X^-^ IX

Joignant par une droite le point 2 de l'axe des p au point — 6 de l'axe des q^ nous obtenons sur la courbe le point i,4^ qui fait connaître la racine cherchée (*).

(*) Cette valeur a été obtenue, en réalité, sur un abaque dont la Jig. 24 nVst que la réduction au 7.

Pour n'avoir pas à tracer de ligne sur l'abaque, il suffira de faire usage d'un transparent sur lequel sera marqué un trait rectiligne ou, mieux encore, d'un fil ou d'un crin qu'on tendra entre les points à joindre par une droite (*).

31 . Il est bien évident que l'emploi des coordonnées parallèles ne servira pas seulement à transformer des abaques déjà construits au moyen des coordonnées cartésiennes.

Une équation à triple réglure étant donnée, on pourra, par l'application directe des coordonnées parallèles, obtenir immédiatement l'abaque à points isoplèthes correspondant.

Nous allons en prendre un exemple, qui nous fournira l'occasion de plusieurs remarques utiles.

Abaque du fruit intérieur du mur de soutènement d'une terrasse horizontale.

32. Supposons qu'on ait calculé le profil rectangulaire ABCD du mur de soutènement d'une terrasse horizontale et qu'on veuille

rig. 2j.

lui substituer un profil de môme résistance à fruit intérieur MBCN

(') Ce dernier procédé a, sur le précédent, au point de vue pratique, une incontestable supériorité qui tient à ceci : l'axe du transparent ayant été mis d'abord sur l'un des deux points à joindre, lorsqu'on l'amènera sur l'autre, on fera généralement varier un peu sa position aux environs du premier. II faudra l'y ramener par un nouveau petit déplacement; de là quelques tâtonnements que l'emploi du fil permet d'éviter. En effet, le fil étant posé sur l'un des deux points, on l'y maintient avec l'ongle, tandis qu'on amène l'autre extrémité sur le second point. Il n'y a, de cette façon, aucune hésitation dans la lecture.

Soit (Jig. a5)

p le rapport du poids de i"^ de terre à celui de i"*^ de maçonnerie,

, BM , AP

On se donne /; p est connu; h s*en déduit par la formule

(IH- l)h>-' l{\-\-p)h ^ ^— = o(»).

Cette équation est du type (E*') (n** 4). Posons donc, en employant les coordonnées parallèles de droites u et t^, au lieu des coordonnées de points x et^,

Éliminant successivement/? et / entre ces deux équations, on a pour les équations (I|) et (I2) des isoplèthes (/) et (/>)

(lî) fS (/? -hi)-i- a(a/?-i-i) - (/?-h i)(->./?-i-i)= o.

Quant à Téquation (Is) (qui résulte de l'élimination de / et de p entre ces deux équations, ou les deux précédentes, et Téquation donnée), elle est ici

hii-\-v — A*= 0.

Pratiquement,

/ varie entre o,5 et i,

p » 0,4 et j,

h 1» 0,7 et I.

11 suHit donc, entre ces limites, de faire varier l, p el h respectivement dans les équations (Ii), (I2) et (Is), en faisant croître leurs valeurs, par exemple, de o,o5 en o,o5, et de marquer les points correspondants, l'abaque se trouve ainsi construit.

(') Massau, loc, cit., n* 298. L'épaisseur du mur à section rectangulaire est

donnée par e = tang ^i/ ~-^* ? étant l'angle du talus naturel des terres, m le

coefficient de stabilité qu'on se donne. Cette formule est facile à traduire eu abaque hexagonal.

5K CBAffTBE IT.

Poor la détenninadon des points, nous ponrons noos servir de leurs coordonnées cartésiennes rapportées, O étant le milieu de AB, H OB et à la perpendiculaire en O à OB.

D*après ce que nous avons tu an n* 28. ces coordonnées sont

. AB , ees, SI — esl a

pris pour unité, par

poar le poîot ( / k

xi — 1 ■ 5 / -2 1

poar le poÎDt kp »

poar le point y h >

Rendons-nous compte de la nature des courbes sur lesquelles sont distribués ces divers points en éliminant entre les eit pressions de leurs coordonnées les |)aramètres arbitraires qu'elles renferment.

Ainsi, Félimination de /donne pour lieu des points i /i

I>e uiéme. on trouve pour lien des points ip)

pour lieu des points (/i )

tr = — — ; I - 7-r

1 — JT

Circonstance curieuse, le lieu des points \l) et le lieu des points (p) se confondent en une seule courbe, Ffarperbole H' i^fig' 26 ). Ce fait nous amène à cette remarque que deux courbes dont le Iracé se confond, qui, au point de vue géométrique^ n*en l'ont qu'une seule, doivent, au point de vue des abaques, être considérées comme distinctes lorsqu'elles portent des graduations flijférenles. La disti action enire ces graduations pourra se faire (*n inscrivant les cotes de l'une d'elles d'un des côtés de la courbe, les cotes de la seconde, de l'autre. Au reste, et c*est ici le cas, il arrivera parfois que la portion de la courbe, support commun des deux graduations, répondant à l'amplitude de variation d'une des quantités correspondantes, soit tout à fait extérieure à la portion

de la même courbe répondant à Tamplitude de variation de l'autre quantité. En d'autres termes, les échelles relatives à ces deux quantités seront supportées par deux arcs entièrement séparés d'une même courbe. Elles sont alors aussi distinctes que si elles étaient portées sur deux courbes différentes.

Fig. a6.

C'est, nous le répétons, le cas pour la formule actuelle. Nous avons indiqué en trait fort, sur \^ fig, 26, les arcs de courbe sur lesquels se trouvent les graduations répondant aux valeurs pratiquement possibles de /, p et /i.

Application du principe de l'homographie.

33. C'est par une application du principe de dualité que nous avons transformé les abaques à droites isoplèthes en abaques à points isoplèthes. Nous allons maintenant faire observer qu'on peut également tirer parti, dans la construction des abaques, d'un autre principe généralement considéré comme d'un intérêt purement théorique. Nous voulons parler de celui de V homographie.

Ce principe consiste à transformer une figure en substituant aux

6o CHAPITRE lY.

coordonnées x et y^ les coordonnées xf el y définies par des expressions de la forme

dx -t- ey -+-/ "^ dx •+- ey -+-/

Une telle transformation fait correspondre à des points en ligne droite, d'autres points en ligne droite. Elle sera, par suite, applicable aux abaques à points isoplèthes et permettra, dans beaucoup de caSy dMntroduire chez ceux-ci d'utiles modifications.

34. Prenons comme exemple Tabaque du n° 32. Puisque le point coté h a pour abscisse x = v' on a

on voit donc qu'une transformation homographique pour laquelle on aura

donnera un abaque où le point coté h aura pour abscisse x'= A, et, par suite, où les valeurs de l'inconnue seront données en vraie grandeur (à l'échelle de la figure) parles abscisses des points (h). Opérons donc la transformation définie par les formules