Prenons, par exemple, une équation de la forme

Ici nous prendrons pour équations (I|) et (I2)

(lï) ^ = /(«),

(lï) r = ?(?)•

(') Les applications connues en sont des plus nombreuses. Nous citerons, en particulier, pour le soin avec lequel ils ont été dressés, les excellents Tableaux graphiques sur les questions d'intérêts et de finances de M. Eugène Pereire.

ÉQUATIONS NE CONTENANT PAS PLUS DE TROIS VARIABLES. l3

LV;quation (I3) obtenue, comme nous Tavons dit plus haut, par élimination de a et ^ entre (Ii), (I2) et (E), est ici

(ïï) ^4'i(7)-+-r'li(Y)-^'3(Y)=o.

Les isoplèthes (a) et (j3) sont donc encore des parallèles aux axes, mais cette fois, non plus équidistantes, et les isoplèthes (y) sont aussi des droites, tangentes à une certaine courbe dont l'équation, si on la désirait, s'obtiendrait, comme on sait, en éliminant v entre Téquation (ly ) et sa dérivée prise par rapport à y.

C'est la substitution de ces droites (y) aux courbes que donnerait l'application de la méthode ordinaire qui constitue le principe de C anamorphose de M. Lalanne. Cette façon de l'établir montre immédiatement qu'il n'est qu'un cas particulier de celui qui va être maintenant indiqué.

Généralisation du principe de l'anamorphose.

4. Cherchons la forme générale des équations représentables par trois cours d'isoplèthes rectilignes. Dans cette hypothèse^ les équations (I|), (I2) et (I3) devant être du premier degré en x ely pourront s'écrire

La forme de l'équation (E) correspondante, obtenue par élimination de X et j', peut s'écrire immédiatement sous forme de déterminant

/i(a) .A(a) Mol) I

?i(?) ?i(?) ?:,(?) ^\{^) ^'«(ï) ^'sCT) »

La disposition générale des abaques correspondants est représentée schématiquement par \^Jig- 3.

Il n'est pas toujours facile, sans quelques tâtonnements, de voir si une équation donnée entre trois variables peut se metlre sous

CHAPITAB I.

cette forme (*). Voici un cas, assez fréquent dans la pratique, où la vérification se fait très facilement : c'est celui où l'équation

Fig. 3.

donnée se présente sous la forme

11 suffit alors de poser

(*) Le caraclère commun à toutes les équations susceptibles de revêtir la forme (E"i) se traduirait par une équation aux dérivées partielles obtenue par l'élimination des fonctions arbitraires qui entrent dans cette forme. Ces fonctions sont au nombre de six (car on ne doir, dans chaque ligne du déterminant, considérer comme arbitraires que les rapports de deux des éléments au troisième) et le problème d'Analyse consistant à les éliminer ne manquerait pas d'une certaine complication. Ce problème a été complètement résolu, et d'une manière fort élégante, par M. l'Ingénieur des Mines Lccornu {Comptes rendus de VAcailémiedes Sciences, t. Cil, p. 8i5), dans le cas où la forme (E<") se réduit à (E"). M. Lecornu a non seulement éliminé les quatre fonctions arbitraires que renferme (E"), mais encore indiqué la façon dont elles peuvent se déterminer lorsqu'on a vérifié que l'équation proposée peut se mettre sous cette forme.