SA .SB

tg Y^ X tg -^ = constante.

Pour démontrer cette proposition, on se donne les côtés S G, G A et l'angle S du triangle SGA; on demande le côté SA. On applique la formule fondamentale de la trigonémétrie qui contient les trois données et le côté inconnu x par le sinus et le cosinus de l'angle qu'il mesure ; en exprimant le sinus et le cosinvis par la tangente de la moitié de l'angle, on trouve une équation du second degré qui indique que le produit des racines est indépendant de l'angle S ; comme les valeurs de x qui répondent à la question sont S A et S B, la formule est démontrée.

(i) On trouvera de nombreusos propriétés de la géométrie sphérique dans les Levons de trigonométrie par A. Camhier, Bruxelles, Gastaigne.

Pour trouver la propriété corrélative, considérons un cercle riemannien décrit dans le sens de la flèche (fig. 10) et une droite riemannienne fixe S ; par un point de cette droite, menons des tangentes riemanniennes A et B ; on a :

constante.

Fig. 10.

En effet, le cercle considéré est l'enveloppe de ses tangentes ; on donne à ces tangentes riemanniennes le sens qui correspond au sens du cercle ; les pôles de ces tangentes se trouvent sur un cercle concentrique ; les rayons des deux cercles sont complémentaires. (Si le sens du cercle changeait, le cercle polaire serait remplacé par son opposé.) Les pôles de la droite fixe et des tangentes A et B donnent : un point fixe S et deux points A et B sur une môme droite. On peut donc appliquer la proposition connue. Quand les pôles ^décrivent les droites SA et SB, les polaires] tournent enfdécrivant les angles bien déterminés SA et SB ; cela démontre le théorème. On a aussi :

SA = •:: — a , SB -= ? ; la formule peut encore s'écrire

tg -2- : tg -^ = constante.

Si, d'un point S,} on mène deux sécantes SAB, S DE à un cercle, on a :