BINAIRES

37. Il est facile de voir que le principe général utilisé pour la représentation des équations à trois variables ne peut pas être étendu à des équations à un plus grand nombre de variables. Si, en effet, nous introduisons une quatrième variable ô dans l'une des équations (Ii), (L), (I3) du n° 1, par exemple dans la première, nous voyons qu'à chaque valeur de 0 correspond un système d'isoplèthes (a). La superposition de ces divers systèmes d'isoplèthes (a) n'étant généralement pas possible sur un même tableau, il faut renoncer à ce mode de représentation. Nous ferons voir plus loin que ce principe est néanmoins applicable dans certaines circonstances (n° 45). Mais nous allons indiquer auparavant quelques artifices particuliers propres à conduire à la représentation d'équations à plus de trois variables, de types se rencontrant fréquemment dans la pratique.

Abaques hexagonaux à échelles binaires.

38. Le plus fécond de ces artifices est celui des échelles binaires, imaginé par M. Lallemand.

Nous avons vu, au n° 7, que les valeurs de toute fonction de deux variables F(a, (3) pouvaient être obtenues, au moyen de parallèles à une direction fixe, sous forme de segments portés sur un certain axe, à partir d'une origine fixe O. Si la parallèle à la direction fixe menée par le point commun aux isoplèthes (a) el(3) coupe l'axe en question au point A, on a

OA =a = F(a, p).

F(e, s'), nous voyons que nous avons la représentation de l'équation

La fonction du second membre pouvant être, par un simple changement de signe, reportée dans le premier, et le nombre des termes pouvant être, par la répétition du procédé sus-indiqué, pris tel que Ton veut, on peut dire que la méthode en question permet de représenter toute équation dont le premier membre, égalé à o, se décompose en une somme de fonctions ne contenant chacune pas plus de deux variables et que, pour cette raison, on peut appeler des éléments binaires.

Si l'équation est formée par l'égalité à une constante d'un produit d'éléments binaires, elle se ramène au cas précédent par une simple transformation logarithmique.

Généralisation de la multiplication graphique.

41. On a ainsi un champ très vaste d'équations à un nombre quelconque de variables, représentables sur un plan. Mais M. Lallemand a été encore plus loin, grâce à un nouvel artifice dont nous allons maintenant parler et qui lui a permis de représenter toute équation dont chacun des membres se décompose en une somme de produits d' éléments binaires, équation qui ne saurait, par transformation logarithmique, être ramenée au cas précédent.

Accolons à l'axe Ox {fig. 32) une échelle binaire E, du type défini au n° 7. Elle nous donnera sur cet axe, au moyen de parallèles à OjKj les valeurs d'une fonction de deux variables <p(a, (3).

De même, une échelle binaire à radiantes E2, du type défini au n° 8, nous donnera les valeurs d'une autre fonction de deux variables <j;(y, 8) comme coefficients angulaires des droites issues de l'origine et passant par les points de rencontre des isoplèthes (y) et (3). On peut d'ailleurs toujours faire en sorte que le bord gauche de E2 prolonge le bord droit de E{ . S'il n'en était pas ainsi, il suffirait de prendre la figure homo thé tique de E2 par rapport au point O, de façon à satisfaire à cette condition.

Prenons le point qui est à la rencontre de la parallèle à Oy, menée par le point de rencontre des isoplèthes (a) et ((3) de l'échelle E, avec la droite joignant le point O au point de rencontre des iso-