M. J. NASSAU

INGÉNIEUR EN CHEF, DIRECTEUR DES PONTS ET CHAUSSÉES PROFESSEUR A L*UNIVERSITÉ DE GAND

Suite (l)

21. Géométrie du point et de la droite, — Prenons le centre de la sphère idéale comme origine des coordonnées vectorielles ; réquation d'un plan passant par l'origine est

èâ= (10);

e est la coordonnée vectorielle d'un point du plan, a est un vecteur normal à ce plan. Cette équation représente aussi un grand "cercle, quand on sous-entend que le poiùt est sur la sphère ; c'est donc l'équation d'une droite rieraannienne. On peut supposer indifféremment que a et e sont des vecteurs homogènes ou des vecteurs ordinaires de points de la sphère. Le vecteur a est la coordonnée de l'un des pôles absolus de la droite : c'est la coordonnée de la droite.

On peut remplacer l'équation (10) par une équation analytique; le premier membre devient une fonction linéaire et homogène des coordonnées d'un point de la droite ; les trois

(i) Voir Annales des Ingénieurs de Gand, 1904, pp. 393-456

coefficients sont les coordonnées du pôle absolu ou les coordonnées de la droite. Lorsque la droite passe par un des sommets du triangle de référence, son pôle absolu se trouve sur l'un des côtés de ce triangle ; l'équation se réduit à deux termes. Ainsi l'équation

r. =rotg-^ (11)

représente une droite passant par le sommet y, et coupant normalement l'axe yo y, en un point distant du point y© d'une longueur c.

Le rapport anharmonique de quatre points d'une droite est, par définition, le rapport anharmonique du faisceau des rayons de la sphère qui passent par. ces points ; on sait que ce rapport s'exprime par un double rapport de sinus ; ces sinus sont les sinus des distances des points de la droite. On sait que les bissectrices d'un angle divisent cet angle harmoniquement, et que réciproquement les rayons orthogonaux qui divisent un angle harmoniquement, sont les bissectrices de cet angle ; on en conclut que dans une division harmonique, les conjugués sont à une distance d'un quadrant quand l'un de ces points est le milieu de la droite riemannienne, et réciproquement.

Posons les équations

p^= m a-|-7ifc, q d = ma — nb ;

les quatre vecteurs déterminent un système harmonique de

quatre points. En effet, les équations conservent la même

forme, si l'on suppose que les points sont déterminés par des

coordonnées vectorielles non homogènes ; prenons alors les

moments de la première équation par c et les moments de la

seconde par d. Les moments ont même direction et leurs

valeurs algébriques sont proportionnelles aux sinus de l'angle

des deux facteurs ; on en conclut que les deux rapports de sinus

sont respectivement

— et ;

le double rapport est donc égal à — 1.

On sait que le rapport anharmonique d'un faisceau de rayons est conservé en perspective ; le rapport anharmonique de quatre points d'une droite riemannienne est donc le rapport anharmonique des rayons euclidiens qui joignent le point O à ces quatre points ; le double rapport se ramène à un simple rapport en menant une sécante euclidienne parallèle à un des rayons.

Le rapport anharmonique de quatre droites riemanniennes concourantes est celui des quatre plans de l'espace ou des tangentes euclidiennes menées au sommet du faisceau ; il s'exprime par un double rapport de sinus ; il est égal au rapport anharmonique des quatre points que l'on obtient en menant une sécante riemannienne quelconque ; il est aussi égal au rapport anharmonique des quatre pôles des droites. Les vecteurs qui satisfont aux deux équations précédentes peuvent être considérés comme les coordonnées vectorielles homogènes de quatre droites d'un faisceau harmonique.

23. Equation de la circonférence. — Soient : R le rayon riemannien, a la coordonnée vectorielle du centre, e la coordonnée vectorielle d'un point de la circonférence ; on a :

cos -,- = —77-

Cette équation n'est pas homogène ; elle le devient en écrivant :

cos — ,- =

ou:

a* cos* —r- = [e a )*

Cette équation homogène représente les deux cercles opposés. Elle peut être écrite analytiquement ; on obtient une équation homogène du second degré. Si l'on prend le centre du cercle comme sommet yo du triangle de référence, on obtient :

y: + y\- yl %' t'

L'équation non homogène s'écrit :

Yo =- k cos -Y '■

24. Courbes du second degré. — L'équation la plus générale d'une courbe du second degré est celle d'un cône du second degré de l'espace ; on peut la mettre sous la forme :

2F(Xo, x„ X,) = 1 a,, X. X, = 0.

La somme s'étend aux arrangements des trois indices avec répétition ; la permutation de deux indices ne change pas la valeur du coefficient ; chaque produit de deux coordonnées est répété deux fois, mais les carrés ne sont pas répétés.

En coordonnées vectorielles, cette équation prend la forme :

on a :

(pT= d"f.

La fonction linéaire '^ est autoconjuguée, c'est-à-dire que l'on a:

25. Tangentes et polaires. — Appliquons l'équation (12) à un point a ; différentions et divisons par 2 ; on a :

Nous obtiendrons la droite riemannienne qui a même équation différentielle au point a, en posant :

d a = e — a; on trouve :

C'est l'équation de la tangente. Cette équation exprime la relation entre le point de contact d'une tangente et un autre

point de cette tangente ; elle ne change pas quand on permute les deux vecteurs. Supposons donc que a soit un point quelconque du plan, réquation (13) sera satisfaite par les points de contact des tangentes à la courbe menée par le point"a ; si e est la variable, cette équation représente la corde de contact ou la polaire du point a.

Si un point b est sur la polaire de a, on a :

Fcpô'^O (14);

Comme on peut permuter les deux vecteurs, le point a est aussi sur la polaire h ; ces deux points sont dits conjugués. Ils forment avec le pôle de la droite qui les joint, un triangle autopolaire.

Menons une droite riemanienne par deux points conjugués ; le vecteur d'un point quelconque de cette droite s'exprime par :

Nous trouverons les points d'intersection de la droite et de la courbe, en exprimant que e satisfait à l'équation (12) ; on trouve, en tenant compte de l'équation (14) :

On trouve deux rapports m : n égaux et de signe contraire ; donc les points d'intersection divisent harmoniquement la droite qui joint les points conjugués.

26. Coordonnées tangentielles. — D'après l'équation (13), la coordonnée de la tangente à la courbe au point a est :

on en tire

Exprimons que a décrit la courbe, nous aurons

C'est réquation de la courbe en coordonnées tangentielles ; on peut dire aussi que c'est l'équation de la polaire absolue de la courbe. La coordonnée de la polaire d'un point a est aussi

e = 9 a; si le point décrit une courbe quelconque

F (â) ^ 0, on a

c'est l'équation en coordonnées tangentielles de la polaire de la courbe donnée, par rapport à la courbe du second degré.

27. Droites conjuguées. — Exprimons que le pôle d'une droite a se trouve sur la droite p ; nous trouvons

comme on peut permuter les vecteurs, le pôle de p se trouve aussi sur la droite a ; ces deux droites sont dites conjuguées. L'angle de deux droites conjuguées est divisé harmoniquement par les deux tangentes à la courbe menées par le sommet de l'angle. En effet, la polaire de ce sommet détermine sur les deux droites deux points conjugués qui divisent harmoniquement la corde de contact. On peut aussi dire que toute droite passant par le sommet de l'angle a une coordonnée de la forme

en exprimant que c'est une tangente à la courbe, on trouve une équation qui donne deux rapports m : n égaux et de signe contraire.

28. Centres et axes. — Les fonctions q> et '| définissent une transformation linéaire de l'espace qui admet un système de trois droites doubles trirectangulaires. Pour un vecteur dirigé suivant l'une de ces droites doubles, on a

Prenons les droites doubles comme axes coordonnés; les équations de la courbe en coordonnées ponctuelles et en coordonnées tangentielles, sont respectivement :

-^î- -f JlL + JlL = (17),

ffi gt go

g.t\ f ff. t;-f g-ot:«o (18).

Les axes coordonnés déterminent un triangle trirectangle qui est le triangle de référence. Il est facile de voir que les sommets de ce triangle et leurs opposés sont des centres de la courbe et que les côtés sont les axes ; en elîet, en changeant deux coordonnées de signe, on trouve un nouveau point de la courbe et Ton reconnaît aisément que la corde qui joint les deux points ainsi obtenus est divisée en deux parties égales par le sommet du triangle de référence qui correspond à la coordonnée invariable ; en changeant le signe d'une coordonnée, on trouve un nouveau point et la corde qui joint les deux points ainsi obtenus est divisée normalement en deux parties égales par le côté du triangle de référence qui correspond aux deux coordonnées invariables.

Si les coefficients de l'équation (17) avaient le même signe, la courbe serait imaginaii^e ; nous écartons ce cas. En changeant, s'il y a lieu, les signes de cette équation, nous pouvons supposer qu'un seul coefficient est négatif, et nous donnerons l'indice zéro à ce coefficient. On trouve alors deux sommets réels sur les axes qui passent par le centre y„ ; en désignant les demiaxes par a et A, l'équation (17) prend la forme

-^^ + —^ — y- OT

La somme des carrés des coordonnées est égale au carré du paramètre ; en éliminant la coordonnée d'indice zéro, on obtient l'équation non homogène

-TV^ + -^ = fc-. (20)

sm — sm*

fc k

L'équation (19) représente, dans l'espace euclidien, un cône du second degré ; en faisant la coordonnée d'indice zéro égale

au paramètre, on obtient la section du cône faîte par le plan tangent à la sphère au centre de la conique sphérique. L'équation (20) est réquation de la projection orthogonale de cette conique sur le^nième plan tangent.

On peut transformer ces équations en introduisant les coordonnées polaires riemanniennes. Soient: r la longueur du rayon vecteur riemannien qui joint le centre yo au point de la courbe, l'angle de ce rayon avec l'axe y^ y, ; on trouve facilement, soit en projetant le rayon de la sphère sur les trois axes euclidiens, soit parla trigonométrie sphérique,

r yo= k cos -j^

r y^ ^ k sin ^ cos

k sin T" sîn k

Fig' i3.

Les équations (19) et (20) deviennent :

r cos • sin * .

r / cos» sin* \

Nous avons représenté (fig. 13) une conique riemannienne ; les axes réels sont A A' et BB' ; elle se compose de deux courbes fermées opposées l'une à l'autre ; nous n'avons représenté qu'une de ces courbes.

Les propriétés relatives aux centres et aux axes peuvent aussi se déduire des propriétés des polaires. En effet, la polaire d'un point situé sur une droite double de la fonction 9 a pour coordonnée

? a = - ou a ;

donc la polaire de ce point se confond avec la polaire absolue. Le triangle de référence est donc autopolaire au point de vue absolu et au point de vue de la courbe. Menons une corde ED par le point y^ ; cette corde est divisée harmoniquement par le point yo et sa polaire y, y, ; or, la distance jo R des deux points conjugués est un quadrant ; donc le point y^, est le milieu de la corde ; ce point yo est donc un centre de la courbe. Prolongeons DR jusqu'en un certain iioint E' opposé du point E; la corde DE' est aussi divisée harmoniquement par les points yo et R; donc les cordes D E', perpendiculaires au côté y^ y,, sont divisées par ce côté en deux parties égales ; ce côté est donc un axe de la courbe.

Tout axe de la courbe est la bissectrice de l'angle des tangentes menées par un point de cet axe. En effet, soit R un point de l'axe y, y, ; les droites y, y, et R y» sont des conjuguées orthogonales ; elles sont donc les bissectrices de l'angle des tangentes, car elles divisent cet angle harmoniquement.

La polaire du point R de Taxe y, y, passe par le pôle yo de cet axe. Cette polaire est le diamètre conjugué à toutes les cordes qui passent par R. Sauf le cas du cercle, cette polaire n'est pas la polaire absolue du point R ; les cordes qui passent par R sont divisées harmoniquement par leur diamètre conjugué, mais ne sont pas divisées en deux parties égales.

29. Constructions de la conique riemannienne. — La conique riemanienne déterminée par ses deux axes réels peut s'obtenir par deux constructions imitées de la construction de l'ellipse euclidienne. On décrit deux circonférences sur les axes comme diamètres ; on mène, par le centre, un rayon qui coupe les deux circonférences en deux points M et N (fîg. 13); par ces points, on mène des perpendiculaires aux axes ; ces perpendiculaires se coupent en un point de la courbe. On obtient une autre construction en menant par lés points M et N des parallèles aux axes, c'est-à-dire des circonférences concentriques à ces axes ou lignes équidistantes de ces axes.

Pour le démontrer, soit G l'angle du rayon yo MN avecle grand axe ; les coordonnées du point N sont :

a Xo = k cos -z-^

y, = k sin - cos G,

y, ----= i. sm -ç sm G.

La perpendiculaire à l'axe a, menée par N, passe par le point y 3 ; son équation est de la forme :

en exprimant que cette droite passe par le point N, on obtient : — =-tg^ cose.

On trouve, de la même manière, que l'équation de la perpendiculaire à Taxe b menée par M est

— =. t« -^ sin 0.

En éliminant entre ces deux équalians, on retrouve l'équation (19).

Pour démontrer la seconde construction, on écrit les équations des parallèles aux axes menées par N et M. La parallèle à Taxe b menée par le point N a pour équation :

a y^ ^ k sin -j— cos G ;

la parallèle à l'axe a menée par M a pour équation :

b y, »= fc sin — sin ;

en éliminant 0, on retrouve l'équation (20).

Ces deux constructions peuvent être faites au moyen du du compas euclidien ; les perpendiculaires aux axes passent par leurs pôles et sont déterminées par deux points ; les parallèles aux axes sont des circonférences riemanniennes déterminées par leur centre et un point; nous avons résolu tous ces problèmes. Nous n'avons indiqué, sur la figure, que la première construction.

Les parallèles aux axes de la seconde construction peuvent encore être construites d'une manière très simple. Joignons le centre euclidien du grand axe au point N ; nous déterminerons un second point N' de la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre riemannien. Je dis que la parallèle menée par N au petit axe passe par N'. En effet, au point de vue euclidien, la parallèle au petit axe et la circonférence décrite sur le grand axe sont orthogonales au grand axe, et l'on en déduit facilement que l'axe radical de ces deux circonférences passe par le centre euclidien du grand axe ; la droite qui joint ce centre au point N est cet axe radical et passe par le second

point d'intersection N\ Les centres euclidiens de toutes les parallèles au petit axe se trouvent sur la droite Oy^ ; le centre de la parallèle qui passe par le point N s'obtient en menant une perpendiculaire euclidienne sur le milieu de NN'. On simplifie encore la construction en remarquant que le ^e\i des milieux des cordes NN' est une circonférence facile à construire. On remarquera aussi que, dans la position particulière que nous avons donnée aux axes, les parallèles au grand axe ont leur centre euclidien au point O.

30. Classification des coniques, — Il semble qu'il n'existe qu'un seul genre de conique riemannieniie ; on peut toujours choisir un centre par lequel passent deux axes réels, et la courbe ressemble à une ellipse euclidienne. Mais on peut considérer le paramètre k comme très grand et admettre que le domaine accessible est à l'intérieur d'un cercle dont le rayon est un demi quadrant. Si les demi axes a et A sont plus petits qu'un demi quadrant, on dira que la courbe est une ellipse et l'on prendra y^ comme centre principal. Si le demi grand axe est plus grand qu'un demi quadrant, on prendra le point y, comme centre principal, et l'on dira que la courbe est une hyperbole.

On peut aussi convenir de prendre le centre principal sur la droite double qui correspond à la constante dont la valeur absolue est la plus grande, et donner aux constantes des indices qui les rangent par ordre de grandeur décroissante. L'équation de la courbe peut toujours se mettre sous la forme (19) ; les valeurs absolues des carrés des tangentes sont plus petites que l'unité ; les longueurs des demi axes sont réelles ou égales à des quantités réelles multipliées par i. Lorsque l'axe 2a est un quadrant, la courbe est une parabole si l'autre axe est réel. La conique se réduit à un cercle si les axes sont égaux ; elle se réduit à deux droites quand l'une des constantes g est infinie.

31. Foyers, directrices, coniques homofocales. — On appelle foyer, un point tel que tout système de rayons orthogonaux passant par ce point soit un système de droites conjuguées relatives à la conique donnée ; la directrice est la polaire du foyer.

Les coordonnées de deux droites conjuguées orthogonales satisfont aux deux équations :

La coordonnée de la conjuguée orthogonale d'une droite p s'exprime par le moment

Mlfp;

cette conjuguée orthogonale est unique et déterminée, sauf quand la droite donnée est un axe. Dans ce dernier cas,

toutes les normales sont des conjuguées.

Des deux équations des conjuguées orthogonales, en retranchant de la première, la seconde multipliée par un paramètre /, on déduit

11 résulte de là que l'équation en coordonnées tangentielles

représente une famille de coniques ayant les mêmes conjuguées orthogonales et par conséquent les mêmes foyers.

Toute droite autre qu'un axe touche une des coniques homofocales, car l'équation (21) donne une valeur réelle et unique de / pour une valeur donnée de la coordonnée tangentielle. La conjuguée orthogonale est la normale au point de contact. En considérant une quelconque des coniques, la conjuguée orthogonale s'obtient en abaissant du pôle de la droite donnée une perpendiculaire à cette droite. 11 résulte de là que le lieu des pôles d'une droite par rapport à toutes les coniques homofocales, est la conjuguée orthogonale de cette droite.

Si, par un point quelconque du plan, on mène des tangentes à Tune des coniques, les droites conjuguées qui passent par ce

point, sont les droites qui divisent liarmoniquement l'angle des tangentes ; les bissectrices de cet angle sont donc les conjuguées orthogonales qui passent par le sommet. Par tout point du plan, on peut mener deux conjuguées orthogonales; les coniques qu'elles touchent passent par leur point de rencontre ; donc, par tout point du plan, il passe deux coniques homofocales qui se coupent normalement.

Prenons pour axes coordonnés de l'espace, les droites doubles des fonctions cp ou '| ; ce sont aussi les droites doubles de la fonction '\i — X et les constantes sont diminuées de / ; l'équation (21) devient

(ST. - » t: + (g-, - 1) t\ + (go - /) tl = 0.

Donnons à À la valeur g*, qui correspond au grand axe réel ; on obtient

Cette équation se décompose en deux équations linéaires ; on trouve deux faisceaux de droites passant par deux points F et F' (flg. 13) du grand axe. Des coordonnées de ces points, on déduit leur distance c au centre ; on obtient

a cos —

cos

Ces points sont des foyers, car toute droite passant par l'un d'eux est une tangente ; le point de contact est le sommet du faisceau ; la normale est une conjuguée orthogonale. Les tangentes menées du foyer à l'une des coniques homofocales, sont leurs propres conjuguées et par conséquent leurs propres perpendiculaires ; ce sont donc les droites isotropes ; cette propriété caractérise aussi les foyers.

En écrivant l'équation de la polaire du foyer F, on obtient la directrice correspondante ; on obtient une normale au grand axe distante du centre d'une longueur c' donnée par l'équation

En donnant à X des valeurs égales aux deux autres constantes, on obtient deux paires de foyers opposés sur les deux autres axes ; on trouve

i tg 9 = cos — ,

cos — 1— '^

c, désignant la distance au centre des foyers du petit axe et G l'angle que fait avec le grand axe la droite qui joint le centre aux foyers de Taxe de longueur imaginaire. Ces foyers sont imaginaires.

La droite^ui joint deux foyers situés sur deux axes différents passe par un foyer du troisième axe ; le pôle absolu de cette droite est sur la circonférence de Finfini (de centre O et de rayon euclidien ki). Poui^lémontrer cette proposition, il suffit d'écrire les équations des foyers en coordonnées tangentielles ; en éliminant l'une des coordonnées entre deux équations, on trouve la troisième. Le vecteur qui satisfait aux trois équations a son carré égal à zéro ; il est sur le cône isotrope.

32. Propriétés. — 1° Les rayons qui joignent le foyer au point de contact d'une tangente et au point d'intersection de cette tangente et de la directrice, sont orthogonaux. En effet, ces rayons sont conjugués.

2^ La tangente est la bissectrice de l'angle formé par les rayons qui joignent le point de contact aux deux foyers. En effet, les conjuguées orthogonales qui passent par un point du plan sont les bissectrices de l'angle des tangentes menées par ce point à l'une des coniques homofocales. Prenons comme conique, la conique qui se réduit aux deux foyers; les tangentes sont les rayons qui joignent le point du plan aux deux foyers; les bissectrices de l'angle de ces rayons sont donc les conjuguées orthogonales passant par le point et par conséquent les tangentes aux deux coniques homofocales qui passent par ce point. Dans la conique que nous avons représentée (fig. 13), la tangente est une bissectrice extérieure quand on prend les foyers F et F' à l'intérieur de la courbe; la tangente serait une bissectrice intérieure si l'on remplaçait l'un de ces foyers par son opposé.

3° Si Ton prend comme coordonnées les distances r et r' du point aux deux foyers F et F', l'équation de la courbe est:

Si Ton prend comme coordonnées les distances r et s du point de la courbe au foyer et à la directrice correspondante, l'équation de la courbe est :

sin -^ =71 sin — (25),

71 étant un rapport constant.

On peut vérifier ces propriétés par l'analyse ; on peut aussi traduire, par l'analyse, les équations (24) et (25) et montrer que ces équations se ramènent à l'équation (19), quand on choisit convenablement les axes (i). Enfin on arrive aussi à ces équations en exprimant, par des équations différentielles, les deux propriétés de la tangente que nous avons démontrées plus haut. Pour y arriver, on considère un point de la courbe et un point infiniment voisin, on construit les accroissements des coordonnées r, r', s, et l'on passe aux limites relatives dans l'espace. Les différentielles des coordonnées sont les projections orthogonales de l'élément linéaire de la courbe. A cause de l'égalité des angles formés par la tangente et les rayons du foyer, on a :

dr + dr'=0.

Le rapport entre dr et ds s'exprime par un rapport de cosinus ; on trouve la valeur de ce rapport par la considération des deux triangles sphériques rectangles qui ont pour hypothénuse commune le segment de la tangente compris entre le point de contact et la directrice et dont les sommets de l'angle droit sont respectivement au foyer et sur la directrice. On trouve ainsi que la différentielle logarithmique du rapport n de l'équation (25) est égale à zéro.

(i) Voir : Kllling, die nicht-euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung.

La propriété exprimée par l'équation (24) peut être généralisée ; on remplace les foyers par une des coniques homofocales ; on fait rouler deux droites riemanniennes sur cette conique de telle manière qu'elles passent par le point qui engendre la conique donnée ; r et r' sont les distances de ce point à deux points fixés sur les droites mobiles. La démonstration par les limites relatives est à peine changée.

33. Excentricité et paramètre. — En géométrie euclidienne, le rapport n est l'excentricité ; la demi-corde p, menée par le foyer normalement au grand axe, s'exprime simplement en fonction des axes ; on peut trouver des formules analogues pour la conique riemannienne.

Les deux sommets A et A' (fig. 13) du grand axe divisent harmoniquement la distance F H du foyer à la directrice ; on en déduit deux rapports de sinus égaux à 7i ; en prenant la somme et la différence des termes de ces rapports, on obtient deux autres rapports égaux à n. L'égalité de ces rapports conduit à la relation (23). En prenant le produit de ces derniers rapports, on trouve :

sin — r-

sin —r-

En éliminant & entre les valeurs de n données par ces mêmes rapports, on trouve, après quelques calculs.

cos — 7k

tg'

sin* -rk

Dans l'ellipse, le grand axe est plus petit qu'un quadrant, le rapport n est plus petit que 1; dans l'hyperbole, le grand axe est plus grand qu'un quadrant, le rapport n est plus grand que 1 ; enfin dans la parabole, le grand axe est égal à un quadrant et le rapport n est égal à l'unité.

La demi-corde p menée par le foyer normalement au grand axe est donnée par la formule :

tg^' (28).

Pour démontrer cette formule, on écrit Téquation de la corde ; c'est réquation (11) du n° 21. L'extrémité de la corde satisfait aussi à réquation (19). En éliminant y,, on trouve une seconde équation linéaire ; les rapports des coordonnées de l'extrémité de la corde sont déterminés. On exprime alors le cosinus de la demi-corde par la formule qui donne la distance de l'extrémité de la corde au foyer; on exprime le sinus par la coordonnée y, ; on en déduit la tangente. En éliminant les rapports des coordonnées, on trouve la formule (28).

34. Equation focale. — On peut adopter la définition suivante : le foyer est un point dont le sinus-distance à un point quelconque de la courbe est une fonction linéaire. des coordonnées de ce point. Cette fonction linéaire est proportionnelle à la distance du point à une droite fixe. On peut donc dire que le foyer est défini comme un point tel qu'en le prenant comme origine, l'équation de la courbe puisse se mettre sous la forme (25). Soient : c et d les coordonnées vectorielles non homogènes du foyer et de la directrice ; e la coordonnée homogène du point de la courbe ; on a :

cos^

ek

l'équation (25) élevée au carré devient :

k^ e* — (ë ëy — M* (ë dy = (29).

C'est cette équation qu'il faut identifier à l'équation générale

de la conique. Nous nous contenterons de montrer que le foyéi* nouvellement défini satisfait à la première définition. L'équation (29) se met sous la forme générale (12) en prenant :

La coordonnée de la polaire du foyer est :

c'est la coordonnée homogène de la directrice. La polaire d'un point e de la directrice a pour coordonnée

cp e = A* e — c (e c).

La coordonnée de la droite qui joint le foyer au point de la directrice est

Mec.

On reconnaît immédiatement que le produit de ces deux coordonnées est nul ; les droites conjuguées menées par le foyer sont donc orthogonales.

35. Équation en coordonnées polaires, — Prenons comme coordonnées le rayon vecteur r mené du foyer au point de la courbe et l'angle 9 que fait ce rayon avec le grand axe. Posons

Prenons provisoirement un triangle de référence déterminé par le foyer F, le grand axe prolongé et la polaire absolue de F. En d'autres termes, faisons tourner les axes de l'espace autour de l'axe O y, de l'angle mesuré par c. Les coordonnées du pôle de la directrice, dans l'ordre des indices, sont

k sin 0), — k cos w, d.

On a :

s Yo sin (ù — y, cos co .

sin — = T 9

L'équation (25) donne

r Vo sin w — r, cos «

sm — =- n ^^^ TT^

Or, on a

yo = « cos ,

y = /j sin — cos 6.

En portant ces valeurs dans l'équation de la courbe, on trouve

r n sin oa

^ "^ ~ 1 -\- n cos co cos '

Cette équation peut s'écrire

*«X.= l+ecose <^0>'

Le paramètre p est' la valeur de r qui correspond à une valeur de 9 égale à un droit; il est donné par la formule (28). En donnant à 6 les valeurs et x, les rayons vecteurs sont connus; on trouve deux équations ; en éliminant p, on a le rapport e sous la forme

On a aussi

sin

. 2a sm — k

n sin w

71 COS w *= e ;

d'où Ton tire

7i« - e' + tg« -^ (32).

36. Autres constructions de la conique. — On demande de construire une conique, connaissant deux foyers et un point de la courbe. On applique Téquation (24) ; on obtient des valeurs correspondantes de r et r' en portant des distances égales (10) à partir du point donné sur les rayons qui joignent ce point au foyer ou leur prolongement ; les points de la courbe se trouvent à l'intersection des cercles riemanniens tracés des foyers comme centres avec r et ?'' pour rayons ; ces cercles peuvent être tracés par le compas euclidien (7, 10).

On peut aussi construire une conique passant par cinq points, en appliquant l'hexagone de Pascal. Le théorème de Pascal est applicable sur la sphère parce qu'il est vrai pour une section plane du cône qui détermine la conique sphérique ; il est donc aussi vrai en géométrie riemannienne. Les droites riemanniennes qui se coupent sur la conique peuvent être tracées par le compas euclidien.

37. Composition des niasses (i). — Soit a le vecteur d'un point de la sphère idéale ou la coordonnée vectorielle d'un point A ; attribuons une masse m à ce point ; le vecteur-masse du point est le vecteur

Le vecteur-masse d'un système de points est la somme des vecteurs-masses de tous les points. Deux systèmes de points sont équivalents quand ils ont même vecteur-masse. Le centre

(i) Cette méthode est rapplication de celle que nous avons employée pour l'espace euclidien (cours de Mécanique, 2"" fascicule, pages 463-469). Les coordonnées homogènes sont considérées comme les coordonnées d'un point d'un espace à une dimension de plus. En géométrie euclidienne, la masse est une coordonnée ou la distance à un plan ; pour les géométries non euclidiennes, on prend comme masse la distance au centre de l'hypersphère divisée par le paramètre.

des masses est un point unique équivalent au système donné ; son vecteur-masse est

Les masses forment un système nul si Ton a

Le moment d'un système par rapport à une droite riemannienne est la somme des produits des masses par leurs sinusdistances à la droite ; le moment d'un système n'est pas changé par une composition ou une décomposition. En effet, la projection du vecteur-masse sur un axe n'est pas changée ; prenons pour axe la droitie qui joint le centre de la sphère idéale au pôle absolu de la droite riemannienne ; les projections sont les produitsjdes masses par les cosinus-distances au pôle ou par les sinus-distances à la droite.