Force centrale. — Nous nous proposons d'étudier le

mouvement d'un point matériel sollicité par une force centrale,

c'est-à-dire par une force qui passe par un centre d'action et

qui s'exprime par une fonction de la distance du point au centre

d'action. Nous prendrons le centre d'action comme origine de

coordonnées polaires ; nous appellerons 7' la longueur du

rayon riemannien qui joint le centre d'action au point matériel,

et l'angle de ce rayon avec une droite fixe menée par l'origine.

< Nous appliquerons les deux intégrales des aires et des forces

i vives qui suffiront pour ramener le problème à des quadratures.

i Le déplacement élémentaire du point peut se décomposer,

I comme en géométrie euclidienne, en un déplacement suivant

le rayon et un déplacement suivant une perpendiculaire au

rayon ; ils s'expriment par

dr et k sin - d 0.

Le déplacement de circulation autour du pôle est, dans l'espace, un arc de parallèle de la sphère dont le rayon est le sinus-distance du point au pôle. Nous pouvons calculer le moment de la vitesse et la force vive en utilisant les deux composantes du déplacement. On trouve les deux intégrales

dtj k

nous avons, dans l'équation des forces vives, réduit la masse à l'unité ; la force est donc ramenée à l'unité de masse ; nous avons supposé la force attractive.

En éliminant le temps, on obtient l'équation différentielle de la trajectoire ; on trouve

fc. |i+cotg^fc + \^— y^; J = ft-2jFdr(38).

Endifférentiant c?tte exj[iiatîon, on obtient l'expression de la force dans le cas où la trajectoire est connue ; on obtient

k' sin' ,

54. Attraction iinwerselle riemannienne. — Nous désignerons sous ce nom, rhypotli(»se suivante : deux particules matérielles s'attirent suivant la droite riemannienne qui les joint en raison directe des masses et en raison inverse du carré de la force représentée par le segment riemannien qui joint les deux masses. Le segment riemannien représente une force dont la grandeur est le sinus de ce segment ; nous admettons donc une force attractive qui varie en raison inverse du carré du sinusdistance. Cela étant, nous allons formuler les lois que Kléper aurait dû déduire des observations pour que le mouvement des planètes s'explique par l'hypothèse de l'attraction universelle riemannienne.

55. Lois de Kléper ; lois des pseudo-aires, des orbites et des grands axes. — Nous formulerons ces lois et nous en déduirons successivement les propriétés de la force qui maintient une planète dans son mouvement.

1°. Le rayon riemannien qui joint le centre du soleil au centre d'une planète, décrit dans un plan riemannien une pseudo-aire qui croit proportionnellement au temps.

La conséquence immédiate de cette loi est, en vertu de la réciproque de l'intégrale des pseudo-aires, que la force qui sollicite une planète passe par le centre du soleil.

2\ Le centre d'une planète décrit une conique riemannienne autour du centre du soleil comme foyer.

Nous mettrons réquation de la conique sous la forme (30) du numéro 35 ; en prenant l'inverse du second membre, on obtient la co tangente qui figure dans la parenthèse de la formule (39) ; cette formule devient

k tg -- — fc* sin*

Il résulte de là, que la force qui sollicite une planète varie en raison inverse du carré du sinus de la distance au soleil.

3**. Les carrés des durées de révolution sont proportionnels aux cubes des sinus de la moitié du grand axe multipliés par le cosinus de cette même moitié.

Pour interprêter cette loi, nous allons calculer la constante des aires en introduisant la durée de la révolution. De l'équation (36), nous déduisons

CT==^2{ k' sin*— d 6.

Pour calculer cette intégrale, nous exprimons le sinus au moyen de la cotangente ; la cotangente est l'inverse du second membre de l'équation (30). L'expression qu'il s'agit d'intégrer est une fraction dont le dénominateur est une fonction quadratique du cosinus de l'angle 0. En prenant comme variable la tangente de la moitié de cet angle, on est ramené à une expression rationnelle ; le dénominateur est une fonction du quatrième degré de forme bicarrée ; les racines sont imaginaires ; on décompose la fonction à intégrer en deux fractions dont le dénominateur est une fonction du second degré ; on passe de l'une à l'autre en changeant le signé de la variable. L'intégrale comprend une partie logarithmique qui disparaît quand on introduit les limites ; l'autre partie donne

Les calculs que nous venons d'esquisser ne sont pas dépourvus d'intérêt ; on est conduit à de belles transformations trigonométriques, en utilisant les relations qui existent entre les divers éléments de la conique riemannienne. Mais ces calculs sont un peu longs, aussi nous allons établir la formule (41) par une voie plus courte. L'intégrale qu'il s'agit de calculer peut s'interprétor dans l'espace euclidien ; c'est le double de l'aire limitée par la projection de la conique riemannienne sur un plan normal au rayon qui joint le centre de la sphère idéale au foyer ou au centre du soleil. Quoique cette projection soit une courbe du quatrième degré, on peut ramener l'évaluation de l'aire qu'elle limite au calcul de l'aire d'une ellipse. Nous pouvons imaginer une surface couvercle ayant la conique riemannienne comme bord ; dans l'espace euclidien, il y a lieu de considérer le vecteur-aire de ce couvercle qui est indépendant de la forme du couvercle ; en prenant un couvercle sphérique, la droite euclidienne qui joint le centre de la sphère idéale au centre de la conique situé au milieu des deux axes réels, est un axe de symétrie euclidien ; le vecteuraire doit être dirigé suivant cet axe, et nous obtiendrons sa grandeur en évaluant l'aire de la conique riemannienne projetée sur un plan perpendiculaire à cet axe de symétrie. Cette projection est une conique euclidienne ; elle est représentée par l'équation (20) du numéro 28. Il résulte de là que la grandeur du vecteur-aire est

A = Tz k* sin -T- sin -j- •

L'aire qu'il s'agit d'évaluer s'obtient alors en projetant ce vecteur sur le rayon qui joint le centre de la sphère idéale au foyer ; on trouve :

Cr= 2A COS-T--

Remplaçons A par sa valeur ; appliquons les formules (22) et (28) pour éliminer c et L, on trouve l'équation (41).

ir.'^ k' sin'

k* sin'-r-

Si Ton élimine C entre Téquation (40) et Téquation (41), on obtient :

La loi des grands axes, que nous avons formulée plus haut, prouve que la force par unité de masse est la même pour toutes les planètes. La force vraie varie donc comme la masse de la planète, et l'on en déduirait la loi de l'attraction universelle riemannienne par un raisonnement bien connu.

56. Trajectoire pour une vitesse donnée. — On donne la vitesse initiale d'un astre qui se trouve dans le champ de l'attraction riemannienne du soleil ; on demande de déterminer la trajectoire.

Nous appliquerons l'équation (38) ; nous prendrons :

r k ' sin * -V-

on trouve facilement :

— fx r

F dr = —g— cotg -T-

L'équation (38) devient :

On sépare les variables et l'on est ramené à un arc cosinus en posant

cotg-^

on trouve