AB -- / A'B

Nous trouverons la projection B' sur le plan des x^ x, en menant B" B' parallèlement à PA. Si, par A', nous menons un plan perpendiculaire PA , ce i)lan est un plan de symétrie des figures A' 73' et A' 13" ; donc, la figure A' B' est symétrique de la figure A' B" ; cette dernière est homothétique à la figure AB^ et le rapport de similitude est / ; cela démontre le théorème.

Il résulte de ce théorème, que les angles tracés sur la sphère sont conservés en projection stéréographique ; c'est ce que Ton exprime en disant que la projection stéréographique est une représentation conforme de la surface de la sphère. Nous exprimerons cette propriété en disant que, dans la géométrie riemannienne que nous considérons, l'égalité des angles est identique à une égalité euclidienne. Les angles riemanniens se mesurent comme les angles euclidiens.

Il n'en est pas de même des longueurs et surfaces riemanniennes ; ces grandeurs doivent être mesurées sur la sphère par la géométrie ordinaire. Si l'on détermine iln point du plan par les coordonnées ordinaires, on obtient les longueurs et les surfaces par les formules suivantes :

s ^ ( \ sjdx' + dy' S= {{ /* dx dy A étant exprimé en fonction des coordonnées x, y.

4. Cercle riemannien. — Théorème. — La projection stérëographique d'un cercle est un autre cercle dont le centre euclidien est le conjugué harmonique de la projection du centre du cercle de l'espace par rapport aux deux centres riemanniens ou projections des deux centres du cercle sur la sphère.

En effet, plaçons-nous d'abord dans l'espace à trois dimensions, tout en utilisant la figure 2 qui n'est qu'une perspective des figures de l'espace. Nous obtiendrons un petit cercle de la sphère en menant un plan sécant. Menons par le centre O une perpendiculaire à ce plan ; cette perpendiculaire percera la sphère en deux points C et C, diamétralement opposés^ qui sont les deux centres du petit cercle par rapport à la sphère. Cette même droite percera le plan du cercle en un point / qui est le centre du petit cercle par rapport à son plan. Enfin, cette droite passe par le sommet S du cône de révolution circonscrit à la sphère suivant la circonférence du petit cercle. Le sommet S est le pôle du plan de la courbe de contact, donc c'est le conjugué harmonique du point I par rapport aux deux points C et C ; cette propriété sera conservée en projection stéréographique. Les génératrices du cône seront représentées par un faisceau de rayons passant par S; or, ces génératrices forment avec la courbe de contact des angles droits situés dans des plans tangents à la sphère ; ces angles droits seront conservés en projection. Le cercle riemannien est donc une courbe normale aux rayons euclidiens passant par S ; c'est, par conséquent, un cercle euclidien dont le centre est S.

Sur la sphère, le point C est à une distance constante de tous les points de la circonférence du petit cercle ; cette propriété existe aussi dans le plan en géométrie riemannienne, puisque les distances sur le plan doivent se mesurer sur la sphère ; de plus, toutes les droites riemanniennes qui passent par G sont normales à la circonférence. Le point C jouit de la même propriété que le point C ; le cercle riemannien a donc deux centres et deux rayons; la somme de ces deux rayons est k /:. Le point I dans l'espace est aussi un centre du cercle ; mais en projection, il n'est ni un centre euclidien, ni un centre riemannien. Si on mène par Cune droite riemannienne A C A', on détermine des points A et A' qui sont diamétralement opposés ; toutes les

droites euclidiennes analogues à la droite A A' passent par le point /, ce sont les perspectives des diamètres du petit cercle tracés dans son plan. Les points S et I sont conjugués harmoniques par rapport aux points G et C en géométrie euclidienne.

5. Droite riemanniennc. Théorème. — Les droites rienianniennes sont les circonférences dont la puissance euclidienne par rapport au centre O est égale à — fc*.

Les droites riemanniennes sont les projections stéréographiques des grands cercles de la sphère. Menons par O (fig. 2) un plan, et soit CC le diamètre normal au plan ; ce plan détermine un grand cercle dont le centre est O dans le plan ; sur la sphère les centres sont les points C et G' ; enfin, les génératrices du cylindre circonscrit à la sphère suivant la circonférence du grand cercle sont parallèles à C C ; on peut considérer ce cylindre comme un cône dont le sommet S' s'éloigne à rinfîni sur la droite CC ; ce sommet S' est encore le conjugué harmonique du point O par rapport à CC. En perspective, cette propriété est conservée. La démonstration relative au petit cercle est alors applicable ; le point S' est le centre euclidien de la droite riemanniennc et il est le conjugué du point O par rapport aux deux centre^ riemanniens C et C.

Sur la sphère, deux grands cercles se coupent en deux points diamétralement opposés ; toute droite telle que C A C coupe donc la droite x^ x^ en deux points M N diamétralement opposés ; ce diamètre M N se confond avec sa projection stéréographique. Si nous menons une droite euclidienne quelconque par le point O, ce sera la perspective d'un autre diamètre du cercle C A C ; on a, dans le plan, en géométrie euclidienne

oc". 5C = ÔM.ÔN = — fc';

le signe moins résulte de ce que les vecteurs que l'on multiplie ont deux sens différents.

Réciproquement, toute circonférence C AC de puissance — fc* par rapport au point O est une droite riemanniennc. En effet, on peut mener par O une corde MN divisée en deux parties égales par le point O ; on aura

OM = ON = fc;

OA X OA' = — fc^;

menons la droite OD perpendiculaire à O A, portons, en géométrie euclidienne,

OD = k:

les points M et N sont des points diamétralement opposés de la circonférence x^ x^ ; les circonférences forment un certain angle (*k Si, dans l'espace, nous menons par M un grand cercle faisant l'angle « avec le grand cercle x, x,, la projection stéréographique de ce grand cercle sera une circonférence passant par les points M et N et faisant l'angle w avec la circonférence x^ X, ; elle doit se confondre avec la circonférence donnée, qui est par conséquent une droite riemannienne.

La droite riemannienne a deux centres; ces centres s'appellent les pôles absolus de la droite. Réciproquement, la droite est la I

polaire absolue de l'un de ses centres. Le qualificatif absolu |

doit être ajouté parce que, dans l'étude des courbes rieman- '

niennes du second degré, il y a lieu de considérer d'autres pôles et d'autres polaires. Quand on décrit une droite riemannienne d'un pôle donné, on peut attribuer un sens à la droite en adoptant un sens positif pour la rotation du compas riemannien ; réciproquement, si on donne un sens à une droite, on obtiendra un pôle unique. Comme sur la sphère, la distance riemannienne de deux points mesure, dans un cercle de rayon fc, l'angle des deux polaires ; si le pôle décrit une courbe, la polaire absolue enveloppe une autre courbe, et il y a réciprocité; si le pôle décrit une droite, la polaire absolue tourne autour du pôle de la droite d'un angle mesuré, par le segment décrit par le pôle, dans un cercle de rayon k. Lorsqu'un point décrit le contour d'un triangle, la polaire enveloppe le triangle polaire, et réciproquement.

6. Problèmes sur la droite riemanuienne. — l*" On donne un point A (fîg. 3), trouver le point opposé A' par lequel passent toutes les droites riemanniennes menées par le poiht A. Dans l'espace, le point A' est le point de la sphère diamétralement opposé au point A ; en tirant la droite AO, on obtient la perspective du diamètre de la sphère ; le point A' se trouve sur cette droite. Les points A et A' étant sur une droite riemannienne, on a :

tirons AD et menons DA' perpendiculairement à AD; nous obtiendrons le point A'.

2". Mener une droite riemannienne par deux points A et B non opposés. On trace une circonférence passant par ces deux points et l'opposé A' de l'un d'eux. Cette circonférence passera aussi par l'opposé du point B. En supposant que le point B

lû

Fig. 3.

converge vers A, on arrive au problème : mener une droite riemannienne qui touche une droite euclidienne en A. On i^eut de même mener une droite riemannienne formant en A un angle donné avec une ligne donnée.

3** Tracer une droite riemannienne, connaissant son centre euclidien. Soit I le centre euclidien ; la droite cherchée coupe la circonférence de centre O et de rayon k en deux points opposés F et F' ; on trouve le point F en menant O F perpendiculairement à O I ; le rayon euclidien de la droite est I F.

4'' Trouver les deux pôles d'une droite riemannienne. Soît F AB la droite donnée ; les pôles sont les foyers des normales rieinanniennes à la droite. Menons la normale EAE' parle point A, en appliquant la construction précédente (2") ; le centre euclidien de cette normale se trouve à Tintersection G de la tangente euclidienne A G à la droite A B et de la perpendiculaire euclidienne élevée sur le milieu de A A'. La normale EAE' détermine les deux pôles cherchés E et E', car ils se trouvent sur la droite 01.

Les centres E et E' se trouvent aussi sur les bissectrices de Tangle OFI. En effet, le faisceau des droites qui joignent le point F aux points O, I, E, E', est un faisceau harmonique ; or, les deux droites FE et FE' sont perpendiculaires, car les points E et E' sont opposés, et Ton a

OE X ÔË' = — fc' =^ — OF' î

ces deux droites sont donc les bissectrices de l'angle des deux autres rayons du faisceau.

Si Ton donne à la droite A B le sens de A vers B, on prendra E comme pôle, de façon que la rotation de E A vers E B s'effectue dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre.

5° Décrire une droite riemannienne d'un pôle donnné E. On trouve le second pôle E' en cherchant l'opposé de E ; le centre euclidien de la droite est le conjugué harmonique de O par rapports aux points E, E'. On trouve, par exemple, le point I en construisant l'angle EFI égal à OFFl. On est alors ramené au 3° de cet article.

6** D'un point donné M, abaisser une perpendiculaire MA sur une droite donnée FB. Il suffit évidemment de joindre, par une droite riemannienne, le point M à l'un des pôles de la droite donnée.

On peut aussi résoudre ce problème par la construction euclidienne suivante: la droite cherchée est une circonférence qui passe par M et son opposé M' ; son centre euclidien se trouve donc sur la perpendiculaire élevée au milieu de MM'. Je dis, de plus, que ce centre se trouve sur la perpendiculaire I' G à la droite O I menée par le point F opposé de I.

Celte construction est fondée sur le théorème suivant : les centres euclidiens de deux droites rienianniennes orthogonales sont des points conjugués par rapport au cercle imaginaire de centre O et de rayon ki. Soient F B et M A les droites riemaniiiennes orthogonales ; nous avons démontré (2) que ce sont des circonférences orthogonales à la circonférence de centre O et de rayon ki. Soient X, Y, les points d'intersection imaginaires de cette circonférence imaginaire avec la circonférence AB; les rayons I X et I Y, qui sont normaux à la circonférence réelle, sont tangents à la circonférence imaginaire ; donc la droite X Y est la polaire du centre I par rapport h la circonférence imaginaire. La troisième circonférence MA est orthogonale aux deux autres ; elle les coupe en quatre points, les rayons joignant le centre euclidien G à ces quatre points sont des tangentes égales aux deux premières circonférences, donc le point (i se trouve sur Taxe radical X Y de ces deux circonférences ; on en déduit que le point G se trouve sur la polaire du point I, c'est-à-dire que ces deux points sont conjugués par rapport à la circonférence imaginaire.

îl est facile de démontrer que la polaire du point I n'est autre que la droite F (i déterminée par

Orx"ÔT' = — A';

c'est la propriété utilisée dans la construction donnée plus haut.

Cette démonstration devient plus facile en prenant d'abord trois circonférences orthogonales réelles ; on démontre facilement que les centres de deux circonférences sont conjugués par rapport à la troisième. Cette propriété étant susceptible d'être démontrée par l'analyse, est encore vraie quand l'un des rayons devient imaginaii'e. On l'applique alors aux droites riemanniennes et à la circonférence de centre O et de rayon ki, qui sont trois circonférences orthogonales.

Enfin, ce théorème peut encore être démon ti'é en utilisant la figure de l'espace. Les droites rienianniennes orthogonales sont les perspectives de deux grands cercles orthogonaux ; les centres euclidens sont les perspectives des sommcnts des deux cylindres circonscrits ; si donc P est le centre de projection, les

droites P I et P G, qui projettent ces sommets, sont rectangulaires. Le point G se trouve donc sur la trace d'un plan perpendiculaire à P I, et on reconnaît facilement que cette trace est la droite T G, car la section I P I' se rabat en I F T.

7° Construire, en géométrie riemannienne, la perpendiculaire commune à deux droites. On trace la polaire absolue du point d'intersection des droites données (5°).

7. Problème sur le cercle riemannien, 1° Construire un cercle, connaissant le centre et le rayon riemanniens. Soient (fig. 2) C le centre et C A le rayon donnés. Le centre euclidien S se trouve sur la droite O C et sur la tangente euclidienne en A à la droite CA ; du point S comme centre, et avec SA pour rayon, on décrit un cercle euclidien.

2° Trouver les deux centres riemanniens d'un cercle donné. Les centres cherchés se trouvent sur la droite qui joint le point* O au centre euclidien S du cercle donné ; il se trouvent aussi sur une normale riemannienne quelconque F A B à ce cercle ; ils sont donc déterminés.

3° Construire l'axe radical euclidien commun de tous les cercles riemanniens concentriques à un cercle donné. Je dis d'abord que tous les cercles riemanniens qui ont les deux mêmes centres C et C, ont pour axe radical commun euclidien, la droite UT perpendiculaire sur le milieu de CC. Soit T un point quelconque de cette perpendiculaire ; du point T comme centre, avec TC pour rayon, traçons une circonférence ; cette circonférence GAC est une droite riemannienne normale à tous les cercles ; la tangente TA à l'un de ces cercles est égale à TC ; les tangentes euclidiennes menées par T à tous les cercles sont donc égales ; or, T est un point quelconque de TU, donc TU est l'axe radical euclidien. 11 est facile de voir que la droite T U est un des cercles concentriques ; c'est celui pour lequel le centre euclidien s'échappe à l'infini.

Dans l'espace, les plans des cercles concentriques sont parallèles ; ils se coupent suivant une droite à l'infini qui perce la sphère en deux points imaginaires X et Y ; tous les cercles passent par ces deux points ; cette propriété se reproduit en projection. Le cercle riemannien, qui se réduit à une droite

euclidienne, passe donc par ces deux points ; c'est Taxe radical euclidien. La polaire absolue des points G et C passe aussi par ces deux points ; c'est l'axe radical riemannien.

On peut trouver l'axe radical euclidien sans utiliser les centres G et G'. Les points G et G' satisfont aux deux conditions

se X "se' = SA *

ÔC X ÔC^ = — fc« ;

Les points (] et G' sont conjugués dans deux involutions. Si on soustrait ces deux équations, on trouve une nouvelle équation qui détermine le milieu de G G' et qui se traduit en disant que le milieu de GG' est le milieu des conjugués des centres des involutions, le conjugué de chaque centre étant pris dans l'autre involution. Soient K le conjugué de S, H le conjugué de O, la droite TU est perpendiculaire au milieu de KH. Remarquons enfin que le cercle de centre O et de rayon ki est orthogonal à toutes les droites riemanniennes et en particulier à. toutes celles qui passent par G et G'; c'est donc un des cercles concentriques ; les points communs aux cercles concentriques sont par conséquent complètement déterminés : ce sont les points imaginaires de la droite T L" qui se trouvent à la distance fcî du point O.

Au lieu de donner un cercle de centre S, on peut aussi donner une droite de centre S'. Il est facile de voir que les points H et K se confondent en un seul L^. En effet, le conjugué de S' dans l'involution de centre O, s'obtient en menant P U perpendiculairement à PS'; mais alors UP est une tangente au cercle S' et les points U et O sont conjugués dans l'involution de centre S'. L'axe radical commun UT est donc la polaire de O dans le cercle S' ou la polaire de S' dans le cercle de centre O et de rayon fcî. Gette dernière propriété résulte aussi de ce que les centres des droites perpendiculaires à la droite de centre S' sont conjugués du centre S' dans le cercle de centre O et de rayon fcî.

4" Déplacer une figure riemannienne invariable dans son plan. Sur la sphère, le déplacement se ramène à une rotation finie autour d'un axe ou autour de deux centres. Dans ce mou^

vement, tout point A du plan riemannien décrira une circonférence autour des deux centres G et C ; si l'on donne l'angle de la rotation, on trouvera la nouvelle position du point A en menant par C une droite riemannienne faisant l'angle avec la droite C A.

Considérons une rotation riemannienne continue autour des mêmes centres ; les différents points du plan décrivent des circonférences concentriques, et si ces circonférences font partie de la figure mobile, elles glissent sur elles-mêmes. Les droites riemanniennes qui passent par les centres de rotation C et C forment une famille de circonférences orthogonales aux précédentes ; cette famille se déplace sur elle-même, en ce sens que l'une de ses droites prend la place d'une autre.

b"" Porter une distance riemannienne AB (fig. 4) à partir d'un point C sur une droite CF.

Fig, 4.

Il s'agit d'amener la droite AB en CD par une rotation riemannienne. Le point A décrira un arc de cercle A G ; soient AT et T G les tangentes (inconnues) à ce cercle ; menons aussi les tangentes AH et G H aux deux droites. L'angle BAT doit

être éfçal à l'angle DCT', car après la rotation, le premier angle prend la place du second ; on en conclut que le quadrilatère euclidien H ATC est inscriptible au cercle ; on trouve le cercle circonscrit en menant une circonférence par les trois points H AC ; le point T est au milieu de l'arc AC. Le centre euclidien du cercle décrit par le point A, dans le mouvement de rotation, se trouve à l'intersection des normales euclidiennes AS et S C. On peut alors résoudre le problème proposé, en déterminant l'un des centres riemanniens du cercle S A; on joint ce centre E aux points A et C par deux droites riemanniennes, ce qui donne l'angle de rotation ; on joint E B et l'on construit l'angle en BED. Toutes ces opérations se ramènent à des constructions euclidiennes que nous avons indiquées précédemment. On arrive plus rapidement au but en construisant l'axe radical UV des cercles riemanniens concentriques au cercle G A (7, 3"). Tirons les droites euclidiennes A G Y et V B ; puisque le point V est sur l'axe radical des cercles A G et B D décrits pendant la rotation riemannienne, nous trouverons un second point B' du cercle B D en traçant un cercle euclidien par les trois points AC B. Le cercle B D est un cercle qui passe par les points B et B' et dont le centre se trouve sur OS; on trace facilement ce cercle et l'on obtient le point D.

8. Cercle riemannien dont les centres et les rayons sont partout et la circonférence nulle part. Plaçons-nous d'abord dans l'espace à trois dimensions. Glierclions, par l'analyse, le lieu des points qui sont à une distance nulle du centre de la sphère de rayon k ; on obtient l'équation d'un cône imaginaire, c'est le cône isotrope. Dans un mouvement euclidien autour du centre O, ce cône isotrope glisse sur lui-même, car la distance au centre O est un invariant dans ce mouvement. Le cône isotrope coupe la sphère suivant le cercle de l'infini, car si^l'on prend un point ayant des coordonnées finies, sur une génératrice du cône isotrope, sa distance au centre O est nulle et il faut multiplier ces coordonnées par l'infini pour que cette distance devienne égale au rayon de la sphère. Ge cercle imaginaire possède aussi la ])ropriété de glisser sur lui-même dans un mouvement euclidien (juelconque. Gherchons la projection stéréographiqiie de ce cercle. Puisque les points du

cercle s'échappent à rinfini, les lignes qui les projettent du point P seront parallèles aux génératrices du cône isotrope ; elles formeront un nouveau cône isotrope de sommet P ; c'est la trace de ce cône sur le tableau qu'il faut chercher. Soit r la • distance d'un point de cette trace à l'origine O ; la distance de cette trace au point P est :

r* + fc* ;

or, cette distance doit être nulle en vertu de la définition du cône isotrope ; on a donc :

r* = — fc* ;

ainsi le cercle de centre O et de rayon fc i glisse sur lui-même dans tous les mouvements riemanniens. Si, par exemple, nous faisons tourner le plan autour d'un point quelconque C, le cercle imaginaire glissant sur lui-même doit avoir le point C^pour centre riemannien ; on peut donc dire que le centre de ce cercle est partout. Toute droite riemannienne est par conséquent un rayon, et la circonférence imaginaire dont il s'agit doit lui être orthogonale. Enfin, cette circonférence étant imaginaire, elle n'est réellement nulle part. Nous retrouvons ainsi les propriétés que nous avons démontrées précédemment avec plus de détails.

9. Points cycliques indépendants du rayon. — Considérons un mouvement de rotation autour d'un axe mené par le centreO ouunm">uvement sphérique autour d'un centre G (et de son opposé). Nous avons déjà fait remarquer que les plans des cercles décrits pendant la rotation se coupent sur une droite à l'infini qui détermine deux points X, Y de la sphère, communs aux circonférences concentriques. Ces points sont immobiles pendant la rotation, car ils sont déterminés de la même manière avant et après la rotation. 11 y a donc en réalité trois axes fixes ; un axe réel O C et deux axes imaginaires O X et O Y. Si par le centre de la sphère, on mène un plan perpendiculaire à l'axe OC, ce plan coupe le cône isotrope suivant deux droites immobiles, car ces droites sont les intersections de deux surfaces invariantes pendant la rotation ; ces droites, qui sont les

droites isotropes du plan, sont donc les droites O X et O Y. Les trois droites OC, OX, O Y, sont intimement liées Tune à l'autre ; le mouvement euclidien autour de O est défini par une certaine transformation linéaire et homogène ; les droites immobiles dans cette transformation, dépendent d'une équation du troisième degré. On trouve une droite réelle et les deux droites isotropes du plan perpendiculaires à la droite réelle : ce sont les droites OC, OX, OY. En projection stéréographique, les points X et Y sont les points communs à toutes les circonférences riemanniennes de centre C ; ils dépendent de ce centre, mais ils sont indépendants de la grandeur du rayon^ La droite euclidienne XY est Taxe radical euclidien commun à toutes ces circonférences ; c'est la droite réelle TU (flg. 2) que nous avons utilisée dans nos constructions. Si Ton imagine une rotation riemannienne autour du point C, toutes les circonférences glissent sur elles-mêmes, mais les points imaginaires XY restent immobiles. Quand le centre C varie de toutes les manières possibles, les droites OX et O Y engendrent le cône isotrope, donc les points XY du plan se trouvent sur le cercle euclidien de centre O et de rayon fci ; ce cercle, dont le centre riemannien est partout, appartient d'ailleurs à toutes les familles de circonférences riemanniennes concentriques et les X • groupes de points X Y se trouvent à la circonférence de ce cercle. Si l'on mène les droites riemanniennes C X et C Y, ces droites restent immobiles dans la rotation riemannienne autour deC; ce sont les droites riemanniennes isotropes du point C. La limite relative du mouvement riemannien d'une ligure infiniment voisine de C est un mouvement euclidien ; donc les tangentes en C aux droites CX etCY sont les droites euclidiennes isotropes du point C.

La considération de la figure de l'espace conduit à une nouvelle construction de l'axe radical euclidien commun à toutes les circonférences riemanniennes concentriques à une circonférence donnée. Puisque les points X, Y de l'espace s'échappent à l'infini, les lignes projetantes PX, PY sont parallèles à OX etOY ; le plan PXY est donc parallèle au plan OXY, c'est-àdire au plan du cercle donné; la trace du plan PXY sur le tableau est donc la droite euclidienne XY du tableau, c'est-à*

dire Taxe radical cherché. On peut trouver cette trace par la géométrie descriptive. Prenons le tableau comme plan vertical de projection ; prenons comme plan horizontal un plan O S (fîg. 2) normal au tableau ainsi qu'aux plans des cercles concentriques. En rabattant ce plan sur le tableau, on obtiendra, en vraie grandeur, la section faite par ce plan sur la sphère ainsi que les rayons PR, PR' qui projettent les points de la circonférence AS situés dans ce plan ; on en déduit la trace horizontale RR' du plan de cette circonférence ; la trace horizontale du plan PXYest la droite PU parallèle à RR'; on obtient immédiatement la trace verticale UT de ce plan, c'est Taxe radical clierché. Cet axe radical peut otre aussi considéré comme l'une des circonférences riemanniennes concentriques ; c'est, dans l'espace, la circonférence déterminée par le plan PU, UT ; sa projection stéréographique se confond avec la trace de son plan, parce que le centre.de projection est dans son plan.

Cette construction permet aussi de trouver la perspective I du centre du cercle AS de l'espace; ce centre est évidemment le milieu de la corde RR' ; le point I se trouve sur la droite qui joint ce milieu au point P. On reconnaît immédiatement que les points U et 1 sont réciproques dans le cercle AS ou que I est le pôle de la droite UT par rapport à ce cercle, car les droites PU, PI, PR, PR', forment un faisceau harmonique. La propriété de l'axe radical commun , d'être la polaire commune des perspectives des centres des cercles résulte aussi de la considération de l'espace; la droite de l'infini commune à tous les plans des cercles est évidemment la polaire de tous les centres ; cette propriété doit se retrouver en perspective. ;

10. DlstnnceH riemanniennes, — On obtient la distance riemannienne entre deux points en joignant ces deux points par une droite riemannienne et en mesurant la longueur de l'arc correspondant de la sphèr^?. On peut résoudre ce problème par la géométrie descriptive, mais on arrive plus facilement au but en utilisant le théorème suivant.

Théorème, On donne deux droites riemanniennes qui so coupent en A ; à un point B de l'une des droites (fig. 5), on fait correspondre un point C tel que les dislances riemanniennes A B et AC soient égales ; je dis que la droite euclidienne 13C

passe par un point fixe F cjui est le centre euclidien de la bissectrice riemannienne de l'angle B A C.

En effet, dans l'espace, les deux droites riemannîennes sont (les grands cercles ; le plan bissecteur des plans de ces deux f^rands cercles est un plan de symétrie ; la droite B C est la

droite qui joint deux points symétriques, elle est perpendiculaire au plan de symétrie et, par conséquent, parallèle aux génératrices du cylindre circonscrit à la sphère le long de la bissectrice. En perspective, les droites parallèles passent par un point de fuite et ce point est le centre euclidien de la bissectrice. Ce point F s'obtient en menant la bissectrice extérieure euclidienne de l'angle BAC et la bissectrice analogue pour l'angle opposé A' ; il se trouve aussi sur la perpendiculaire élevée au milieu de A A'.

Ce théorème est applicable à deux droites quelconques ; mais pour mesurer une distance B D ([uelconcpie, nous prendrons, comme seconde {droite riemannienne, la circonférence de centre o et de rayon k ; la distance B D est égale à la distance G E ; or, l'arc C E se confond avec sa projection stéréogra-

phique, il suffit do;nc de mesurer C E au moyen d'un mètre circulaire euclidien. On peut aussi mesurer Tangle G O E au moyen du rapporteur et en déduire la longueur de l'arc C E par un petit calcul. On peut évidemment, en utilisant la droite de rayon k et le mètre circulaire, porter des distances sur une droite quelconque, multiplier ou diviser les distances par une quantité quelconque, mais l'application du calcul aux distances ne constitue pas une construction de géométrie pure.

Remarques. — Si deux voyageurs riemanniens partent de A avec la même vitesse et parcourent les deux droites A B et A C, un observateur euclidien placé en F verra constamment les deux voyageurs dans le même alignement. Il est possible également de placer un observateur riemannien, c'est-à-dire un observateur qui verrait suivant les droites riemanniennes, de telle manière que les deux voyageurs lui paraissent dans le même alignement ; il faut alors placer l'observateur sur l'un ou l'autre des centres riemanniens de la bissectrice riemannienne de l'angle B C. En effet, la droite riemannienne B G forme un triangle isocèle A B C ; la droite B C est normale à la bissectrice de l'angle A et passe par les deux centres de cette bissectrice.

Remarquons aussi que l'on pourrait réunir les points B et C, D et E, par des circonférences riemanniennes de centre A ; cette construction serait la plus simple, si l'on disposait d'un conoipas riemannien conforme à la géométrie que nous considérons ; mais quand on ne dispose que d'instruments euclidiens, la j construction basée sur le point F est la plus simple. i

11. Distances égales sur une même droite. — On donne un point A (lig. 6) sur une droite riemannienne ; à un point B, on fait correspondre un point C tel que les distances rieman niennes A B et A C soient égales ; je dis que la droite euclidienne B C passe par un point fixe F qui se trouve à l'intersection des tangentes euclidiennes à la droite au point A et à son opposé A'. En effet, les droites A C et A B forment un angle égal à deux droits ; la bissectrice euclidienne extérieure est la tangente A F ; de même, la tangente A' F est la bissectrid extérieure de l'angle opposé. En vertu du théorème précédent, la droite B G passe par le point F. On peut démontrer directemen

cette proposition, en remarquant que, dans l'espace, la droite B G est parallèle aux tangentes en A et en A' ; en perspective, ces trois droites passent par un môme point.

Fig. 6.

Dans l'espace, le point F se trouve à l'infini, c'est-à-dire sur Ja polaire du centre O. En perspective, cette polaire devient l'axe radical commun à tous les cercles concentriques à la droite donnée ; c'est aussi la polaire du centre euclidien de la droite par rapport au cercle de centre O et de rayon fc i.

12. Prohlèmes, — 1" Mener une droite riemannienne perpendiculaire au milieu d'une autre droite CB (fig. 6). Soient A le milieu inconnu de la droite G B, A' l'opposé de A ; la droite euclidienne BG et la droite B'G' qui joint les opposés de B et de G, doivent passer par le point F ; ce point F est donc déterminé. On trouve les points A et A' en menant les tangentes FA et FA' à la droite donnée ; on obtient la perpendiculaire ciierchée en traçant un cercle euclidien du point F comme centre avec SA pour rayon.

2" Porter une distance G D sur la même droite G D à partir d'un point donné B.

Soient encore A le milieu de la droite GB, A' l'opposé de A, F le point de rencontre des tangentes A F, A' F à la droite. Les droites BG, DE, B'G' doivent passer par F ; on trouve ce point

én menant les droites BG et B'C ; on détermine le point ïî en tirant la droite FD.

3' Porter une distance AB sur une autre droite riemannienne à partir d'un point quelconque G de cette droite. Nous avons déjà résolu ce problème (7, 5", fig. 4) ; on peut aussi porter le segment AB dans une certaine position sur la nouvelle droite, en appliquant la construction indiquée (fig. 5) pour porter BD en GE ; on est alors ramené au problème précédent.

4** On peut se proposer de porter, sur une circonférence riemannienne, une suite de points équidistants.

Soit A (fig. 7) un point d'une circonférence riemannienne ; à un point B, on fait correspondre un point G tel que les arcs AB et A G soient égaux ; la droite euclidienne BG

passe par un point fixe, car les droites B G de l'espace sont parallèles aux tangentes au cercle au point A et au point diamétralement opposé A' ; en perspective, ces droites passent par un môme point F. On pourrait obtenir le point A' en menant un diamètre riemannien par A, c'est-à-dire une normale riemannienne à la circonférence ou une droite passant par lo

centre riemannien et le point A ; mais il est plus simple de chercher la perspective I du centre du cercle de l'espace ; on obtient ce point par la construction indiquée précédemment. On remarquera que le point F est conjujçué du point I dans la circonférence donnée, le point F se trouve sur la polaire de I qui est Taxe radical euclidien de toutes les circonférences concentriques à la circonférence donnée.

Pour porter l'arc riemannien A B en A C, on tire A I A' ; on trouve F ; le point G est sur la droite euclidienne F B.

Pour porter l'arc A C en C D, on tire G I G', on trouve F' en menant les tangentes F G et F' G' ; le point D se trouve sur la droite euclidienne F' A. Au moyen des points F et F', on peut trouver une suite indéfinie de points équidistants. Le point F donne les points D et H ; en revenant au point F, on déduit les points E et K des points D et H, et ainsi de suite.

On peut aussi mener une perpendiculaire riemannienne au milieu d'un arc B G. On trouve le point F en joignant les points B, C et leurs opposés B' et G' sur la circonférence, par deux droites euclidiennes ; on mène la tangente F A et du point F comme centre, on décrit une circonférence euclidienne avec F A pour rayon. Il est facile de voir que cette circonférence est le diamètre riemannien qui passe par les points A et A', car A F et A' F sont deux rayons euclidiens de ce diamètre puisque ce dernier est normal en A et en A' à la circonférence donnée.

13. Trigonométrie. — Les formules du triangle sphérique sont applicables au triangle rectiligne riemannien, puisque les cotés, les angles, la surface de ce triangle doivent être mesurés sur la sphère. Dans la géométrie riemanienne que nous considérons, le triangle rectiligne riemannien est un triangle plan formé par trois arcs de cercle de puissance — k* par rapport au centre O ; les angles sont les angles euclidiens, mais les côtés doivent être ramenés, par une construction connue (10) sur la droite riemannienne vue en vraie grandeur euclidienne; de sorte que si la droite BD de la figure 5 est le côté d'un triangle, les lignes trigonométriques relatives à ce côté s'appliquent à l'angle GOE. La surface du triangle est égale à l'excès spliérique

iilultiplié par la moitié du carré du paramètre.; maïs ce n'est pas la surface euclidienne du triangle, c'est l'intégrale des éléments de surface euclidienne multipliés par une variable égale au carré du rapport de similitude que nous avons désigné par i.

14. Problèmes sur le triangle. — Les éléments principaux d'un triangle riemannien sont les côtés a, />, c, et les trois angles A, B, G ; on peut se proposer de construire un triangle riemannien, connaissant trois de ses éléments. Lorsqu'on donne trois côtés ou deux côtés et un angle, la construction du triangle est analogue à celle d'un triangle rectiligne ordinaire ou d'un triangle sphérique ; les arcs de cercles qu'il faut tracer sont des

Fig. 8.

arcs de cercles riemanniens, mais nous savons les construire par le compas euclidien. Nous prendrons successivement les autres cas.

Construire un triangle riemannien connaissant un côté et deux angles. Lorsque les angles donnés sont adjacents au côté connu, le problème revient à mener deux droites faisant des angles donnés avec une droite connue ; nous avons résolu ce problème précédemment. Prenons donc le cas où l'on donne un côté AB (fig. 8), l'angle A, l'angle G. On connaît le côté AB; au moyen de l'angle A, on peut construire la droite A D sur laquelle se trouve le sommet G ; il s'agit alors de mener, par le point B, une droite riemannienne faisant un angle donné G avec une droite donnée AD. On peut résoudre ce problème en construisant le pôle absolu de la droite inconnue B G. Ge pôle se trouve d'abord sur la polaire du point B. Ensuite, les droites GB et GA faisant un angle G, leurs pôles se trouvent à une distance fc G ; on cherche le pôle de AG, les pôles de toutes les droites qui coupent la droite A D sous un angle G se trouvent sur une circonférence riemanienne ; on construit l'angle G en A D E, on cherche le pôle de D E ; on obtient un point de cette circonférence ; comme son centre riemannien est connu, on peut la tracer ; elle coupe la polaire du point B au pôle de la droite BG ; on peut alors tracer cette dernière.

Mais le problème proposé peut être résolu par une méthode beaucoup plus simple. Soit ABG le triangle inconnu ; construisons l'angle G en A DE; donnons au triangle riemannien ABG un mouvement riemannien tel que le côté A G glisse sur AD, le point G venant en D ; le point B décrit une circonférence riemannienne concentrique à la droite AD; on peut tracer cette circonférence en utilisant l'axe radical commun qui est ici la polaire du centre euclidien de AD par rapport au cercle de centre O et de rayon fc î ou la polaire de O dans le cercle A D. Remarquons que dans ce mouvement, l'angle E B G vient se placer en HED; la droite BG est donc déterminée par Tangle EBG qui est égal à l'angle connu HED. Si l'on mène les tangentes euclidiennes ET, BT à la circonférence EB, ainsi que les tangentes EB et BR aux droites ED et BG, le quadrilatère RETB est inscriptible au cercle. Le point R s'obtient donc sur

la droite connue E R, en menant une circonférence par les trois points ET B. Connaissant la tangente B R, on trouve aisément le centre euclidien de la droite B C ; il se trouve sur la normale à BR et il est à égale distance du point B et de son opposé.

Proposons-nous, enfin, de construire un triangle rieniannien, connaissant les trois angles A, B, C.

Nous placerons (fig. 9) le sommet C au centre O de la sphère

Fig. 9.

idéale; les côtés OA et OB sont des droites euclidiennes. La droite AB est une circonférence de puissance — fc* par rapport à l'origine. Supposons le problème résolu; soit S le centre euclidien de la droite AB, le paramètre fc est la perpendiculaire O K à O S ; menons les tangentes AT et BT à la droite, les directions de ces tangentes sont déterminées par les angles A et B ; Tangle extérieur de ces tangentes est précisément l'excès sphérique du triangle. Il est facile de voir que Ton peut

construire une ligure semblable à la ligure inconnue ; on peut même dire que Ton peut construire la ligure elle-même, si Topérateur peut choisir à sa guise le centre O et le paramètre fc. En effet, construisons l'angle B en DBT; prenons BT arbitrairement ; construisons l'excès sphérique en ATE, portons TA égal à T B; construisons l'angle A en TA F ; les droites A F et BD se coupent en un point O; traçons ensuite la circonférence qui touche les droites AT et TB ; le centre S se trouve k l'intersection des normales AS et BS; menons enfin la droite OK perpendiculairement à O S et prenons O K comme paramètre. Il est évident que le problème est résolu; la circonférence A B est une droite riemannienne, car sa puissance par rapport a l'origine est — fc' ; les angles A et B sont égaux aux angles donnés par construction; enfin, l'angle AOB se déduit de la somme des angles du cpuidrilatère OATB, et l'on reconnaît qu'il est égala Cà cause de la valeur donnée à l'angle ATE par construction.

Si l'on donne un autre centre O et un autre paramètre / , il suffit de transformer la figure par une homothétie déterminée par le rapport de similitude et deux points homologues.

On peut demander de mesurer les côtés ou de construire 5 les angles

abc

K IÇ K

il suffit de rapporter les côtés sur la droite rieniiinnienne de rayon A. Pour obtenir le côté fc, on mène le diamètre M G' perpendiculaire à OA ; on tire MA ; on obtient b en mesurant C'A' par un mètre euclidien ; on obtient l'angle correspondant en A' OC. Cette construction résulte de ce que la bissectrice de l'angle extérieur formé par la droite H AO et la droite H KC est précisément H M. On trouve les deux autres côtés et les angles correspondants de la même manière.

Nous remarquerons que la construction de la figure 9 donne une résolution très simple du trièdre euclidien déterminé par ses trois angles ; c'est un résultat indépendant de la géométrie riemannienne ; c'est une perspective spéciale du triangle sphérique qui correspond au trièdre.

La simplicité de la construction provient de la position particulière que nous avons donnée au sommet G. On peut simplifier les autres problèmes de la même manière ; ainsi, si l'on donne deux côtés et l'angle compris, on construira l'angle en AOB ; on portera les côtés OxV et OB et l'on joindra les points A et B par une droite riemannienne ; on aura immédiatement l'excès sphérique en ATE et l'on déduira la surface. Si, au lieu de donner les côtés O iV et O B en position, on donne les angles correspondants, on les portera en C O A' et G O B" et l'on en déduira les points A et B. Legendre a donné une construction de l'excès sphérique d'un triangle sphérique déterminé par deux côtés et l'angle compris, mais elle exige le calcul d'une expression trigonométrique ; la construction qui précède appartient à la géométrie pure.

Il y a d'autres positions du triangle riemannien qui simplifient certains problèmes; ainsi, le problème de la figure 8 serait immédiatement résolu, si l'on prenait la droite AD sur la droite riemannienne de rayon k ; on reconnaît facilement que la rotation riemannienne de B G en D E est une rotation euclidienne autour de O ; le point B décrit une circonférence euclidienne autour de O ; l'angle DO G est alors égal à l'angle EO B, ce qui détermine le point G.

Quand on exige que le triangle riemannien soit dans une position déterminée, en se donnant un sommet et la droite sur laquelle se trouve un côté adjacent, on peut d'abord construire le triangle dans la position la plus favorable ; il suffit de transporter un côté sur la droite donnée et d'utiliser les angles adjacents pour obtenir le triangle définitif.

On peut aussi utiliser les positions les plus -favorables du triangle riemannien pour démontrer certains théorèmes. Exemple: on demande le lieu géométrique des sommets des triangles riemanniens qui ont môme base et même surface. Nous placerons la base en O A (fig.9), le lieu du point B est une droite euclidienne passant par l'opposé F du point A ; en efîet, l'excès sphérique, qui reste constant, est l'angle 2 AFB. Or, la droite euclidienne FB est une circonférence riemannienne qui l)asse par le point F op[)osé de A et l'infini qui est l'opposé de O, Si donc, le triangle est amené dans ime position quelcon-

que, le lieu géométrique du sommet est une circonférence qui passe par les opposés des extrémités de la base.

15. Propriétés diverses. — Toutes les propriétés de la géométrie sphérique sont applicables à la géométrie riemannienne ; à toute figure, on peut faire correspondre une autre figure qui en est la polaire absolue, de sorte que toute propriété en fournit généralement une seconde. Toutes ces propriétés peuvent être considérées comme des propriétés de la géométrie plane euclidienne ; il suffit de ramener les distances sur le cercle de centre O et de rayon k et de remplacer l'expression droite riemannienne par circonférence orthogonale à la circonférence de centre O et de rayon fc i. On peut môme dire : circonférence orthogonale à une circonférence fixe, car le centre O est quelconque, le paramètre fc est aussi quelconque, et nous verrons plus loin que fcî pnut être réal (géométrie lobatschewskienne). Les propriétés de la géométrie de position et les propriétés qui ne contiennent que les angles sont les plus intéressantes, car elles sont applicables sans aucune réticence. Nous nous bornerons à quelques exemples (i).

Si d'un point S extérieur à un cercle riemannien dont l'un des centres est G, on mène une sécante qui coupe la circonférence riemannienne en deux points A et B, on a :