SA SB SD SE

^Yk- '^Yk- -^ Yk ' ^«tk '

c^est la condition pour que le quadrilatère ABDE soit inscriptible au cercle ; dans le quadrilatère circonscrit, on a :

Cette dernière propriété appartient à la géométrie euclidienne pure ; il suffît de dire que les côtés A, B, D, E du quadrilatère et la diagonale S sont des circonférences orthogonales à une circonférence fixe ; le quadrilatère est rectiligne quand la circonférence fixe est à l'infini. Dans la figure 10, nous avons supposé k assez grand pour que les droites riemanniennes soient approximativement des droites euclidiennes'.Nous ferons la même hypothèse dans la figure suivante.

L'axe radical riemannien de deux cercles est la droite riemannienne qui passe par les points d'intersection A et B réels ou imaginaires des deux cercles; si d'un point S de l'axe radical I, on mène des tangentes aux deux cercles, les quatre tangentes sont égales. Cette proposition s'obtient en appliquant la propriété des sécantes, à la sécante S A B et à l'une des quatre tangentes. Nous obtiendrons facilement la propriété corrélative.

Considérons deux cercles riemanniens décrits dans un sens déterminé (fig. 11) ; il y a deux tangentes communes en position et en sens ; par leur point d'intersection I, menons une droite

Fig, 11.

rîemannienne quelconque S. Dans la figure réciproque, les points A et B sont les points d'intersection des circonférences réciproques ; le point S et les points A et B se trouvent sur la polaire de I ; cette droite S AB est Taxe radical ; le point I est son pôle. Les quatre tangentes égales menées par S aux deux circonférences réciproques, mesurent les 4 angles sous lesquels la droite S coupe les deux cercles donnés ; ces quatre angles sont donc égaux. Le point I, au point de vue des angles, peut être considéré comme un centre de similitude, quoiqu'il n^ »it pas de similitude en géométrie riemannienne. L'axe radical est normal à la ligne des centres ; donc cette ligne des centres CC passe par le centre de similitude. Si l'on change le sens de l'un des cercles, on obtient deux autres tangentes communes et un autre centre de similitude ; il n'y a pas contradiction dans la figure réciproque ; le changement de sens du cercle C, par exemple, aurait pour effet de conduire à un autre cercle réciproque opposé du premier ; de sorte que les points A et B ne sont plus les mêmes.

On démontre facilement que les axes radicaux riemanniens de trois cercles se coupent en un même point qui est le centre radical. Gomme proposition corrélative, on trouve que les centres de similitude de trois cercles riemanniens sont sur une droite riemannienne qui est la polaire du centre radical. On trouve quatre de ces droites en changeant le sens des cercles donnés.

Ces propriétés appartiennent à la géoniétrie euclidienne pure ; il suffit de dire que les lignes A, B, S de la figure 11 sont des circonférences orthogonales à une circonférence fixe ; le centre de similitude des deux cercles est le point d'intersection des deux circonférences de cette espèce qui touchent le cercle ; les centres de similitude de trois cercles sont sur une circonférence de même espèce. Il est bien évident que les opposés des centres de similitude sont aussi des centres de similitude. Les propriétés des axes radicaux sont aussi des propriétés de la ; géométrie euclidienne pure, mais quand on parle de tangentes | égales, il est sous-entendu qu'il faut ramener ces tangentes sur une certaine circonférence cpii peiit même devenir imaginaire lorsque li est imaginaire. i

16. Coordonnées, — Nous pouvons (fig. 1) déterminer les points de la sphère en prenant les trois axes rectangulaires x^ X, X, ; les trois coordonnées d'un point satisfont à l'équation

Les coordonnées a;, y de la projection stéréographique s'obtiennent par les équations

JE.. = Ji^ ^ ^...^ = , (2).

Réciproquement, connaissant les coordonnées x, y d'un point du plan, on peut trouver les coordonnées dii point correspondant de la sphère ; on tire d'abord les coordonnéees x„, x,, x, en fonction de À par les équations (2) ; on trouve / en exprimant que ces coordonnées satisfont à l'équation (1). Nous poserons

on trouve :

et ensuite

fc' — r' i

Au moy^n des formules (5) et en utilisant (4), on peut former l'expression de l'élément linéaire ds de la sphère; on trouve :

ds' =- À* {dx' + dy')

d'où l'on peut démontrer que la représentation stéréographique est une représentation conforme.

17. Coordonnées homogènes, — Puisque les coordonnées ordinaires x, y d'un point du plan peuvent être calculées, quand on donne les coordonnées x,,, x,, x,, on peut considéror ces dernières comme des coordonnées d'un point quelconque

du plan; le point du plan est donc déterminé par trois coordonnées satisfaisant à l'équation (1). On peut aussi déterminer un point du plan ou de la sphère en donnant trois quantités a, h, c proportionnelles à x,, x,, Xo ; ces trois quantités peuvent être choisies arbitrairement, mais leurs rapports seuls interviennent dans la détermination du point ; on a alors :

Il ^^ T) '^ 'c ^ '' '

on trouve p en exprimant que les coordonnées satisfont à l'équation (1) ; on obtient :

On voit que trois coordonnées homogènes déterminent deux points opposés de la sphère ou deux points opposés de la géométrie riemannienne. Les coordonnées homogènes sont les coefRcients de direction d'un rayon de la sphère; il y a deux points de la sphère sur ce rayon prolongé dans les deux sens. 11 n'est pas nécessaire de changer de notation pour passer aux coordonnées homogènes, il suffit d'écrire

et deux autres équations semblables ; dans le second membre, on peut faire varier les coordonnées dans un rapport constant ; on peut donc les considérer comme des coordonnées homogènes. Les coordonnées Xo, x,, x, sont alors les coordonnées d'un point quelconque d'un rayon de la sphère. On peut aussi adopter la coordonnée vectorielle

e =^ Xo Uo -{- X, u, H- X. îi,,

les M représentant les vecteurs unités dirigés suivant les axes de l'espace ; la longueur du vecteur e est k ou quelconque, selon que Ton adopte des coordonnées ordinaires ou homogènes.

Toute ligne du plan peut être représentée par une équation homogène, car cette ligne correspond à une ligne de la sphère,

et cette dernière peut être considérée comme la directrice d'un cône dont le sommet est au centre O de la sphère ; l'équation de ce cône est l'équation homogène de la ligne donnée. Il faut cependant remarquer que ce cône coupe la sphère suivant deux courbes opposées , à moins que la branche unique soit ellemême son opposée. Les équations homogènes représentent donc des courbes riemanniennes telles qu'à chaque point correspond un autre point qui est son opposé. On peut dire aussi que ces courbes se reproduisent par une inversion euclidienne de paramètre — fc*.

Une courbe riemannienne est dite d'ordre n, quand elle est représentée par une équation homogène de degré n. Si l'on change les axes coordonnés ou si l'on donne à la courbe un mouvement rieniannien sans déformation, le degré de l'équa-

Fig. 12.

iLon ne change pas, car les formules de transformation Sont linéaires et homogènes. La courbe d'ordre ri est coupée par une droite riemannienne quelconque en n paires de points opposés ; en effet, l'équation de la droite est du premier^degré ; il y a deux rapports de coordonnées à déterminer; en éliminant l'un de ces rapports, on trouve une équation de degré yi ; il y a donc n rapports et pour chacun d'eux, une paire de points riemanniens opposés.

18. Interprétation riemannienne des coordonnées. — Imaginons dans l'espace un système quelconque de trois axes rectangulaires ; ces axes déterminent les sommets y„, y,, y, d'un triangle riemannien tri-rectangle (fig. 12). La coordonnée y„ d'un point A est

Yo = k cos -^^''';

c'est le cosinus de la distance au sommet yo, le cosinus étant pris linéairement dans un cercle de rayon fc. Les trois coordonnées sont donc les cosinus des distances du point aux trois sommets d'un triangle tri-rectangle. Si du point A, on abaisse une perpendiculaire riemannienne AB sur le côté y, y., on a aussi