CUAPITIIE Y. — ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES, ETC
ces poinlsles deux premiers axes de l'Indicateur pour que le troisième donne sur l'échelle de la déviation la valeur de 8.
Les lignes pointillées marquées sur la planche indiquent le mode d'emploi de l'abaque pour les données suivantes :
L'abaque donne alors
0= ii%8.
44. La méthode des éléments binaires de M. Lallemand, qui vient d'être exposée, englobe une foule de formules usuelles. Mais elle suppose essentiellement la répartition des diverses variables en groupes de deux. On pourra, dans certains cas ('), admettre une même variable dans un ou plusieurs groupes binaires, à la condition toutefois que cette variable n*aura jamais à être prise comme inconnue y car on voit bien aisément que, pour que l'abaque permette le calcul d'une des variables qui y figurent, il faut qu'à celle-ci ne corresponde qu'un seul système d'isoplèthes sur toute l'étendue de cet abaque. Or il peut se faire que la variable qui aurait à intervenir dans plusieurs éléments binaires soit précisément celle qu'on a besoin de calculer. Nous en citerons un exemple bien simple, celui de l'équation complète du troisième degré
que le système des abaques hexagonaux ne permet de représenter qu'au moyen de deux échelles binaires en z et n, et en z et/>, et une échelle linéaire en q^ ce qui fait que z ne peut être donné par Tabaque ainsi construit.
En raison des cas qui échappent comme celui-ci à l'application de la méthode précédente, il y a intérêt à signaler d'autres pro-
(*) Voir en particulier l'exemple du numéro précédent, où l'ensemble des yariables / et L d'une part, la variable ^ de l'autrei figurent deux fois dans les groupes partiels de l'abaque.
8o CHAPITRE VI.
cédés de représentation pour certaines classes d^ équations à plus de trois variables. C'est ce que nous allons faire à présent (*).
Principe des points doublement isoplèthes.
45. Reprenons la forme générale (E'") (n° 4) des équations à triple réglure en introduisant une quatrième variable 8 dans une des lignes du déterminant
?i(P) ?.(P) ?s(P) hi^) ^'«(Y) +>(Y)
Cette équation exprime, si l'on représente par u et v des coordonnées parallèles de droites (n® 28), que les points dont les équations sont
(il) w/i(a, 0)-*- «'/«(a, o)-h/3(a, o) = o,
(I,) aç,(P) -^-i^o,(p) -4-?,(P) =o,
(I3) w'I'i(t) -^^hi'r) -^hi'^) ^o
sont alignés sur une même droite.
Lorsque, dans les équations (I2) et (I3), on fait varier les paramètres p et y, on obtient deux séries de points isoplèthes (P) et (y) distribuées chacune sur une certaine courbe.
Considérons maintenant l'équation (I|). Pour chaque valeur de a, on obtient, par variation de S, une certaine courbe qui est une isoplèthe (a). De même, pour chaque valeur de S, on obtient, par variation de a, une isoplèthe (8). Pour des valeurs particulières de a et de 3, le point (If ) correspondant est à la rencontre des isoplèthes (a) et (5) répondant à ces cotes particulières. C'est pourquoi nous l'appellerons /?oi/i^ doublement isoplèthe.
En résumé, l'équation (E) est représentée par un abaque (yig* 33) composé des deux séries de points isoplèthes (p) et (y) et des deux cours d'isoplèthes (a) et (0), et les valeurs correspondantes des quatre variables sont telles que la droite joi-
(') Voir aussi la fin du n» 10.
gnant le point (^) au point (y) passe par le point de croisement des isoplèthes (a) et (8) (*).
Fig. 33.
Par exemple, sur l'abaque de \difig- 33, pour
on a^ comme le montre la droite en pointillé,
On a ainsi le cas d'extension à quatre variables du principe fondamental, auquel nous avons fait allusion au n" 37.
Abaque de réquation complète du troisième degré.
46. Appliquons tout de suite cette méthode à l'équation complète du troisième degré
z^-h nz^-\-pz -^ q = o.
Il suffit, comme au n® 30, de prendre
(*) Nous avons communiqué cette méthode à l'Académie des Sciences dans la séance du 23 février 1891 {Comptes rendus, t. GXII, p. 4^0-
ëqualions qui fournissent, pour les deux systèmes de points simplement isoplèthes, les points de division des axes des u et des v\ On a ensuite, pour engendrer les points doublement isoplèthes [équation (If) du numéro précédent], l'équation
Le point ainsi défini a pour coordonnées (rapportées à Taxe AB et à Taxe équidistant de ceux des u et des p) (n° 28),
Les isoplèthes {z) sont des parallèles aux axes Ku et Bi\ puisque X ne dépend que de z. Quant aux isoplèthes (n), on les obtiendra en donnant à n une certaine valeur et considérant z, dans les expressions ci-dessus de x etde^, comme un paramètre arbitraire.
Faisons remarquer ici, comme nous l'avons déjà fait à propos de l'équation trinôme (n® 30), qu'on peut se borner aux valeurs positives de c, les racines négatives de l'équation proposée pouvant ♦Urc obtenues comme racines positives de la transformée en — z
5' — ns^-^-pz — ^ = o.
Il y a lieu aussi d'observer que les isoplèthes (n) sont très faciles a construire lorsqu'on a déjà la courbe correspondant à l'équation trinùme (n" 30,y?^. 23) qui n'est autre que Tisoplèthe (/i = o). En eflct, la valeur de ^donnée plus haut peut s'écrire
y zj=i n - •
Dès lors, si nous donnons une certaine valeur à z^ et, par suite, à X, nous aurons, en appelant Yn l'ordonnée correspondante de Pisoplèthe {n\y
c'esl4«dîre que les isoplèthes (/i) sont affines suivant la direction do Taxe dos^>* ^'),
Il suffira donc, à partir du point de Tisoplèthe ( /i = o ) coté ;;, et,
V') Orne remarque est impoiiante. Elle se nrpète pour on certain nombre «l^lKM^«e4 et inUrodaît une gnnde simplification dans U constractîon de ceax-ci.
après avoir calculé la quantité /= > de porter sur la parallèle
menée par ce point à l'axe des y les longueurs /, 2/, 3/, .• ., — /, — 2 /, — 3 /, .... On obtiendra, de cette façon, les points cotés ;; sur les isoplèthes (n= — 1), (n = — 2), (n = — 3), . . ., (/i = 1), (71 = 2), (/i = 3), .... L'abaque ainsi construit est représenté par la P/. VIII {*).
Pour avoir les racines positives de Téquation écrite plus haut, il suffît alors de lire les cotes z des parallèles aux axes passant par les points où la courbe (n) est coupée par la droite joignant le point p de l'axe des u au point q de Taxe des c. Par exemple, pour n = iy p = — 2,16, q = — 3,2, on a z = ï,6. Cet exemple est indiqué par un trait pointillé sur la PL VIII. Le second trait pointillé se rapporte à Téquation prise pour exemple au n^ 30.
Abaques des équations des quatrième et cinquième degrés.
47. Toute équation algébrique peut, par une transformation connue, être privée de second terme.
Il suffit, en effet, dans Téquation
Z'«-h aiZ"»-» -h a,Z'«-ï4-. . .4- a,rt = o,
de faire la substitution Z = 5 pour que celle-ci prenne la
forme
En particulier, toute équation du quatrième degré peut être
ramenée à la forme
-3^-+- nz^-i-pz-h y = o.
11 suffira donc de construire, par la méthode des points doublement isoplèthes, Pabaque de cette équation pour avoir la résolution de l'équation du quatrième degré.
L'équation étant privée de second terme, on peut, lorsque le troisième n'est pas nul en même temps, ramener la valeur de celui-ci à d= I. Il suffit, pour cela, de faire la substitution
z = z' ^val. abs. 6].
(*) On pourrait, soit par transformation homographique, soit en prenant l'une des coordonnées courantes égale à /» au lieu de p ou de Çj faire varier Tabaque de l'équation du troisième degré, de façon à rendre son emploi pratique pour d'autres limites de variation. des coefflcients.
En particulier, toute équation du cinquième degré peut être ramenée à une des trois formes
z^-hnz*-\-pz-i-q = o,
z^ -h z^ -^^ nz^ -h p 3 -^ q = o,
z» — 5'-+- nz^-^pz -+ q =z o,
II suffira donc de construire Pabaquc répondant à chacune de ces trois formes d'équation pour avoir la résolution de toute équation du cinquième degré^ dans les limites, au moins, permises par les dimensions de Tabaque.
On sait qu'on peut aussi, par une transformation quadratique, priver toute équation du cinquième degré à la fois de son second et de son troisième terme et ramener, par suite, sa résolution à l'emploi du premier des trois abaques précédents. Nous croyons cependant que le procédé ci-dessus est pratiquement le plus simple.
Abaque de la distance sphériqne.
48. Voici encore une application du principe des points doublement isoplèthes.
La distance sphérique (p de deux points en fonction de leurs latitudes X et V et de la différence L de leurs longitudes peut s'écrire, ainsi que l'a remarqué M. CoUignon,
2 cosç =(n- cosL)cos(X — X') — (i — cosL) cos(X -h X').
Si nous posons
a = — co8(X-+-X') (»), i' = cos(X — - X'),
l'équation précédente devient
2 co5<p =(i -H cosL)p -+-(i — cosL)a, équation d'un point doublement isoplèthe, puisque ses coefficients
(*) On pourrait aussi bien poser u = cos(X + X') ; mais alors la partie utile de l'abaque s'étendrait jusqu'à l'infini, puisque, le point de rencontre des isoplélhes (L) et (9) ayant alors pour équation
2 C0S9 = (i-+-cosL)t' — (i— cosL)u,
son abscisse serait donnée par x =■ r > dont la Taleur absolue varie de i à oc.
"^ cosL
Il faut toujours avoir soin, quand on construit un abaque, de veiller à ces sortes de détails.
MÉTHODE DBS POIKTS DOUBLEMENT ISOPLÈTHES.
contiennent deux paramètres op et L, et qui va, par suite, donner naissance à deux cours d'isoplèthes (<p) et (L), ainsi qu'il a été dit au n° 38. Pour avoir ces isoplèthes, calculons les coordonnées du point en question (n° 28). Nous avons
(i -4- cosL) — (i — cosL)
(i -h cosL)-f-(i — cosL)
= cosL,
acoso
Y = ; rr — f r-v = coso.
'' (i -H cosL)-h(i — cosL) ^
Il n'y a donc aucune élimination à faire. Les isoplèlhes (L) sont des parallèles à l'axe des j^ et les isoplèthes ('^) des parallèles à Taxe des x^ passant les unes et les autres par les points d'égale
Fig. 34.
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