T) = /(«)?(PX
ÉQUATION!! A TRIPLE HËGLVRE PARALLELE. ABAQVES HEXAGONAUX. 87
on l'amène à la forme requise pour l'application du procédi'' en prenanl les logarilhines des deux membres, ce <|ui donne
loe4.{Y)=log/(a) + log?(p).
Abaque hexagonal de multiplication et de division-
â3. Comme exemple d'application ( ■ ), voici , dans te système de M. ^allemand, l'abaque de multiplication et de division {fig- i5)
" i2, c'est-à-dire traduisant IV
(■) Les abaques construits par H. Lallemand, dans son système, sont fort noi breux el s'appliquent à des formules d'un usage journalier intéressant princîp IcDient le Service du Nivellemeat général de la France. Ne pouvant, dans présent exposé de principes, multiplier outre mesure les exemples, nous ne me tionnons qu'un nombre restreint de ces abaques. Le lecteur en trouvera d'auli
Lalleuand, Aivellement de haute précâion {Eiicycl. des Trav. puàlici). Lallesiand, Annexe II à la Koiice sur le Nivetlemertl général de ta Fran
38 CHAPITRE m.
Les échelles a et ^ oat été fractionnées au point coté 3. Les portions conservées de ces échelles étant désignées par la lettre Â, leurs prolongements ont été transportés dans les positions désignées par la lettre B, l'échelle B supérieure prolongeant l'échelle A inférieure, et inversement.
Le point de l'échelle y correspondant au point de fractionnement des deux premières échelles, c'est-à-dire le point 9, se trouve ramené dans la position qu'il occupe sur l'échelle BB.
Il sufOt de choisir celle-ci a priori, de façon que le point 10 de l'échelle BB coïncide avec le point i de l'échelle A A. pour que ces deux échelles coïncident dans toute leur étendue, les cotes de la première se déduisant de celles de la seconde au moyen d'une simple multiplication par 10, c'est-à-dire par la seule adjonction d'un zéro. Cela résulte de ce que
]og(io X a)= logio -f-loga.
On peut aussi tracer l'échelle AB pour le cas où l'on accouplerait un point d'une des échelles A avec un point d'une des échelles B.
Échelles centrales additionnelles.
24. Supposons qu'une quantité y soit donnée en fonction de deux autres, a et ^, par une équation de la forme
le terme F (a, ^) ne devant d'ailleurs figurer dans le second membre que lorsque a et ^ sont compris entre certaines limites, et étant dit, pour cette raison, terme complémentaire.
Décomposons alors la valeur dey en deux parties, y' et y^, telles que
( Notices publiées par le Ministère des Travaux publics, à l'occasion de l'Exposition uniyenelle de 1889. Volume : Mines, Documents divers, p. 3o8).
Collet, Traité théorique et pratique de la régulation et de la compensa^ tion des compas, Paris, Challamel.
Ajoutons que, pour la construction de ces abaques, M. Lallemand a été très habilement secondé par les dessinateurs de son service, notamment par MxM. Prévôt et Renard.
Nous pourrons construire séparément les abaques de ces deux équations. Il nous suffira, dès lors, les valeurs de y' et de y" nous étant fournies par ceux-ci, de faire la somme des résultats ainsi obtenus.
La première de ces équations, qu'on peut écrire
logY'= log/(a) -H log <p( p),
étant à triple réglure parallèle, donnera lieu à un abaque hexagonal, c'est-à-dire (les axes étant inclinés à 120° l'an sur l'autre, et les coordonnées étant supposées être les distances à l'origine des pieds des perpendiculaires abaissées des points du plan sur les axes) qu'on prendra, pour la représenter, comme isoplèthes (I| ) et (I2),
Conservons les mêmes droites qui, d'ailleurs, n'ont pas besoin d'être construites, grâce à l'artifice de l'indicateur transparent (n'* 18), comme isoplèthes (I<) et (I2) de la seconde équation. Les troisièmes isoplèthes (y^) seront généralement, dans ce cas, non plus des droites parallèles comme pour y', mais des courbes dont l'équation, en supposant que/< et ©< soient les fonctions inverses des fonctions /et cp, peut s'écrire
Y'=F[/i(io*),(p,(ior)].
Supposons ces isoplèthes construites dans la région E correspondant aux valeurs comprises entre les limites pour lesquelles y' doit s'ajouler à y^, et superposons cet abaque à celui de y', en faisant coïncider, d'une part, les échelles (a) , de l'autre les échelles (^) de ces abaques, qui sont les mêmes par hypothèse. Sur l'abaque double ainsi obtenu {^fig* 16), les valeurs de y' sont données par la troisième échelle de l'abaque hexagonal primitivement construit, celles de V^ par les cotes des isoplèthes tracées en second lieu.
Les deux premiers axes de l'indicateur transparent passant dès lors par les points (a) et (p) des deux premières échelles, le troisième passe par le point (y^) de la troisième. Si, en outre, le centre de l'indicateur tombe dans la région E ci-dessus définie, la cote de Tisoplèthe sur laquelle il se trouve fait connaître y*'. On n'a plus qu'à effectuer la somme y' -f- y".
4o CHAPITRE lU.
Ainsi, dans l'exemple représenté en pointillé sur \sl Jig. j(),
pour
on a
et par suite
L'aire E, avec ses isoplèthes, a reçu de M. Lallemand, à qui est
Fig. i6.
dû cet artifice, le nom d'échelle centrale additionnelle, nom qui se justifie par ce fait que la lecture se fait sur cette échelle au moyen du centre de l'indicateur.
Ainsi, d'une part, on est averti des cas où il y a lieu de tenir compte du terme complémentaire, par cela seul que le centre de l'indicateur tombe à l'intérieur de l'échelle centrale E, ci la valeur même de ce terme complémentaire est fournie parla cote de Tisoplèthe sur laquelle se trouve le centre.
ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE PARALLÈLE. ARAQIES HEXAGONAUX. 4I
Abaques de remblai et de déblai.
25. A titre d'application de ce qui précède, nous ferons connaître les abaques construits par M. Lallemand pour le calcul des profils de remblai et de déblai.
1° Remblai, — On dit qu'un demi-profil est en remblai lorsque
Fig. 17.
.Ml !• •
Taréle extérieure de ce demi-profil est en remblai {Jig* 17 e.t 18). Si nous désignons par
./; la déclivité transversale (tangente trigonométrique de l'angle o) d'inclinaison sur Thorizon) du terrain naturel, prise avec \v signe -\- quand le terrain s'élève en rampe à partir de l'axe dans le demi-profil considéré {Jig* '^.o et 21), et avec le signe — quand il est en pente (*) {Jlg- 17 et 18);
y la cote sur l'axe OK prise avec le signe -h quand elle est en déblai, avec le signe — quand elle est en remblai (^);
h la demi-largeur OC de la plate-forme ;
(') Cette convention revient à prendre toujours comme sens positif celui de Taxe vers l'arête extérieure du demi-profil considéré, soit celui de gauche à droite pour les demi-profils à droite de Taxe, celui de droite à gauche pour les demi-profils à gauche.
(') Cette convention revient à prendre toujours Torigine des cotes au niveau de la plate-forme.
/ et h la largeur et la profondeur du fossé dans les parties en
dëbla! ; tr le talus des remblais (tangente trigonomé trique de Tinclinai-
son Or de la ligne de plus grande pente sur Thorizon) ; tu le talus des déblais (tangente de 0^;);
la formule qui donne Taire R du remblai est
6«^ {btr-yy ** "^ — ~ == "t; — r
Cette formule est applicable :
lorsque a? > o, pour ^< — A — ib-^l Jx,
lorsque ir < o, pour^' < — 6r.
Dans cette dernière hypothèse, si >'^o, on est dans un cas
Fig. iS.
mixte {Jig^ i8); il y a lien d^ajouter le terme complémentaire ^ au second membre de Téquation (p)^ qui devient alors
Kf^
b^tr {btr—Y\^
a(/r — JT) ax
\s% quantité ^— fait d'ailleurs cannaitre Taire de la partie OKM
en déblai.
Celle dernière formule est du type indiqué au n*" 24. Nous la re-
présenterons donc au moyen d'un abaque hexagonal à échelle centrale additionnelle. Posant, conformément à ce qui a été dit au numéro précédent, R:=R'-f-R", nous construirons d'abord Tabaque hexagonal de l'équation
log^R'-4--i^')= 2l0g(6^— j)-l0g2(/;.-hir).
Les isoplèthes (I|) et (I2) de cette équation seront
(ïi) X = — Iog2(^4-a:),
(I,) Y = i\og(blr—y).
Voyons à quelles lignes sera limitée la partie utile de cet abaque. Pour cela, cherchons sur quelles lignes ont lieu les conditions limites écrites plus haut.
D'abord, pour ^ <; o, c'est-à-dire pour x compris entre o et la plus petite valeur — Xm que puisse atteindre la pente du terrain naturel, c'est-à-dire pour une position de Tisoplèthe (Ij) située entre les perpendiculaires à l'échelle des x menées par les points :r r- o et x = — Xmt la condition limite est
y = — bx.
Eliminant x et y entre cette équation et les équations (I1) et (I2), on a, pour le lieu le long duquel est remplie la condition limite, l'équation
ou
ou encore
- = — X-t- log-, 2 ''2
équation d'une droite parallèle à l'axe des y (*)'
En outre, cette droite passe par le point correspondant à x = o,
(') Il faut se rappeler, les axes OX et OY faisant d'ailleurs entre eux un angle de 130"*, que les coordonnées X et Y sont ici les distances de Forigine aux pieds des perpendiculaires abaissées du point donné sur les axes. Dès lors, X, et Y,
y = o, car, pour ce point, on a, J*après • I| < et i KV
valeurs qui âatisfoot, comme on le vérifie immédia temeDt^ à TécpiatioD précédente.
.Vinsi donc, pour les \alears de x comprises entre o et — x^* l*(Lbai|ue est limité à la droite OS ' J^g- iQ -
^Lil:ll *îia:i'. j>«*ur x "~- «v c e<-a--vi—': ;» ar i i«; po:*it.on dt* l'i M»'«.ae F siturre enlre le^ perpeu«-i:cu a-^r^ x \ rrci»?!^*.' de>
^liat.
menées par les points x -= o et x -~. Xmy 'a condition limite est
l*our avoir le lieu correspondant, éliminons x et y entre cette équation et les équations (I^) et (I2). Il vient
bt ou
10* = - - (b \~ l H- A — lt,.-\ -' .
C^ette équation représentera une droite lorsqu*on aura
h~-ltr-\- ~r =^, ht
Il ~ t,.'^ t/
Son équation sera alors
C'est encore l'équation d'une parallèle TV à Taxe des j^, le segment OT appartenant à la perpendiculaire à Taxe des x, correspondant à la valeur x = o.
Dans le cas général, la condition ci-dessus n'étant pas remplie, la limite de Tabaque est courbe pour cette partie; mais, en pratique, fait très digne de remarque, cette courbe, dans sa portion mile, se confond très sensiblement avec la droite TV.
Passons au terme complémentaire
jVous avons dit qu'il s'ajoute à R', lorsque, x étant négatif,^ est positif, c'est-à-dire lorsque le point de rencontre des isoplethes (x) et (y) (centre de l'indicateur transparent) tombe dans le triangle OAS, OA étant la perpendiculaire élevée à l'axe desj* par le point y =: o.
(Construisons donc, dans cette partie du plan, le troisième système d'isoplèthes de l'équation ci-dessus, en conservant pour les
l ht 1/1
deux premiers {x) et (^), ceux que définissent les équations (J| ) et (la) ci-dessus, ainsi qu'il a été dit au n° 24.
Ces courbes sont très aisées à construire, une fois les axes des X et des Y gradués au moyen des équations (I|) et (Ij). Donnant, en effet, à R'^ une valeur fixe dans Téquation précédente, on n'a qu'à calculer, au moyen de celle-ci, la valeur dey correspondant à chaque valeur de x, à marquer sur le plan le point ainsi défini et à joindre ensuite ces divers points par une courbe qui aura pour cote la valeur choisie pour R'^. L'équalion de celte courbe sera
En résumé, l'abaque étant ainsi construit {PL 11)^ on s'en servira de la manière suivante :
Deux des axes de l'indicateur passant respectivement par les points (x) et (j') des échelles correspondantes, le troisième axe donne sur la troisième échelle la valeur de R'. Si le centre de l'indicateur est extérieur à l'échelle centrale, on a R = R'. S'il tombe à l'intérieur de celte échelle, la cote de l'isoplèthe sur laquelle il se trouve fait connaître R", et l'on a R = R'-h R''. Dans ce dernier cas, il y a déblai sur l'axe et l'aire du déblai est précisément R".
Si le centre de l'abaque tombe en dehors de la ligne VTOS, c'est-à-dire dans la région dont le bord est marqué par des hachures, l'abaque ne s'applique plus; on est dans le cas de la formule des déblais. Nous allons indiquer maintenant l'abaque de celle-ci.
2® Déblai, — Les notations étant les mêmes que précédemment la formule est ici
Celle formule est applicable :
lorsque x < o, pour y^ — bx^
lorsque -r > o, pour y> — h — (b — l — t")-'*-
Equations a triplb hëgluhe PAKAixfeLE. abaques bexagonaix. 4? Dans celte dernière hypothèse, si y<.o, on est dans un cas mixte {Jig- 2i);il j a lieu d'ajouter le terme — au second membre de l'équalion (S), qui devient alors
La quantité'^ fait d'ailleurs connaître l'aire de la partie OKM en remblai.
L'équation (S'), comme (p'), est représenlable au moyen d'un abaque hexagonal à échelle centrale additionnelle, l'abaque hexagonal étant construit pour l'équation
i„g[D'-(;-£);,-<ii^] = ,ios[(i + /),,+7]-iog»(r,,-,i,
et l'échelle centrale pour l'équation
Les isoplèthes (I|) et (la) seront d'ailleurs, pour Tune comme pour l'autre de ces équalious
(I,) Y = 'ilog[(^^-4-/)/rfH-j^].
Les explications de détail étant, pour le fond, les mêmes dans ce cas que dans le précédent, nous y glisserons plus rapidement. Pour X <C o, Tabaque est limité à la ligne pour laquelle
ligne dout l'équation s'obtient en éliminaritx et j'entre celte dernière et les équations (L ) et (Ij) ci-dessus. Il vient ainsi
Cette courbe, dans sa portion utile, diffère insensiblement en pratique d'une droite parallèle à Taxe des >'. Elle passe d'ailleurs par le point correspondant ii x = o^ y = o, car pour ce point
Quant à la partie de l'abaque correspondant à j: >> o, elle est limitée à la ligne pour laquelle
dont l'équation est
,o2 — (6-h/)^/ = -/i— ("^-t-/-- TjUf- ^ )
on
\ il I f'\'^-'' 10' - (/>-+-/ — — )
(»u encore
C'est une droite parallèle à l'axe des y. Quant à l'échelle centrale qui correspond, pour :r >• o, aux valeurs de j^ >> o, elle est comprise entre la droite qui vient d'être tracée et l'isoplèlhe y=o.
Les isoplèthes (D'') tracées sur cette échelle centrale, obtenues
ÉQUATIONS A TBIPLB RÉ6LURB PAKALLÈLE. ABAQUES HEXAGONAUX. 49
comme les îsoplèthes (R'^) du cas précédent, ont pour équation
iy=L2l=
(b-\-l)ta
2/rf — lO-^
L'emploi de l'abaque {PL III) ne diffère pas de celui du cas précédent.
Deux des axes de l'indicateur passant respectivement par les points (x) et (y) des échelles correspondantes, le troisième axe donne sur la troisième échelle la valeur de D'. Si le centre de l'indicateur est extérieur à l'échelle centrale, on a D = D'. S'il tombe à l'intérieur de cette échelle, la cote de Tisoplèthe sur laquelle il se trouve fait connaître D'', et on a D = D'4- D". Dans ce dernier cs^s, il y a remblai sur l'axe, et l'aire du remblai est précisément D''^.
Si le centre de l'abaque tombe en dehors des limites ci-dessus définies, c'est-à-dire dans la région dont le bord est marqué par des hachures, l'abaque ne s'applique plus : on est dans le cas de la formule des remblais.
Ainsi donc, x el y étant donnés pour un certain demi-profil, on n'a pas à s'inquiéter de savoir si l'on est en déblai ou en remblai, dans un cas normal ou dans un cas mixte.
Avec ces valeurs de a: et de jk on entre dans l'un ou l'autre des deux abaques, dans celui des remblais, par exemple. Si le centre de l'indicateur tombe dans la partie utile de cet abaque, c'est qu'on est bien en remblai; sinon (c'est-à-dire s'il tombe dans la région marquée par les hachures) c'est qu'on est en déblai, et on se transporte dans l'autre abaque. Quant aux cas mixtes, on en est averti par le fait que le centre de l'indicateur tombe à l'intérieur de l'échelle centrale.
Les abaques des PL II et ///montrent l'application des règles précédentes à un projet de route établi avec les éléments ci-après :
6 = 5"", / = i'",5o, A = o™,5o, <rf = i, '' = 1*
En outre, x est supposé varier de — o,5 à + o, 5 et y de — 20°* (cote sur Taxe en^emblai) à -f- 20™ (cote sur l'axe en déblai).
L'échelle y de Tabaque des remblais {PL II) a. été fractionnée (n® 19) au point^ = — 4» H s'en est suivi pour IV une seconde
5o CHAPITRE III. — ÊQUATIOKS A TRIPLE RÉGLURE PARALLÈLE, ETC.
échelle correspondante. On a souligné la graduation des deux échelles supplémentaires pour distinguer celles-ci des échelles primitives.
En outre, afin de rendre impossible toute erreur relative au signe de x et de j^, on a, pour x^ distingué l'échelle des pentes de celle des rampes; pour^, celle des cotes en remblai sur Taxe de celle des cotes en déblai.
Exemple d'application (indiqué en pointillé sur la PI. II) : Le terrain naturel a une pente de o, 4« La cote sur l'axe est de o,po en déblai.
Vabaque de remblai donne
R'=:2,7, ir=i.
11 y a donc i™*ï de déblai sur l'axe et 3"*ï,7 de remblai.
ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE QUELCONQUE, ETC. 5l
ISOPLÈTHES.
26. LWlifice des abaques hexagonaux n*esl applicable qu'aux équations à triple Téglave parallèle» Les applications en sont, il est vrai, extrêmement nombreuses; il n'y en a pas moins un intérêt sérieux à indiquer le principe suivant qui, dérivant d'ailleurs d'un tout autre ordre d'idées, permet de remplacer les systèmes d'isoptèthes par de simples échelles (remplacement dont les avantage ont été signalés au n° 17), non seulement pour les équations à triple réglure parallèle, mais pour celles à triple réglure quelconque.
Disons tout de suite que, bien que ce nouveau principe soit plus général, celui de M. Lallemand devra ordinairement lui être préféré dans le cas de la triple réglure parallèle, à cause de la possibilité si précieuse du fractionnement des abaques qui n'existe qu'avec ce dernier.
C'est assez d'ailleurs, pour affirmer l'utilité de la méthode des points isoplèthes, du champ des équations à triple réglure quelconque.
Principe de la méthode des points isoplèthes ( < ).
27. Reportons-nous donc au n° 4. Nous avons vu là que, lorsque l'équation revêt la forme (E'"), dont (E'*) et (E") ne sont que des cas particuliers, cette équation est représentable par trois cours
(*) C'est en i884 que nous avons publié, pour la première fois, à propos d'un exemple particulier, le principe de la méthode des points isoplèthes {Annales des Ponts et C/iaussées, 2* sem., p. 53i). Nous l'avons depuis énoncé dans toute sa généralité {Génie civil j t. XVII, p. 343).
52 CHAPITRE lY.
dMsoplèthes rectilignes. Trois de ces isoplèthes, prises Tune dans chaque système, se correspondent lorsqu'elles se coupent en un même point.
Construisons alors une figure corrélative de la précédente : à chaque droite de celle-ci correspondra un point de la nouvelle, et réciproquement ; ^ds suite, à trois droites de la première passant en un même point, correspondront trois points de la nouvelle, alignés sur une même droite.
Ainsi, sur le nouvel abaque, les isoplèthes au lieu d'être des droites tangentes à trois certaines courbes seront des points distribués sur trois autres courbes, et, à un système de valeurs de a, ^, Y satisfaisant à Téquation donnée, correspondront trois points pris respectivement sur ces courbes et alignés sur une même droite.
Afin de rendre cette idée de principe véritablement pratique, nous avons dû rechercher un mode de corrélation aussi simple que possible. Nous allons indiquer celui auquel nous nous sommes arrêté. Auparavant, nous rappellerons en quelques mots la définition des coordonnées parallèles de droites.
Défliiition des coordonnées parallèles de droites.
^. S.U et Bp étant deux axes parallèles quelconques, portant chacun une origine A et B {fig. 22), si une droite coupe respec-
itvement ces axes aux points M et N, les segments AM = m et
BN = i^, pris avec leurs signes, sont dits les coordonnées parallèles de la droite MN(*).
Si l'on donne entre u et v une certaine relation, la droite MN enveloppe une certaine courbe dont cette relation est dite l'équation. Si cette équation est du premier degré
oa -h ^v -4- c = o,
la droite MN pivote autour d'un point P dont les coordonnées Op et/>P rapportées aux axes Ox et Oy sont, en prenant AO = OB pour unité, ,. b — a — c
Si Us et Vi sont les segments AH et BR, détachés par BP et AP sur les axes Aw et Br, l'équation du point P peut s'écrire
(II) - - -4 = i;
on a aussi
La condition pour que trois points soient en ligne droite, exprimée au moyen des coefficients de leurs équations, est évidemment la même que celle qui exprime, dans le système cartésien, que trois droites sont concourantes.
Dès lors, le mode de corrélation que nous choisirons se bornera simplement à ceci : changer les coordonnées cartésiennes de points en coordonnées parallèles de droites.
Ajoutons qu'à moins de circonstance particulière, nous supposerons toujours le système cartésien rectangulaire, et, de même, dans lé système parallèle, les axes A^ et Bi^ perpendiculaires à AB.
( ' ) Nous avons donné une théorie de ce système de coordonnées dans la brochure : Coordonnées parallèles et axiales (Paris, Gauthier-Villars; i885). Nous en avons depuis publié quelques nouvelles applications dans les Nouvelles Annales de Mathématiques {p. 49^, 1387; p. 563, 1889; p. 44^ et 471; 1890) et dans le Bulletin de la Société mathématique de France (p. 108; 1890).
Une théorie de ces coordon;iées a également été donnée en Allemagne par le D' Karl Schwering, simultanément avec la nôtre.
Transformation des abaques à droites isoplèthes en abaques
à points isoplèthes.
29. Rien de plus simple, lorsqu^on prend un abaque à Irois systèmes de droites isoplèthes, que de construire Tabaque corrélatif ù trois systèmes de points isoplèthes.
Il suffira de prendre les coordonnées
(j- = a, ^' = ^) et {x = a',y^b')
de deux points appartenant à chacune des droites du premier abaque. Le point correspondant sera celui où se rencontrent les droites dont les coordonnées, dans le système parallèle choisi, seront
{H — a^ V — b) et {u = a\ V — b' ). •
Soit, par exemple, la droite PQ {fig* 23).
Au point P(x r-^, y -r-z o) correspond la droite BM(w =/>, <' = o); au point Q(x = o, y = qr), la droite AN(w m o, r= q). Donc le point C où se croisent BM et AN est corrélatif de la droite PQ qui joint les points P et Q.
Abaque de l'équation trinôme du troisième degré.
