Il nous sudfira d^en choisir deux à titre d'exemple
I** Abaque des intérêts composés, — La formule des intérêts composés est
A = a(n- /•)«, dans laquelle
a désigne le capital placé ;
/• le taux du placement;
n la durée du placement;
A le capital produit à la fin de n années.
Celle formule peut s'écrire
iog A = lôga -f- n log(i -+- r).
On voit qu'elle est, d'après ce qui a été dit au paragraphe précédent, représentable par un abaque hexagonal {PL F), comprenant : une échelle linéaire pour le terme logA, une autre pour le terme loga, et une échelle binaire à parallèles pour le terme /ilog(H-r).
Cette échelle binaire (n** 7), qui fournira les valeurs de /ilog(i-f-r) sur le troisième axe de l'abaque hexagonal, pris pour axe des x de celle échelle binaire, par des parallèles à l'axe des j^ (qui ne seront autres que les positions successives de l'index
correspondant de rindlcateur) se composera des isoplèthes
^ = log(n-r), X = ny.
Il est à noter que, dans le champ de variation de la variable r, de 0,020 à 0,06, les accroissements de log(i + r) sont sensiblement proportionnels à ceux de r.
Pour nous en rendre compte, calculons, au moyen d'une interpolation par parties proportionnelles, un des logarithmes intermédiaires, par exemple celui qui correspond à r= o,o4 et qui, se trouvant vers le milieu de Tintervalle considéré, donnera à peu près lieu à Terreur la plus forte; nous aurons donc
log ï ,04 — log ï ,025 __ ï ,04 — 1 ,025 log 1 ,06 — log 1 ,025 ~~ 1 ,06 — I ,oa5 '
d'où
i5 log 1,04 = log 1,025-+- 3t(1o&'>o6 — logi,o25) = 0,0169739.
La véritable valeur de log i , o4 est
logi,o4 = 0,0170333.
L'erreur commise est donc
Si, comme c'est le cas sur la PL F, on représente l'unité par T X i", on voit que l'écart entre la position donnée à Tisoplèlhe r = o,o4 et sa position vraie est de
^ X i^x 0,00006 = o'",oooo4,
soit de j^ de millimètre. Cet écart est donc absolument inappréciable, et l'on peut, ayant construit les isoplèthes r = o,o25 et r = o,o6, interpoler entre celles-ci, comme s'il s'agissait d'une fonction linéaire, c'est-à-dire par parties proportionnelles.
Nous avons insisté sur cette remarque, parce qu'elle peut se répéter pour un certain nombre d'autres abaques et qu'il est bon que l'attention se porte sur elle, le cas échéant.
L'abaque dont nous venons d'indiquer la construction (*) est représenté par la PL V. Le premier axe de l'indicateur passant par le point de rencontre des isoplèthes (/i) et (r) et le second par le point (a) de l'échelle correspondante, le troisième aiLc donne sur la troisième échelle la valeur de A.
On peut d'ailleurs prendre pour inconnue une quelconque des quatre quantités entrant dans la formule. Il est, en outre, bien évident, vu les limites imposées à la graduation, qu'on adoptera, pour exprimer le capital placé et le capital produit, une unité telle que le premier de ces nombres soit compris entre i et lo et le second entre i et loo.
Exemple (pointillé de la PL V) : Pour a = 20000*'', /* = o,o4, n = i5*, l'abaque donne A = 36ooo'^^
2"* Abaque de la poussée des terres. — M. Boussinesq a donné, pour le calcul de la poussée des terres sur un mur vertical de soutènement, la formule suivante :
„.tang.(|-î)cos(j-2)
dans laquelle
<j> désigne l'angle de frottement des terres sur elles-mêmes;
(fi l'angle de frottement des terres sur la maçonnerie;
xs le poids en tonnes du mètre cube de terre ;
H la hauteur du mur de soutènement;
P la poussée exprimée en tonnes par mètre carré.
On voit immédiatement que cette équation est représentable par un abaque hexagonal à échelles binaires (^), en la mettant sous la forme
logP = (logTO-i-alogH)-i- 2logtang/^ — îj + logcos^| — M
- loga - log cos [?i — (^ ~ 2) J i *
( * ) Cet abaque a été construit par M. Prévôt. (=*) Cet abaque a été construit par M. Renard.
Le terme logP donne lieu à une échelle linéaire; le terme
logtij+ 2logH à une échelle binaire à parallèles, définie par les
isoplèthes
y = logw,
enfin le troisième terme à une autre échelle binaire à parallèles, définie par les isoplèthes
j:* = 2 log tang ( 7 — - ) "*" log ^^^ ( 7 ~ ~ ) — '^^^
-logcos[j'-(j-î)].
La PL VI représente l'abaque ainsi obtenu, lorsqu'on admet pour la variation des diverses données figurant dans la formule les amplitudes suivantes :
H, de I à lo";
TïJ, de i^, poids du mètre cube d'eau à 2^,3, poids du mètre cuhr
de terre glaise mélangée de cailloux ; cp et y, de o° à 45**.
Pour se servir de cet abaque, on fait passer le premier axe de l'indicateur par le point de rencontre des isoplèthes (H) et (tn), le second par le point de rencontre des isoplèthes (f) et (f <); le troisième donne alors sur l'échelle de la poussée la valeur de P.
Exemple (pointillé de la PL VI) : Pour ^ = 2""^, H=4"*i5j •^ = So**, îp, = 33", l'abaque donne P = 3^,87.
Généralisation de l'addition graphique.
40. M. Lallemand est arrivé à donner une extension considérable à l'emploi des échelles binaires, grâce à l'ingénieuse remarque que voici :
Considérons autour d'un point O (Jtg* 3i) six directions inclinées à 60^ les unes sur les autres et numérotons-les 1,2, 3, 4> 5, 6.
Sur l'axe i, supposons portée une certaine graduation telle que le point à la distance a de O soit désigné par a; de même pour b sur l'axe 3 ; c sur 4 ; d sur 5.
TI
Par les points a de i el 6 de 3, faisons passer deux des axes I et II de l'indicateur, le troisième III déterminera sur 2 un segment égal à a -I- 6 (n** 21 ); si donc nous déplaçons l'indicateur en faisant glisser l'axe III sur lui-même jusqu'à ce quel, venu en I', passe par le point c de 4, II viendra déterminer en IF sur 3 un segment égal à a-hb-hc; faisant alors glisser 11' sur lui-même jusqu'à ce que
Fig. 3i.
lir vienne, en IIl", passer par le point cf de 5, on voit que V venu v,n F déterminera sur 4 un segment égal à a-|-6-f-c-|-rf. On pourrait continuer encore plusieurs fois ainsi; mais nous nous bornerons là. Supposons donc que, sur l'axe 0|4i parallèle à /\, soit portée, à partir de 0|, une graduation e\ nous aurons
Nous pouvons d'ailleurs prendre sur chacun des axes i, 2, 3, . . . des origines autres que le point O, sous la seule condition qu'elles soient correspondantes, c'est-à-dire qu'elles se trouvent simultanément trois à trois sous les axes de l'indicateur. Et, si à chacun de ces axes nous accolons des échelles binaires donnant respectivement sur eux les valeurs de /(a, a'), cp(p, P'), ^{v, y), y (3, S') et
J2 CHAPITUB T.
F(e, e'), noas voyons que nous avons la représentation de Téqua-
lion
La fonction du second membre pouvant être, par un simple changement de signe, reportée dans le premier, et ]e nombre des termes pouvant être, par la répétition du procédé sus-iodiqué, pris tel que Ton veut, on peut dire que la méthode en question permet de représenter toute équation dont le premier membre, égalé à o, se décompose en une somme de /onctions ne contenant chacune pas plus de deux variables et que, pour cette raison, on peut appeler des éléments binaires.
Si Téquation est formée par l'égalité à une constante d'un produit d'éléments binaires, elle se ramène au cas précédent par une simple transformation logarithmique.
Oénôralisation de la multiplication graphique.
41. On a ainsi un champ très vaste d'équations à un nombre quelconque de variables, représentables sur un plan. Mais M. Lallemand a été encore plus loin, grâce à un nouvel artifice dont nous allons maintenant parler et qui lui a permis de représenter toute équation dont chacun des membres se décompose en une somme de produits d'éléments binaires, équation qui ne saurait, par transformation logarithmique, être ramenée au cas précédent.
Accolons à l'axe Ox (yf^. 32) une échelle binaire E| du type défini au n® 7. Elle nous donnera sur cet axe, au moyen de parallèles à O^v, les valeurs d'une fonction de deux variables ^(si, ^).
De même, une échelle binaire à radiantes Ej, du type défini au n^ 8, nous donnera les valeurs d'une autre fonction de deux variables ^(y> S) comme coefficients angulaires des droites issues de Forigine et passant par les points de rencontre des isoplèthes (y) et (S). On peut d'ailleurs toujours faire en sorte que le bord gauche de Es prolonge le bord droit de E|. S'il nVn était pas ainsi, il suffirait de prendre la figure homothétique de E^ par rapport au point O, de façon à satisfaire a cette condition.
Prenons le point qui est à la rencontre de la parallèle à O^, menée par le point de rencontre des isoplèthes (z) et (3) de TécheUe £| avec la droite joignant le point O au point de rencontre des iso-
EQtATIONS A PLUS DE TB018 VAIIABLES. EMPLOI DES ËCHBLLBE BINAIRES. ^3
plèthes (y) et (S) de l'échelie E». D'après la définition même des échelles E( et Ej, on a pour ce poÎDt
par suite
Si donc on a tracé sur l'abaque des parallèles aux axes Ox et Oy et des radiantes allant de O au bord extérieur de l'écbelle Ej, on n'aura qu'à suivre la parallèle à Ox menée par le point de rencontre de la parallèle (a, P) à Oy et de la radiante {y, 5) pour avoir sur Oy la valeur de »(a, p) ^(f, S).
Faisant alors coïncider avec cet axe 0 j' l'axe Ox' d'un second abaque muni d'une échelle binaire à radiantes E, donnant les valeurs de •y^(e, Ti), on aura, de même, sur l'axe Oy", les valeurs de ?(«t P) ^{y, S) /(e, Ti), et ainsi de suite.
On peut donc toujours disposer autour d'un certain axe A un abaque donnant sur cet axe les valeurs d'un produit d'éléments binaires en nombre quelconque.
Un second produit analogue pourra être donné par une échelle fi, un troisième par une échelle C, etc.
et
vil la r»^*^^<*xklai]:.n àt féijaiîi
Eo f-^rt-ir-il^T. ri Ton i^'jl ai :-îr «Tsr un axe pris cc-mine axe des j* ^'* i-^-rfifriil* pr»>p><ortic*Diiels aux lalears d'uae fonction de la i'^rm^, fj^ '^.Z . e]. il nj a. ap«rê-s aT.>îr posé
'jj'-îi ift'fuàns: comme échelle de Taxe des
X = z zradaaiî-:** naturelle .
romm^ échelle de ra\e des r
»' = "t • -'. ^ i échelle biaaîre ^
*-% *jn{ÈtH*t î^oplêthes rapportées a ces axes
On pourrait; comme nous Pavons fait pour faddition et la mal- UiA'uuâiiim de» éléments binaires, répéter plusieurs fois cette opé-
ration graphique; nous croyons inutile d'insister sur ce point. Cela revient, au fond, à faire une application répétée du principe de l'élimination graphique exposé au n^ lU.
Abaque de la déviation du compas.
43. Comme application de ce qui précède, nous choisirons l'abaque de la déviation du compas pour un navire donné, un des plus élégants qu'ait construits M. Lallemand.
La déviation du compas d'un navire, variable avec la position de celui-ci à la surface du globe, est donnée par la formule
= A -h msînÇ-hn cosÇ -+- BsinaÇ -4- C C0S2Ç,
où
m = arc sin ni f 1 h — sin B j 1 , |i = ^ / e tangO -+- ) -
n = arc sin
'"L ('~a^'"^)j' ' "^ K-^^*"^^"^ÏÏ
2^ étant le cap du compas ;
Q l'angle d'inclinaison magnétique, variable aux différents points
du globe; H la composante horizontale du magnétisme terrestre, également
variable aux différents points du globe; A, B, C, \ e, /, P, Q des constantes connues pour chaque navire.
On voit que m et /i, l'un par l'intermédiaire de [x, l'autre par celui de v, sont tous deux fonctions de 6 et de H, et, par suite, de la latitude / et de la longitude L du point du globe où se trouve le navire à l'instant considéré.
Voyons comment on pourra construire des échelles binaires faisant connaître les valeurs de m ou de /i pour des valeurs données de / et de L. Nous n'aurons d'ailleurs besoin d'envisager que l'un de ces coefficients m, par exemple, la théorie étant absolument la même pour l'autre, n.
Prenons donc, pour l'échelle binaire de m, comme premiers systèmes d'isoplèthes (m) et (/), d'une part
de l'autre
Pour obtenir les isoplèthes (/), nous nous servirons des planisphères terrestres sur lesquels sont marquées les courbes le long desquelles 6 d'une part, H de l'autre, ont une valeur constante, véritables abaques dont ces courbes sont les isoplèthes.
Donnons-nous alors une valeur fixe pour / et faisons varier L. Pour cette valeur de / accouplée successivement avec chacune de ces valeurs de L, les cartes en question nous feront connaître les valeurs correspondantes de 6 et de H. Nous en déduirons à chaque fois la valeur de |jl et celle de m (soit par le calcul numérique, soit au moyen d'abaques préparés à cet effet), et, à chaque fois aussi, nous marquerons sur notre abaque le point (x = m^ y = L), qui appartient à l'isoplèthe (/). Ayant déterminé ainsi un nombre suffisant de points de cette isoplèthe, nous traçons ensuite celle-ci. Nous dessinons, de cette manière, autant d'isoplèthes (/) qu'il est nécessaire, et voilà notre échelle binaire de m obtenue (PI, VII). De même pour n.
Posons alors
8" = k-^n cos Ç-hBsiQ2Ç-+-G cos a Ç.
Il nous sera facile de construire des échelles donnant respectivement les valeurs de 5' et de 8''.
En effet, il suffira (n** 41) d'accoler l'axe des x de l'échelle binaire précédemment construite pour m à l'axe des x d'une échelle à radiantes (I) définie par
^ = j7sinÇ
pour avoir sur l'axe des y de celle-ci les valeurs de 5'. Cet axe desjK n'aura, d'ailleurs, pas besoin d'être construit. La position correspondante de l'axe de l'indicateur sera déterminée par le point de rencontre de l'isoplèthe (JJ) de l'échelle à radiantes et de l'isoplèthe (m) menée par le point d'intersection des isoplèthes (/) et (L).
De même, il suffira d'accoler (n** 42) Taxe des x de l'échelle binaire construite pour n à l'axe des x d'un abaque (II) portant
les isoplèthes rectilignes
^ = A -haycosÇ-h Bsin22^ + Gcos2(,
pour avoir, au moyen de perpendiculaires à l'axe des^de celui-ci, les valeurs de 5".
Puisqu'on a
il sufïira de prendre les axes (non tracés) sur lesquels o' et o'' se projettent respectivement en vraie grandeur comme première et seconde échelle d'un abaque hexagonaK pour avoir sur la troisième les valeurs de 8.
C'est d'après ces principes qu'a été construit l'abaque de la PI, VII, qui fait connaître la déviation du compas en un point quelconque du globe pour le navire le Triomphe.
Les constantes qui interviennent dans la formule ont ici les valeurs
A— — i^g', e=-4-o,io6,
B =H-6*»,45', /= -o,oi3, C= — o%5', P = -o,o33,
Pour plus de netteté dans l'abaque partiel faisant connaître o'^, on n'a fait varier le cap du compas que d'une demi-circonférence. Afin donc d'avoir la valeur de S" correspondant à toutes les valeurs de S'', on a dû répéter deux fois l'échelle binaire de /i (* ), l'une de ses positions correspondant à la graduation relative au demi-rumb nord, l'autre à la graduation relative au demi-rumb sud.
En résumé, ayant pris dans l'abaque de ù' le point de rencontre de l'isoplèthe (!^) et de l'isoplèthe (m) passant par l'intersection des isoplèthes (/) et (L) et, dans l'abaque de S" (en tenant compte du demi-rumb où se trouve le compas), le point de rencontre de l'isoplèthe (Ç) et de l'isoplèthe (n) passant par l'intersection des isoplèthes (/) et (L), il suffît de faire respectivement passer par
(*) Sur l'échelle binaire de m qui est, eu somme, un planisphère anamorphose, on a distingué les mers des continents. On ne Ta pas fait sur Téchelle binaire de /i| parce qull en serait résulté une certaine confusion dans le dessin.
