QUELQUES EXEMPLES D'ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES

lorsque

Prenons auquel cas

ce qui montre que la formule est applicable. Celle-ci devient

La grandeur des coefficients fait qu'elle échappe à l'application de l'abaque où nous supposons, par exemple, les axes gradués de — 10 à -|- io (ce qui suffit pour la plupart des cas de la pratique). Mais, si nous posons x = \oxK (ce qui revient à exprimer la hauteur cherchée en décamètres), l'équation devient

Elle rentre alors dans les limites de l'abaque qui donne (à une échelle quintuple de celle de la fig. g) xK = 1,18, et, par suite, a? = iin,,-8o. Si nous avons insisté sur ce point de détail, c'est qu'on a souvent occasion de recourir à des moyens analogues, c'est-à-dire à des changements d'unités pour les quantités soumises au calcul, de façon à ramener les nombres qui les expriment dans les limites de la graduation de l'abaque.

Abaque des murs de soutènement pour un massif de terre profilé suivant son talus naturel.

16. Voici maintenant un exemple inédit d'emploi des isoplèthes circulaires.

(') Dans son Mémoire, ce savant ingénieur dit qu'on doit faire usage de l'une ou l'autre des formules

X3 -f- -jr- x — a -- = o . \ \ -z-

suivant que

Nous avons démontré (Annales des Ponts et Chaussées, p. 443: mars 1891 ) ,. . . , a1 X2 a2 X- __.

que ces conditions pouvaient être remplacées par -^- > -j et ^ < y * I Nous rétablissons ici le sens des inégalités qui est fautif à l'endroit cité].

2b CHAPITRE II.

Supposons qu'un mur en maçonnerie à section rectangulaire

soutienne un massif de terre profilé suivant son talus naturel. Le

rapport K de la base à la hauteur de la section du mur est donné

(voir Résistance des matériaux , de Collignon, 3e édition, p. 669)

par

K = mk,

m étant le coefficient de stabilité qu'on prend généralement entre - et 2, k une quantité déterminée par la formule

k2 -h kp sin cp cos cp — - cos2cp = o,

où p est le rapport du poids du mètre cube de terre à celui du mètre cube de maçonnerie, cp l'angle du talus des terres avec l'horizon.

Cherchons à construire l'abaque de cette dernière équation.

La méthode ordinaire du n° 2 conduirait à une série d'hyperboles. En outre, l'équation, ne pouvant être ramenée au type (E111) (n° 4) des équations à triple réglure, ne saurait être représentée par trois systèmes d'isoplèthes rectilignes.

Nous allons faire voir qu'elle est représentable par deux systèmes d'isoplèthes rectilignes et un d'isoplèthes circulaires.

Posons, en effet,

y =p sincp coscp, x—pcos'2o et éliminons successivement entre ces équations/? et cp ; il vient

(Ii) '^ = tanS?

et

(I2) a?2-hjK2 — px = o.

Si nous prenons ces équations pour équations (I<) et (I2) (n° 1), l'équation (I3), obtenue en portant dans l'équation proposée les valeurs de x et dey tirées de là, qui sont celles écrites ci-dessus, sera

l3) /v2+Ay-^ = o.

On voit que les isoplèthes (cp) et (k), fournies respectivement