première de ces équations, qu'on peut écrire
IogY'=log/(«) + log<p(P),
étant à triple réglure parallèle, donnera lieu à un abaque hexagonal, c'est-à-dire (les axes étant inclinés à 1200 l'un sur l'autre, et les coordonnées étant supposées être les distances à l'origine des pieds des perpendiculaires abaissées des points du plan sur les axes) qu'on prendra, pour la représenter, comme isoplèthes (If ) et (I2),
a? = log/(a) et y= logcp(P).
Conservons les mêmes droites qui, d'ailleurs, n'ont pas besoin d'être construites, grâce à l'artifice de l'indicateur transparent (n° 18), comme isoplèthes (L) et (T2) de la seconde équation. Les troisièmes isoplèthes (y") seront généralement, dans ce cas, non plus des droites parallèles comme pour y', mais des courbes dont l'équation, en supposant que/, et cp, soient les fonctions inverses des fonctions y* et cp, peut s'écrire
Y"=F[/1(io*),<?l(ior)].
Supposons ces isoplèthes construites dans la région E correspondant aux valeurs comprises entre les limites pour lesquelles y" doit s'ajouter à y', et superposons cet abaque à celui de y', en faisant coïncider, d'une part, les échelles (a) , de l'autre les échelles ( (3) de ces abaques, qui sont les mêmes par hypothèse. Sur l'abaque double ainsi obtenu {fig* 16), les valeurs de y' sont données par la troisième échelle de l'abaque hexagonal primitivement construit, celles de y" par les cotes des isoplèthes tracées en second lieu.
Les deux premiers axes de l'indicateur transparent passant dès lors par les points (a) et (p) des deux premières échelles, le troisième passe par le point (y') de la troisième. Si, en outre, le centre de l'indicateur tombe dans la région E ci-dessus définie, la cote de Tisoplèthe sur laquelle il se trouve fait connaître y". On n'a plus qu'à effectuer la somme y' -h yr/.
Ainsi, dans l'exemple représenté en pointillé sur la fig. j(i, pour
on a
et par suite
L'aire E, avec ses isoplèthes, a reçu de M. Lallemand, à qui est
Fig. 16.
lyO 0
dû cet. artifice, le nom à? échelle centrale additionnelle, nom qui se justifie par ce fait que la lecture se fait sur cette échelle au moyen du centre de l'indicateur.
Ainsi, d'une part, on est averti des cas où il y a lieu de tenir compte du terme complémentaire, par cela seul que le centre de l'indicateur tombe à l'intérieur de l'échelle centrale E, et la valeur même de ce terme complémentaire est fournie par la cote de l'isoplèthe sur laquelle se trouve le centre.
ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE PARALLÈLE. ABAQUES HEXAGONAUX. \ i
Abaques de remblai et de déblai.
25. A litre d'application de ce qui précède, dous feron naître les abaques construits par M. Lallcmand pour le calcul ( profils de remblai et de déblai.
•on-
i° Remblai. — On dit qu'un demi-profil est en remblai lorsque
Fig. i7.
l'arête extérieure de ce demi-profil est en remblai {fig. 17 et 18 ). Si nous désignons par
x la déclivité transversale (tangente trigonomélrique de l'angle w d'inclinaison sur l'horizon) du terrain naturel, prise avec le signe -+- quand le terrain s'élève en rampe à partir de l'axe dans le demi-profil considéré {fig- '20 et 21), et avec le signe — quand il est en pente ( { ) {fig. 17 et 18);
y la cote sur l'axe OK prise avec le signe -f- quand elle est en déblai, avec le signe — quand elle est en remblai (2);
h la demi-largeur OC de la plate-forme;
(') Cette convention revient à prendre toujours comme sens positif celui de l'axe vers l'arête extérieure du demi-profil considéré, soit celui de gauche à droite pour les demi-profils à droite de l'axe, celui de droite à gauche pour les demi-profils à gauche.
(2) Cette convention revient à prendre toujours l'origine des cotes au niveau <le la plate-forme.
Les isoplèthes (I,) et (L) seront d'ailleurs, pour l'une comm<
our l'autre de ces équations
il,) X = — l0g2(*tf— X),
I h) Y = 2log[(éH-0^-Hj].
Les explications de détail étant, pour le fond, les mêmes dans ce cas que dans le précédent, nous y glisserons plus rapidement. Pour x <C o5 l'abaque est limité à la ligne pour laquelle
y = — bx,
ligne dont l'équation s'obtienten éliminante cl y entre cette dernière et les équations (I, ) et (12) ci-dessus. Il vient ainsi
-; , » io~ x
Cette courbe, dans sa portion utile, diffère insensiblement en pratique d'une droite parallèle à Taxe des y. Elle passe d'ailleurs par le point correspondant à x = o, y = o, car pour ce point
X = — logafrf, Y = 2log(6 -+- l)td.
Quant à la partie de l'abaque correspondant ài>o, elle est limitée à la ligne pour laquelle
dont l'équation est
102 — (b + l)td = — h—(b + l— j-)(td— ^- )
I02= [b-hl
ou encore
ft{ J 2
C'est une droite parallèle à l'axe des y. Quant à l'échelle centrale qui correspond, pour x >- o, aux valeurs de y >► o, elle est comprise entre la droite qui vient d'être tracée et l'isoplèthe y = o.
Les isoplèthes (D") tracées sur cette échelle centrale, obtenues
comme les isoplèllies (IV) du cas précédent, oui pour équation
•itd — io— x
L'emploi de l'abaque (PL III) ne diffère pas de celui du cas précédent.
Deux des axes de l'indicateur passant respectivement par les points (x) et (y) des échelles correspondantes, le troisième axe donne sur la troisième échelle la valeur de D'. Si le centre de l'indicateur est extérieur à l'échelle centrale, on a D = D'. S'il tombe à l'intérieur de cette échelle, la cote de l'isoplèthe sur laquelle il se trouve fait connaître D", et on a D = D'-f- D/;. Dans ce dernier cas, il y a remblai sur l'axe, et l'aire du remblai est précisément D/r.
Si le centre de l'abaque tombe en dehors des limites ci-dessus définies, c'est-à-dire dans la région dont le bord est marqué par des hachures, l'abaque ne s'applique plus : on est dans le cas delà formule des remblais.
Ainsi donc, x et y étant donnés pour un certain demi-profil, on n'a pas à s'inquiéter de savoir si l'on est en déblai ou en remblai, dans un cas normal ou dans un cas mixte.
Avec ces valeurs de x et de^' on entre dans l'un ou l'autre des deux abaques, dans celui des remblais, par exemple. Si le centre de l'indicateur tombe dans la partie utile de cet abaque, c'est qu'on est bien en remblai; sinon (c'est-à-dire s'il tombe dans la région marquée par les hachures) c'est qu'on est en déblai, et on se transporte dans l'autre abaque. Quant aux cas mixtes, on en est averti par le fait que le centre de l'indicateur tombe à l'intérieur de l'échelle centrale.
Les abaques des PL II et III montrent l'application des règles précédentes à un projet de route établi avec les éléments ci-après :
b = 5m, Z = im,5o, A = o'n,5o, *d = i, tr—-'
En outre, x est supposé varier de — o,5 à -f- o, 5 et y de — ■ aom (cote sur l'axe en remblai) à -+- 20™ (cote sur l'axe en déblai).
L'échelle y de l'abaque des remblais (PL 11) a été fractionnée (n° 19) au pointy = — 4- U s'en est suivi pour R/ une seconde o. • \
5o CHAPITRE III. — ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLLRE PARALLÈLE, ETC.
échelle correspondante. On a souligné la graduation des deux échelles supplémentaires pour distinguer celles-ci des échelles primitives.
En outre, afin de rendre impossible toute erreur relative au signe de x et de y, on a, pour x, distingué l'échelle des pentes de celle des rampes; pour y, celle des cotes en remblai sur Taxe de celle des cotes en déblai.
Exemple d'application (indiqué en pointillé sur la PL II) : Le terrain naturel a une pente de o, 4- La cote sur l'axe est de o,qo en déblai.
L'abaque de remblai donne
11 y a donc i11"1 de déblai sur l'axe et 3raq,7 de remblai.
ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE QUELCONQUE, ETC. 5 i
ISOPLËTIIES.
26. L'artifice des abaques hexagonaux n'est applicable qu'aux équations à triple réglure parallèle. Les applications en sont, il csl vrai, extrêmement nombreuses; il n'y en a pas moins un intérêl sérieux à indiquer le principe suivant qui, dérivant d'ailleurs d'un tout autre ordre d'idées, permet de remplacer les systèmes d'isoplèthes par de simples échelles (remplacement dont les avantage ont été signalés au n° 17), non seulement pour les équations à triple réglure parallèle, mais pour celles à triple réglure quelconque.
Disons tout de suite que, bien que ce nouveau principe soit plus général, celui de M. Lallemand devra ordinairement lui être préféré dans le cas de la triple réglure parallèle, à cause de la possibilité si précieuse du fractionnement des abaques qui n'existe qu'a\ec ce dernier.
C'est assez d'ailleurs, pour affirmer l'utilité de la méthode des points isoplèthes, du champ des équations à triple réglure quelconque.
Principe de la méthode des points isoplèthes ( ' ).
27. Reportons-nous donc aun°-4. Nous avons vu là que, lorsque l'équation revêt la forme (E'M), dont (E") et (EIV) ne sont que des cas particuliers, cette équation est représentable par trois cours
(!) C'est en 1884 que nous avons publié, pour la première fois, à propos d'un exemple particulier, le principe de la méthode des points isoplètlies (Annales des Ponts et Chaussées, 2e sem., p. 53i). Nous l'avons depuis énoncé dans toute sa généralité (Génie civil, t. XVII, p. 3\3).
o4 CHAPITRE IV.
Transformation des abaques à droites isoplèthes en abaques à points isoplèthes.
29. Rien de plus simple, lorsqu'on prend un abaque à trois systèmes de droites isoplèthes, que de construire l'abaque corrélatif à trois systèmes de points isoplèthes.
Il suffira de prendre les coordonnées
(x—a,y = b) et (x = a' , y — b' )
de deux points appartenant à chacune des droites du premier abaque. Le point correspondant sera celui où se rencontrent les droites dont les coordonnées, dans le système parallèle choisi, selon l
( u = a, v — b ) et ( u = a', v = b').
Soit, par exemple, la droite PQ (ftg. 23).
Fie. 23.
Pu-
Au point P(# =p,y~o) correspond la droite BM (u=p, c = o); au point Q(# = o, y = q), la droite AN(zz = o, v= q). Donc le point C où se croisent BM et AN est corrélatif de la droite PQ qui joint les points P et Q.
Abaque de l'équation trinôme du troisième degré.
30. Comme exemple d'application, nous donnons ici (fig* ^4 et PL VIII, courbe cotée o) l'abaque pour la résolution de l'équation
z3+-pz-i-q = o (i),
(') Nous avons fait connaître cet abaque dans notre Mémoire de 1884 {Annales des Ponts et Chaussées, 2e semestre, PI. XL, fig. 3). Nous l'avons reproduit dans notre brochure : Coordonnées parallèles et axiales.
