Relèvement des courbes. — Le relèvement de

oourbes tracées par le style reTenant, comme on Ta va y a une quadrature, il est facile de l'exécuter par les méthodes connues; mais, attendu la longueur de ce trayail^ il convient d'employer des moyens expéditifs. Le premier que j'aie mis en usage consiste dans l'emploi d'une glace de o^'^So de longueur, divisée dans le sens de cette * dimension et sur toute sa longueur par des ordonnées équidistantes de centimètre en centimètre, et dans le sens de sa hauteur, qui est de o"^,o8, par des parallèles à son grand côté distantes de 2 en a millimètres. On pose cette glace, par sa face divisée, sur la bande de papier, bien étendue sur une table, en plaçant la ligne inférieure sur celle du zéro. Puis, à l'aide d'un curseur en cuivre, gradué en millimètres, on lit les valeurs des ordonnées correspondantes à chaque abscisse. On a ainsi toutes les flexions de centimètre en centimètre. Le même moyen peut aussi servir à les prendre de 5 en 5 millim.

Ayant ainsi les ordonnées, correspondantes à des abscisses équidistantes, on peut, par les méthodes connues et en particulier par celle de Simpson , obtenir la quadrature ou la surface comprise entre la courbe, la ligne du zéro et les ordonnées extrêmes. Puis, comme on opère habituellement à des allures réglées où les variations d'efforts ou de vitesse étant périodiques il importe de déterminer l'effort moyen, on obtiendra sa valeur en divisant la surface trouvée par la longueur totale de la partie correspondante de la bande de papier, ce qui donnera l'ordonnée moyenne ou la hauteur du rectangle de même base et de même surface que la courbe. Connaissant le rapport constant des flexions aux efforts, on en déduira de suite l'effort moyen exercé par le moteur.

Mais dans la plupart des cas, lorsqu'il s'agit de voitures ,

4b charrues ^ d^ bateaux traînés à des allures réglées y le grand nombre et la périodicité des ordonnées peitnet de se contenter de prendre la moyenne arithmétique des valeurs trouvées pour les ordonnées, pour la valeur de l'ordonnée moyenne , sans eflfectuer le calcul de la quadrature. Il est facile de vérifier qu'on obtient dans ce cas sensiblement la même valeur.

18. Manière de se dispenser du relàitement des COURBES. — Mais de ce qui précède il résulte une conséquence qui peut dispenser de tout relèvement et met cet instrumeni à la portée des personnes le moins versées dans le calcul. En effet, si l'on conçoit que parallèlement à la ligne du zéro on mène une ligne équidistante, correspondante à la plus grande tension du ressort, à o°*,070 par exemple, la bande d'une largeur uniforme représenterait une certaine quantité d'action ou de mouvement connue, et cette quantité serait évidemment à celle qui correspond à la courbe tracée, comme l'aire du rectangle de o"*,070 de hauteur est à celle de la partie comprise entre la courbe et la ligne du zéro; ou encore, attendu l'égalité de longueur des deux surfaces, l'effort correspondant à o'^jOyo de flexion est à l'effort moyen exercé par le moteur , comme l'aire du ' rectangle est àcelle de la partie comprise entre la courbe et la ligne du zéro.

Or le papier employé étant fait à la mécanique et ce procédé donnant une grande uniformité d'épaisseur à la même feuille, les deux surfaces à quarrer sont entre elles comme leur poids. Si donc on pèse la bande de o",070 de hauteur, puis qu'on découpe la courbe tracée et qu'on pèse la partie comprise entre cette courbe et la ligne du zéro, on aura cette proportion :

Le poids de la bande de o'",07o de largeur est au poids

de la partie comprise entre la courbe et lu ligne du zén^ comme l'efiort correspondant à o"',070 est à l'effort moyen du moteur.

Si y par exemple y Ton a employé un ressort de 600 kilog., pour lequel un accroissement de flexion de l'^^'^aS corresponde à un ef&rtde 10 kilog. ou 7omiII. à 56o kilog., en appelant

P le poi4ti de la bande de o^^oyo de largeur,

p le poids de la partie comprise entre la courbe et la ligne du zéro ,

F TefFort moyen cherché y on aura

F = 56o - kilog.

Pour chaque instrument on donnerait de même le nombre de kilogrammes correspondant à une flexion de o",070, et alors la recherche de l'efTort moyen se réduirait à celle du quatrième terme d'jane proportion.

Cette méthode simple et exempte de tout calcul est d'une exactitude supérieure aux besoins* de la pratique et qui dépasse même ce qUe l'on pouvait en espérer* Des releTements faits successivement par les deux procédés indiqués ci-dessus ont donné des valeurs de l'effort moyen qui s'accordent de -^ à j^ près.

19. Usage du planimètre pour la quadrature des COURBES. — Mais cette opération, qui n'exige que l'habitude de découper avec un peu d'adresse le contour des courbes y peut encore être remplacée avec avantage par l'emploi du planimètre de M. Ernst, instrument fort en usage parmi les géomètres du cadastre et auquel il suffit de faire subir quelques légères modifications pour l'approprier à ce genre de relèvement.

Quoique ce planiimètre soit connu y il ne sera sans

doute pas inutile de rappeler le plus succinctement pos^ sible le principe sur lequel il est fondé.

Planimbtre de m. Ernst. — Cet instrument se compose d'un cône bcb dont l'axe est incliné sur le plan de la table qui porte l'instrument, de façon que son arête supérieure soit parallèle à ce plan. Ce cône est monté à pointes sur deux supports fixés à une platine X, et sur son axe prolongé est une roulette aa, qui est pressée contre une bande LL, parallèle aux guides suivant lesquels peut glisser le plateau XX; de sorte que', quand on pousse cette platine en avant ou en arrière, dans le sens de LL, la roulette et le cône tournent et font un nombre de tours proportionnel au chemin parcouru.

Un compteur dont la pièce principale est une roulette dd verticale et perpendiculaire à l'arête horizontale supérieure du cône, tournant autour d'un axe parallèle à cette même arête, est monté à pointes sur une pièce à coulisses j(/ qui se meut avec la platine XX, mais cpii peut en outre recevoir un mouvement perpendiculaire à la bande LL, de façon que la roulette peut se rapprocher ou s'éloigner à volonté du sommet du cône. Le compteur reposant sur la surface du cône par son propre poids, on conçoit que, quand ce cône tourne, la roulette en fait autant, et il est évident que le nombre de tours qu'elle fait est toujours proportionnel, i". au nombre de tours du cône ou à la longueur du chemin parcouru dans le sens LL, et a"*, à la distance de la roulette au sommet du cône ou au produit de ces deux quantités.

Cela posé, supposons que la roulette étant au sommipt du cône, une pointe g placée sur la coulisse jfjf corresponde à une ligne RS parallèle au guide TX et soit sur le point R, il est évident que, si l'on pousse la platine XX, de façon que cette pointe suive exactement la ligne RS,

la roulette ne tournera pas, puisque la vitesse du sommet du cône est nulle ; mais si la pointe g" est en M et la roulette à une distance égale à MR = NS, lorscfue la pointe sera poussée de M en N, le nomlM'e de tours de la roulette sera proportionnel à la longueur RS, qui est la base du rectangle MNSR , et à la hauteur MR de même rectangle. Il le sera par conséquent à la surface de ce rectangle. De méme^ si Ton fait suivre à la pointe g la ligne OP, le nombre de tours de la it)ulette sei'a proportionnel à la surface du rectangle ORSP.

Maisy dans Texécution de l'instrument, on ne peut faire arriver la roulette jusqu'au sommet du cône, qui est supprimé 9 et il faut modifier un peu la manière d'obtenir la surface du rectangle à mesurer.

Supposons y par exemple, qu'il s'agisse de calculer la surface du rectangle OMNP. On amène d'abord la pointe g au-dessus de la ligne MN, en s'assurant qu'elle la suit bien exactement dans le mouvement de transport de la platine XX. On pousse alors tout l'instrument^ de façon que cette pointe g aille 4e M en N; la roulette du compteur fait alors, dans un certain temps, un nombre de tours proportionnel à la surface du rectangle RMNS; on tire ensuite la coulisse ^^ et on conduit la pointe g au-dessus du point P, et on ramène la platine XX en arrière de manière que la pointe g* suive la ligne PO. Dans ce mouvement rétrograde la roulette tourne en sens contraire et fait un nombre de tours proportionnel à la surface du rectangle ORSP, et comme dans ces deux nipuvements consécutifs elle a marché dans deux sens opposés, il est évident que le nombre définitif des tours qu'elle a faits est proportionnel à la dijQférence des deux rectangles ORSP et MRSN ou à la surface du rectangle OMNP.

Le mouvement de la roulette se transmet par des engrenages aux aiguilles de deux limbes, dont Tune d^ne les unités, dixaiues et centaines de millimètres quarrés, et l'autre les mille et dixaines de mille millimètres quan^és.

Ce que nous venons de dire, pour un rectangle s'applique exactement k la quadrature d'une sm^face terminée, comme dans les courbes tracées par les stj^les du dynamomètre , d'un côté par une ligne droite et de l'autre par une ligne courbe ondulée op, car chaque élément d cette surface u v j: ^ peut être regardé comme un petit rectangle, dont la base est ux et la hauteur la moyenne arithmétique entre wv et ay.

Pour procéder au relèvement d'une courbe , ou à ki quadrature de la surface MN/^o, on opère donc ainsi qu'il suit : on fixe la feuille de papier sous la planchette du planimètre , de façon que la pointe g étant reculée au plus près de cette planchette , elle suive exactement la ligne MN du zéro des efforts, quand on pousse le plateau XX dans le sens M en N . Cela fait , on ramène la pointe^ au-dessus de M, on soulève le compteur et on ramène à la main les aiguilles des deux limbes au zéro , on pose doucement la roulette sur le cône et on pousse la platine XX , de façon que la pointe g aille de M en N. On tire alors la coulisse ff^ pour amener la pointe g sur le point p^ puis, à l'aide du double mouvement qu'on peut lui imprimer, on suit exactement avec cette pointe toutes les sinuosités de la courbe, jusqu'à ce que la pointe g, soit parvenue en o. On lit alors sur les deux limbes le nombre de millimètres qnarrés contenus. dans la surface à quarrer, et, en la divisant par la longueur de la base MN, exprimée en millimètres, on a pour quotient l'ordonnée moyenne

ou la hauteur du rectangle de même surface , et par suite l'effort moyen exercé. ^.^

20. Observations sur les conditions a remplir pour obtenir des quadratures exactes avec le pla- NiMETRE. — La substitution d'un cône en bois.au cône de métal poli en usage dans le planimètre, a été le seul moyen d'obtenir des résultats exacts avec cet instrument dans ses proportions ordinaires. En effet y il est de toute nécessité, pour l'exactitude, que la roulette ne glisse pas sans rouler, ou que le frottement de glissement soit toujours plus grand que le frottement de roulement. Or, dans les proportions habituelles, la résistance au roulement éprouvée par la roulette du compteur est assez grande pour que le frottement de glissement de cette roulette en cuivre sur un cône de fonte ou d'acier poli lui soit inférieur, et il arrive alors que la roulette glisse en partie sans tourner,' d'où il résulte que le nombre de tours qu'elle fait n'est plus proportionnel à la surface à quarrer. La différence est d'autant plus considérable que la courbe présente des inclinaisons plus grandes par rapport à la base pu à la ligne du zéro. Les résultats suivants montrent l'exactitude de cette remarque , et feront sentir combien il importe de proportionner les résistances éprouvéesv par cet appareil.

Deux cônes, l'un en bois , l'autre en fonte polie, ont été ajustés, pour le même planimètre. Sur une base de o°*,3oo de longueur, partagée en lo, ensuite en 20 parties, on a construit d'abord 10, puis ao triangles de o'",o5o de hauteur. La somme des surfaces des 10 triangles dans un cas, ou des 20 dans l'autre, était donc égale à 7600 millimètres quarrés. On a aussi opéré sur trois triangles de o™,o9o de basé sur o"*,o5o de hauteur.

afin de reconnalti-e l'influence de l'obliquité des lignes suÏTÏes. Les résultat^ obtenus sont consignés dans le tableau suivant.

Taiteau des résultats comparatifs des quadratures faites au planimètre avec des cônes polis et non polis.

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ho de diara. j.Soo en boia, , ■ û ■

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