AB
yo = fc sm — - — ;
il faudra donner un signe à la distance AB. Les trois coordonnées sont donc aussi les sinus des distances du point aux trois côtés d'un triangle tri-rectangle. Dans les traités de géométrie non euclidienne on adopte ordinairement les coordonnées de Weierstrass ; on considère deux droites riemanniennes rectangulaires y«y,,yoy, ; les coordonnées y, y, sont les sinus des distances à ces deux droites ; mais la troisième coordonnée est
yo Ayo
j, ^ __^ .. eos -^ .
Ces coordonnées sont introduites sans faire allusion à la sphère ; la relation entre les trois coordonnées est déduite de la trigonométrie riemannieime. L'avantage de la nouvelle coordonnée p est qu'elle est toujours réelle tandis que y^ devient imaginaire avec k dans la géométrie lobatschewskienne. Au point de vue où nous nous plaçons, il vaut mieux conserver les trois coordonnées ordinaires du point de la sphère ; nous emploierons souvent la coordonnée vectorielle.
— solo. Interprétation euclidienne des coordonnées. — Soient : a, />, c les cosinus de directions de l'axe yo (fig. 12) par rapport aux axes primitifs x^ x, x, ; on a :
Xo = aœ, + bœ^ + cx^.
Remplaçons x^, x,, x^ par leurs valeurs tirées des équations (5) ; on a :
/ / . fc' — r* \
ro - ^ [^2ax + 2/)y + c j^ J-
En égalant cette valeur à zéro, on obtient l'équation euclidienne de la droite riemannienne y, y, ; on reconnaît que la droite riemannienne est une circonférence de puissance — A* par rapport à l'origine. On trouve facilement les coordonnées du centre euclidien et le rayon euclidien ; ce dernier est :
fc
le rayon positif s'obtient en prenant un signe convenable ; nous prendrons
fc
en donnant au rayon un signe contraire à c ; la valeur de y^ peut s'écrire
Yo = "2" ^'
Y^ désignant la puissance euclidienne de la droite y, y, par rapport au point dont on veut déterminer les coordonnées. On peut faire le môme raisonnement pour les deux autres coordonnées et dire que les coordonnées homogènes y^ y, y, sont des quantités proportionnelles aux puissances euclidiennes des côtés du triangle de référence, divisées par les rayons eu'clidiens de ces côtés.
Lorsque le triangle de référence est x„ x, x, , deux côtés sont des droites euclidiennes et la définition des deux coordonnées circulaires correspondantes devient illusoires. Mais on trouve directement par les formules (5) ou en donnant des valeurs
convenables aux cosinus de la valeur Yo, que les coordonnées homogènes Xo x, x^ sont proportionnelles à.
fc« — r*
fc
On pourrait prendre comme coordonnées les X ou les Y euxmêmes, mais alors il y a une relation entre les trois coordonnées d'un point, cette relation est facile à établir ; elle n'est pas homogène. On peut en faire abstraction en prenant comme coordonnées homogènes des quantités proportionnelles aux X ou aux Yx.
20. Formule de la distance. — La distance de deux points est la longueur de l'arc de grand cercle qui joint les points correspondants de la sphère ; en la divisant par fc, on obtient l'angle des rayons de la sphère qui passent par les deux points. Soient : e et e' les vecteurs de ces points, l la distance ; on a
cos — - ^ - ^-^'o+-^-^^' + ^ - ^'* m^
cos ^ - ^^^ - -— (b>
En remplaçant les coordonnées sphériques par leurs valeurs tirées, des formules (5), on a :
^^^ 17 = -rr- \ i'^' + yy' +
Soient : <^ l'angle des rayons vecteurs euclidiens r et r', d la distance euclidienne des deux points, on a :
X X -{- y y = r r cos c^ = — ' •
En portant cette valeur dans le cosinus de la distance, on trouve après quelques calculs
cos — = 1 ^ -- .y (8)
sin
