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QUELQUES EXEMPLES D*ÉQUAT10NS A TROIS VARrABLES. 29

par les équations (I|) et (I3), sont des droites, les isoplèthes (p) fournies par Téquation (I2), des cercles.

Toutes ces isoplèthes sont extrêmement simples à construire. Pour des valeurs particulières de y, dep et de /r : 1" Tisoplèthe (cp) est la droite issue de l'origine, qui fait avec l'axe des x Tangle tp; 2° l'isoplèthe (p) est le cercle de rayon p touchant Taxe des y à l'origine, dont le centre est, par suite, situé sur Taxe des^; S^Tisoplèthe (k) est la droite coupant Taxe des y au point dont l'ordonnée est — A', et ayant un coefficient angulaire égal à ^•

L'abaque ainsi obtenu (PL IV) se construit très rapidement. On le limite à la portion correspondant aux limites de variation pratique des quantités p (de 0,4 à i) et © (de 20^" à 5o") (* ). A titre d'exemple, pour /? = o, 65, ?p = 4^", on a A' := o, 24.

Nous avons tracé les isoplèthes (<p) en pointillé, parce qu'on peut se dispenser de les tracer sur l'abaque. Si, en effet, on marque sur le cercle extérieur de l'abaque la graduation correspondant à ?f , il suffit de tendre un fil entre l'origine et le point © de cette graduation pour remplacer la droite non tracée. Celle manière de faire est même préférable au point de vue de la précision de l'inlerpolation.

(') La partie utile de Tabaque a été disposée dans le cadre de la PI. IV de fanon que Tisopléthe 9 = ao" soit parallèle au bord inférieur de ce cadre. L*axe des Xy qui passe d'ailleurs par le point de convergence des isoplèthes (9), ferait donc un angle de ao» avec le bord inférieur du cadre, en dessous de ce bord.

iV> CllAl*fTRK in.

17. Les abaques à trois cours d'isoplèthes, droites ou courbes, présentent à l'œil un certain enchevêtrement qui peut, à la longue, un peu fatiguer la vue, au milieu duquel, en tout cas, Tinterpolation à Testime se fait moins aisément que pour une graduation simplement marquée sur un support droit ou courbe.

Il ne faut pas s'exagérer cet inconvénient. Il est bon toutefois de chercher à l'écarter chaque fois que faire se peut. Nous allons voir comment M. Lallemand y est arrivé lorsque Téquation est à Iriple réglure parallèle.

Échelles linéaires. Indicateur transparent.

18. Considérons les trois cours d'isoplèthes rectilignes et parallèles d'une telle équation {Ji.g, lo). Coupons respectivement ces trois systèmes de parallèles par trois droites quelconques et inscrivons la cote de chaque isoplèthe à côté du point où elle rencontre la transversale correspondante. Nous obtenons ainsi ce qu'on appelle des échelles linéaires. Cela fait, effaçons les trois systèmes de parallèles en ne conservant que les échelles linéaires obtenues sur les trois transversales. Si nous supposons tracés sur un transparent trois axes parallèles respectivement aux directions des trois cours d'isoplèthes effacés, il suffira de déplacer ce transparent sur Tabaque en lui conservant toujours la même orientation pour qu'il puisse remplacer les isoplèthes, en permettant d'ailleurs d'opérer les interpolations avec une plus grande précision.

Les points des trois échelles qui se trouvent simultanément sous les trois axes du transparent sont dits correspondants.

É^Ql'ATIONS A TRIPLE RÉGLURB PARALLÈLE. ABAQUES HBXAGONACX. 3l

M. Lallemand, à qui est d il cet artifice, a donné à un tel transparent le nom d^ indicateur. Il suffit, pour assurer l'invariabilité

Fig. 10.

de son orientation, de conserver sur certaines parties de Tabaque des éléments de parallèles à une des directions d'isoplèlhes, à des

Fig. II.

distances telles les unes des autres que Tœil apprécie sans bési talion le parallélisme rigoureux dans leur intervalle. Ce dispositif

bien simple permet de maintenir intacte Torientation d'un des axes de l'indicateur et, par suite, celle des deux autres, hdijig, 1 1 , où Ton a pointillé les axes de l'indicateur, pour une de ses positions, montre Taspect général de Tabaque ainsi obtenu.

Déplacement et fractionnement des échelles.

19. M. Lallemand a fait remarquer qu'un tel abaque présenle la précieuse propriété du fractionnement. Voici en quoi consiste celle-ci :

Observons d'abord que les échelles linéaires définies au numéro précédent peuvent être déplacées, en conservant leur direction, suivant le sens de l'axe correspondant de l'indicateur. Celte opération peut même n'être pratiquée que pour une de leurs parties seulement.

Ainsi, soient {Jig. 12) AA", BB", GC bs échelles données, les

Fig. 12.

points A, B, C, d'une part, A", B'', G", de l'autre, étant des points correspondants. O et O" sont les positions correspondantes du centre de l'indicateur.

Prenons trois points correspondants intermédiaires A', B', G', pour lesquels le centre de l'indicateur est en O'. Nous pouvons reporter les fragments d'échelles k' k\ B'B", G'G"en A;A;, B^B;;,

CJjCJ, puis déplacer toute la figure O'O^AJ, A* BJ,BJCJ,C* en consentant son orientation en O', O* A', ... C'^ . Cette nouvelle figure, jointe à la partie restante des anciennes échelles, équivaut exactement à l'ancien abaque, tout en occupant une place beaucoup plus restreinte. De là Futilité du fractionnement qui permet, répété autant de fois qu'il est nécessaire, de condenser Tabaque dans un espace aussi restreint qu'on veut.

Il suffit de réfléchir un instant pour s'apercevoir que ce procédé permet de faire tenir l'abaque de toute équation à triple réglure parallèle, à Fintérieur d'un triangle donné.

Il y a lieu de remarquer qu'on est libre, à chaque fractionnement, de prendre arbitrairement deux des nouvelles origines A', et B'^. La troisième, C^, doit alors se trouver sur le troisième axe do l'indicateur lorsque les deux premiers ont été amenés respectivement sur A'^ et B'^.

Forme des équations à triple réglure parallèle.

20. Voyons quelle est la forme générale des équations ainsi rcprésentables, c'est-à-dire à triple réglure parallèle.

Chacun des cours d'isoplèthes étant engendré par une droite de direction constante, les équations (I|), (I-i)? (I3) sont ici

y=zmx -f-/i(a), jr^. m'x -T-o,(p), jr r-r m'a7-T-4;|(Y).

Éliminons 0? et y entre ces équations. Nous avons, pour l'équation en a, p, y?

c'est-à-dire, puisque m, m', m" sont des constantes, que la forme cherchée peut s'écrire

Il est tout naturel, pour représenter une telle équation, de poser pour équations (I|) et (I2)