QUELQUES EXEMPLES D 'ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ÏÇ

par les équations (I,) et (I3), sont des droites, les isoplèthes (p) fournies par l'équation ( 1 2 ) ? des cercles.

Toutes ces isoplèthes sont extrêmement simples à construire. Pour des valeurs particulières de cp, àep et de /. : i" l'isoplèthe (cp) est la droite issue de l'origine, cpii fait avec l'axe des x l'angle '^; 2° l'isoplèthe (p) est le cercle de rayon p louchant Taxe des y à l'origine, dont le centre est, par suite, situé sur Taxe des x ; 3° l'isoplèthe (Â) est la droite coupant l'axe des y au point don! l'ordonnée est — k: et ayant un coefficient angulaire égal à — ;•

L'abaque ainsi obtenu (PL IV) se construit très rapidement. On le limite à la portion correspondant aux limites de variation pratique des quantités p (de 0,4 à 1) et cp (de 200 à 5o°) (' ). \ titre d'exemple, pour p = o, (35, cp = /\o'\ on a k = o, i\.

Nous avons tracé les isoplèthes (cp) en pointillé, parce qu'on peut se dispenser de les tracer sur l'abaque. Si, en effet, on marque sur le cercle extérieur de l'abaque la graduation correspondant à cp, il suffit de tendre un fil entre l'origine et le point co de cette graduation pour remplacer la droite non tracée. Cette manière de faire est même préférable au point de vue de la précision de l'interpolation.

(') La partie utile de l'abaque a été disposée dans le cadre de la PL IV de façon que l'isoplèthe cp = 200 soit parallèle au bord inférieur de ce cadre. L'axe des x, qui passe d'ailleurs par le point de convergence des isoplèthes (cp), ferait donc un angle de 200 avec le bord inférieur du cadre, en dessous de ce bord.

bien simple permet de maintenir intacte l'orientation d'un des axes de l'indicateur et, par suite, celle des deux autres, h&fig. i i , où l'on a pointillé les axes de l'indicateur, pour une de ses positions, montre l'aspect général de l'abaque ainsi obtenu.

Déplacement et fractionnement des échelles.

19. M. Lallemand a fait remarquer qu'un tel abaque présente la précieuse propriété du fractionnement. Voici en quoi consiste celle-ci :

Observons d'abord que les échelles linéaires définies au numéro précédent peuvent être déplacées, en conservant leur direction, suivant le sens de l'axe correspondant de l'indicateur. Cette opération peut même n'être pratiquée que pour une de leurs parties seulement.

Ainsi, soient ( fi g. 12) A A", BB", OC" les échelles données, les

Fis. 12.

points A, B, C, d'une part, A", B", C", de l'autre, étant des points correspondants. O et O" sont les positions correspondantes du centre de l'indicateur.

Prenons trois points correspondants intermédiaires A/, B', C, pour lesquels le centre de l'indicateur est en O'. Nous pouvons reporteries fragments d'échelles A' A", B'B", C'C'en A;A;, B'0B;,

CJjCJ, puis déplacer toute la figure O'O,,A'Qk"0B,i)BlC,0G"(i^en conservant son orientation en 0,0'jA', ... C'(. Celle nouvelle! figure, jointe à la partie restante des anciennes échelles, équivaut exactement à l'ancien abaque, tout en occupant une place beaucoup plus restreinte. De là l'utilité du fractionnement qui permet, répété autant de fois qu'il est nécessaire, de condenser L'abaque dans un espace aussi restreint qu'on veut.

Il suffît de réfléchir un instant pour s'apercevoir que ce procédé permet de faire tenir l'abaque de toute équation à triple réglure parallèle, à l'intérieur d'un triangle donné.

Il y a lieu de remarquer qu'on est libre, à chaque fractionnement, de prendre arbitrairement deux des nouvelles origines A', et B'r La troisième, C, , doit alors se trouver sur le troisième axe de l'indicateur lorsque les deux premiers ont été amenés respectivement sur A', et B', .

Forme des équations à triple réglure parallèle.

20. Voyons quelle est la forme générale des équations ainsi représentables, c'est-à-dire à triple réglure parallèle.

Chacun des cours d'isoplèthes étant engendré par une droite de direction constante, les équations (It), (lj), (I3) sont ici

y = mx +/i(ce), y — m' x -h ç>i( (3), 7 = i»*3?-H<h(-Y).

Eliminons # et y entre ces équations. Nous avons, pour l'équation en a, (3, y,

(m" — m')fi(a)-h( m — m") cpi (^)-h(m' — m) ^iCy) = ° î

c'est-à-dire, puisque m, m', mn sont des constantes, que la forme cherchée peut s'écrire

Il est tout naturel, pour représenter une telle équation, de poser pour équations (Ij) et (I2)

(Ii) *=/(«),

(ii) r = ?(P)-

Il vient alors pour équation (I3)

(I3) ae-hjr = ty(t).

Les isoplèthes (a) sont des parallèles à Oy, les isoplèthes ( [3) des parallèles à Ox, les isoplèthes (y) des parallèles à la bissectrice de l'angle extérieur des axes Ox et Oy. Nous remplacerons chacun de ces cours d'isoplèthes par des échelles transversales, ainsi qu'il a été expliqué au n° 18. Pour le premier {fi g. i3), nous choisirons

Fis. i3.

naturellement l'axe des x dont la graduation, d'après l'équation (I,), s'obtiendra en inscrivant les cotes o, 1,2,... à l'extrémité des abscisses/^),/(i), /( 2). Pour le deuxième, ce sera l'axe des j' portant les graduations o, 1,2,... aux extrémités des ordonnées <p(o), ^(i), ©(2), Pour le troisième, nous prendrons comme support de l'échelle la bissectrice O^ de l'angle intérieur des axes xOy. Voyons comment s'effectuera la graduation de cette échelle. Si l'isoplèthe (y)

OG la coupe au point G, les coordonnées de celui-ci étant x =y = — ,

l'équation (I3) donne

ou

0C/2 = iKy)

La graduation de l'échelle Oz est ainsi définie.

Nous pourrons d'ailleurs user de la faculté que nous avons de fractionner et de déplacer les échelles, ainsi qu'il a été ditaun0 19.

ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE PARALLÈLE. ABAQUES BEXAGONAUX. 35

En particulier, si une des fondions f (a), <p(P), '\> (y) croît jusqu'à une certaine valeur de la variable pour décroître ensuite, afin d'éviter que l'échelle ne revienne sur elle-même à partir du point de celle-ci correspondant au maximum, on reportera l'échelle sur un support parallèle au premier. Ainsi, sur la fig. i3, on a supposé que la fonction y (a), croissante jusqu'à a : j, décroissait à partir de là.

On pourra aussi prendre sur Ox et Oy, pour les échelles de y. et de fi, des origines autres que O. Il suffira, d'après ce qui a été vu au n° 19, dernier alinéa, que l'origine sur Oz soit telle que les trois origines soient des points eorrespondants, c'est-à-dire des points sur lesquels se placent respectivement et simultanément les trois axes de l'indicateur.

Principe des abaques hexagonaux.

21. M. Lallemand, afin d'avoir sur O^ les valeurs de '}(y) à la même échelle que celles de /(a) et de cp ([3) sur Ox et Oy, a eu la très heureuse idée de prendre les axes Ox, Oy faisant entre eux un angle de 1200. En effet, les axes Ox et Oy continuant à être

Fig. 14.

gradués en segments proportionnels aux valeurs de/(a) et de ç»(p), cherchons quelle sera la graduation de O z. Les équations (I|), (I2) et (I3) sont les mêmes qu'au numéro précédent, les coordonnées étant ici les distances à l'origine O des pieds des perpendiculaires ahaissées du point considéré sur les axes Ox et Oy. L'isoplèthe (y >, ayant pour équation

si elle coupe Oz au point G (fig. i4)> ^es coordonnées de ce point

OC étant x --y = — ■> on a

or

2— = OC = ù(v).

Laxe O^ se trouve donc gradué en segments proportionnels aux valeurs de ^(ï)' l'échelle étant la même que pour les axes Ox et Oy.

On voit que la propriété précédente peut s'énoncer ainsi : La projection d'un segment de droite sur la bissectrice d'un angle de 120" est égale à la somme des projections de ce segment sur les côtés de cet angle.

C'est en réalité cette propriété, d'ailleurs bien facile à démontrer directement, puisqu'elle résulte de l'identité trigonomé trique

cos(cd -+- 6o°) -h cos(6o° — w) = 2 cos6o° cosw = costo,

que M. Lallemand a prise comme point de départ de la théorie de ses abaques.

11 nous a paru préférable, au point de vue d'un exposé d'ensemble, d'adopter la marche précédente, qui a l'avantage de rattacher les abaques du système Lallemand au principe fondamental que nous avons pris comme point de départ et d'où l'on peut considérer que découle la théorie de tous les abaques, sans distinction de genre.

Ici encore nous ferons observer, comme au numéro précédent, que, par application de ce qui a été dit au n° 19, on peut déplacer et fractionner les échelles de façon à donner à l'abaque la disposition la plus avantageuse. C'est même pour ce cas spécial que M. Lallemand a imaginé cet artifice, auquel notre exposé du n° 19 a donné un peu plus de généralité.

Les abaques ainsi construits ont reçu le nom d'abaques hexagonaux, en raison de ce que les échelles d'une part, les axes de l'indicateur de l'autre, sont parallèles aux diagonales d'un hexagone régulier.

22. Il est à peine besoin d'ajouter que, si l'équation proposée a la forme

<Kï) = /(«)?(P)i

11 ramène à la forme requise pour l'application du procède'- en renanties logarithmes des deux membres, ee qui donne

log<|;(Y)= l°g/(a) + Iog{P(P)-

Abaque hexagonal de multiplication et de division.

23. Gomme exemple d'applicalion ('), voici, dans le système de M. Lallemand, l'abaque de multiplication et de division (fig. i5)

Fis. i5.

équivalent à l'abaque Lalanne du n° 12, c'est-à-dire traduisant l'énuation

logy = loga + logp.

(') Les abaques construits par M. Lallemand, dans son système, sont fort nombreux et s'appliquent à des formules d'un usage journalier intéressant principalement le Service du Nivellement général de la France. Ne pouvant, dans le présent exposé de principes, multiplier outre mesure les exemples, nous ne mentionnons qu'un nombre restreint de ces abaques. Le lecteur en trouvera d'autres dans les Ouvrages suivants :

Lallemand, Nivellement de haute précision (Encycl. des Trav. publics).

Lallemand, Annexe II à la Notice sur le Nivellement gênerai de la France

Les échelles a et (3 ont été fractionnées au point coté 3. Les portions conservées de ces échelles étant désignées par la lettre A, leurs prolongements ont été transportés dans les positions désignées par la lettre B, l'échelle B supérieure prolongeant l'échelle A inférieure, et inversement.

Le point de l'échelle y correspondant au point de fractionnement des deux premières échelles, c'est-à-dire le point 9, se trouve ramené dans la position qu'il occupe sur l'échelle BB.

Il suffit de choisir celle-ci a priori, de façon que le point 10 de l'échelle BB coïncide avec le point 1 de l'échelle AA pour que ces deux échelles coïncident dans toute leur étendue, les cotes de la première se déduisant de celles de la seconde au moyen d'une simple multiplication par 10, c'est-à-dire par la seule adjonction d'un zéro. Cela résulte de ce que

log(io x a) = log 10 H- loga.

On peut aussi tracer l'échelle AB pour le cas où l'on accouplerait un point d'une des échelles A avec un point d'une des échelles B.

Échelles centrales additionnelles.

24. Supposons qu'une quantité y soit donnée en fonction de deux autres, a et (3, par une équation de la forme