RS TS

pour la variation proportionnelle des fibres extrêmes :

GPc 3fb

an 3[0 :

” Eab? 2c? @) . et pour l'effort supporté par ces fibres :

RPC. 9 Efb Tan 2e (3)

La formule (1) montre que l’observation de la flèche f d’un barreau prismatique reposant sur deux appuis distants d’une Iongueur 2c et chargé d’un- poids 2P permet de calculer le module d’élasticité ou la raideur E; on en déduit en effet: -

Courbe des flexions. — Une seule expérience suffirait, à la rigueur, + pour ce calcul, si l’on suppose la raideur constante; mais si, au lieu de se contenter d’une seule épreuve, on charge le barreau de poids croissants, en mesurant à chaque fois la flexion correspondante, on pourra éliminer les erreurs accidentelles des mesures, et compenser les légères variations de la raideur ; on obtiendra ce résultat en construisant, comme nous l’avons supposé pour les essais d’extension, une courbe à l’aide des points obtenus en prenant les charges pour abscisses et les flexions par unité de longueur pour ordonnées.

Cette courbe devra se confondre d’abord avec une ligne droite passant par l’origine, puisque les flexions sont, au début, proportionnelles aux charges, et ce n’est que lorsque ces charges dépasseront la limite d’élasticité que la courbe s’écartera de la ligne droite. On sait d’ailleurs que, dans ce cas, les flexions augmentent plus rapidement que les charges, donc la courbe s’élèvera au-dessus de la ligne droite qui-se confondait d’abord avec elle et présentera sa convexité à l’axe des x.

Par analogie avec ce que nous avons développé au sujet des épreuves d'extension, on reconnait qu’une telle courbe, prolongée jusqu’au point correspondant à la charge de rupture, donnera à la fois :

Par l'angle « que forme avec l’axe des x la ligne droite qui peut la remplacer à l’origine, le module d’élasticité ou la raideur élastique à l’aide de la relation :

ab3 cotang a = + = E X Ps

Par le point où la ligne droite cesse de se confondre avec la courbe, la charge et la flèche qui correspondent à la limite d’élasticité ;

Par l’aire du triangle rectangle dont les ordonnées de ce point for- * ment les deux côtés, ce que l’on peut appeler la résistance vive d’élasticité de flexion, mesurant le travail nécessaire pour atteindre par flexion la limite d’élasticité du barreau;

Par l’aire totale de la courbe prise jusqu'au point correspondant à la rupture, ce que nous désignerons par la résistance vive de rupture par flexion, mesurant le travail nécessaire pour produire par flexion la rupture du barreau éprouvé;

Par le rapport de ces deux derniers nombres, le coefficient de sécurilé pour l’emploi du bois dans ces conditions;

Enfin, par les variations d’inclinaison de la tangente à la courbe, les variations successives de la raideur.

Relations entre les effets de flexion et les effets d'extension. — Mais de ces mesures on peut, de plus, déduire les renseignements Correspondants relatifs aux efforts d'extension ; il suffit, à cet effet, de recourir aux formules (2j et (3). |

Appliquée à la flèche f’ ee à la limite d’élasticité, la première :

donne l’allongement des fibres correspondant à la limite d’élasticité. La seconde : | |

LiGee. SEfb ab? 2 ç?

donne la traction dans le sens des fibres correspondant à cette même limite.

Si l’on applique cette dernière formule à la charge de rupture, on aura la résistance à la rupture par extension; toutefois, cette marche exige que la formule soit applicable encore au delà de la limite des allongements proportionnels ; or, nous avons vu qu’elle cesse d’être exacte dans ce cas, car elle suppose que la résistance à l'extension et la résistance à la compression restent égales, ce qui est loin de se réaliser quand on approche de la rupture.

Quoi qu’il en soit, et à défayt d’expériences précises, nous prendrons la valeur donnée par cette formule pour mesure conventionnelle de la résistance à la rupture par extension, bien qu'il paraisse à peu près établi qu’au moment de la rupture la résistance à l'extension pour les bois devient environ double de la résistance à la compression, de sorte que l’on devrait prendre, pour mesure de la résistance à la rupture

| l par extension, une valeur égale aux > de celle donnée par la formule, tandis que la résistance à la rupture par compression ne serait que

les : de cette même valeur.

En admettant que les formules ci-dessus s'appliquent dans toute

l'étendue des épreuves, on pourra aussi déterminer aisément, à l’aide des résistances vives d’élasticité et de rupture par flexion, les résistances vives d’élasticité et de rupture par extension correspondantes;

en effet, ces résistances vives sont représentées par la somme des produits de l'effort exercé Et et de Kalongement correspondant }',

c'est-à-dire par : ;

° | Z'abliNeit,

ou, d’après les formules données ci-dessus, par :

3Ef'b, 3 f'b (+ c? ne =) ou : | SD NR 0 hPes | Ga) ge abs r), ou enfin :

9 | nel)

Or E (Pf') représente ce que nous avons appelé la résistance vive de flexion, résistance vive d’élasticité si f’ est la flexion correspondant à la limite d’élasticité, résistance vive de rupturé si f’ est la flèche de rupture; donc on obtiendra les résistances vives d’extension, en multi-

: 9 rs pliant par —— les résistances vives de flexion correspondantes.

abc . On peut également, à l’aide des raideurs déduites de la courbe des flexions, déterminer les raideurs. qu’auraient données les expériences

d’extension, car en représentant par es’ la cotangente de l'angle que forme avec l’axe des x la tangente en un point de là courbe des flexions, on obtiendra la raideur à l'extension e par la formule :

Mesure des effets de flexion. — On voit, d’après ce qui précède, que les expériences sur la flexion suffisent à elles seules pour déterminer tous les éléments, relatifs aux propriétés élastiques des corps, qui pourraient être fournis par des expériences directes d’extension. Les épreuves de flexion sont d’ailleurs beaucoup plus faciles à exécuter que ces dernières, surtout sur des barreaux de bois, car elles donnent le moyen d'obtenir, avec des charges peu considérables, des déformations aisément mesurables, alorsmême que les dimensions des barreaux sont relativement considérables ; aussi a-t-on souvent recours à ce procédé pour étudier les propriétés élastiques des corps, et c'est celui que nous avons appliqué en Nouvelle-Calédonie.

Les appareils employés pour soumettre les barreaux de bois aux épreuves de flexion sont de deux sortes : les uns agissent par l’intermédiaire de leviers qui multiplient dans un rapport donné l’action des poids appliqués : les autres agissent par l’action directe de poids suspendus au milieu de la longueur des barreaux éprouvés.

Appareil de Rochefort. — Comme exemple des premiers appareils, nous donnons sur la planche VII le dessin d’une romaine établie d’après le type d’un appareil construit à la direction d’artillerie de Rochefort, sur les indications de M. Dufaure, chef d’escadron d’artillerie de la marine, mais dans le tracé de laquelle on a cherché à faire disparaitre quelques défauts que présentait ce dernier appareil.

Dans cette romaine, le barreau de bois, dont la section carrée a deux centimètres de côté, repose sur les angles arrondis de deux prismes en fer distants de 20 centimètres. Au milieu de la distance de ces deux points d’appui, un piston en fer, guidé dans une douille verticale et terminé à sa base par un prisme renversé, sert à transmettre l’effort au milieu du barreau. |

Cet effort est exercé sur la tête du piston par l'intermédiaire d’un levier qui amplifie, dans le rapport de 10 à 1, l’action des poids placés dans un plateau suspendu à son extrémité.

Un lévier coudé, dont le grand bras, en forme d’aiguille légère, se

déplace devant un cercle gradué, indique, en les amplifiant, les déplacements du piston et sert à mesurer les flexions du barreau.

Cet appareil, d’un maniement commode, a l’inconvénient de ne pas mesurer les efforts exercés avec une grande précision, par suite des variations qu'éprouve forcément la longueur du petit bras de levier et des frottements qui se produisent sur l’axe et dans la douille du piston lorsque ce dernier s’abaisse.

De plus, il ne permet d’essayer que des barreaux de dimensions trop faibles pour qu’il soit possible de rendre négligeables les causes d’erreurs dues auX* défauts d’homogénéité du bois, et aux irrégularités de débit et de préparation des échantillons soumis aux essais. Eu égard, en effet, aux dimensions des fibres des bois et, à celles des défauts apparents que présente leur structure, eu égard aussi à l'influence que de légères variations dans les dimensions de leur section peut avoir sur leur résistance, il est admis généralement que l’on ne doit pas -soumettre à des épreuves de résistance des barreaux dont la section ait moins de 4 centimètres de côté; c’est sur des barreaux de cette grosseur qu'ont été effectuées la plupart des mesures consignées dans les traités scientifiques, et si l’on voulait employer à de nouvelles recherches une machine du genre de celle qui vient d’être décrite, il conviendrait tout au moins d’en augmenter les dimensions, de façon à pouvoir l’appliquer aux essais de barreaux de 4 centimètres de côté et de 1 mètre de longueur entre les points d'appui.

Appareil de Nouméa. — La machine que j'ai employée en Nouvelle- Calédonie opérait sur des barreaux de cette dernière dimension; elle agissait, de plus, par charge directe et permettait d'accroître graduellement et sans chocs l'effort exercé sur le barreau, surtout dans le voisinage de la rupture. |

Cette machine est figurée sur la planche VIIT; elle se compose d’un chevalet AA dont les montants verticaux sont reliés, à leur partie supérieure, par deux traverses horizontales BB formant moises et suffisam- . ment écartées pour laisser passer entre elles le barreau à essayer.

Ce barreau repose sur les angles arrondis de deux prismes triangulaires en fer CG portés par les montants et distants exactement de 1 mètre.

Il est engagé dans un étrier renversé qui s’appuie également sur lui par un angle arrondi, et auquel se suspendent les poids destinés à opérer Jes efforts de flexion. Cet étrier glisse d’ailleurs entre deux guides ver-

us LORS

ticaux EE en bois qui le maintiennent au milieu de la longueur du barreau.

Pour opérer d’une manière commode le chargement du barreau, en

évitant les variations brusques nuisibles à la régularité des expériences, on employait une grande caisse rectangulaire en bois doublée de zinc F, qui, suspendue directement après l'étriér, pouvait être remplie graduellement d’eau à l’aide d’un robinet G alimenté par un réservoir supérieur.

Cette caisse était munie d'un flotteur qui, par l'intermédiaire d’une petite chaîne passant sur deux poulies, faisait mouvoir une aiguille K, qui parcourait une échelle graduée tracée sur le devant de la caisse et faisait connaître ainsi, à chaque instant, le poids total suspendu après le barreau. |

Pour faciliter la manœuvre de l’appareil et permettre de soulever aisément la caisse qui, même vide, pesait environ 63 kilogrammes, on avait placé à la partie inférieure une forte vis verticale terminée par un croisillon en bois O, sur lequel reposait directement la caisse. Cette vis s’engageait dans un écrou fixé sur le sol ; en la faisant tourner à la main, dans le sens convenable, on pouvait, au début des expériences, soulever suffisamment la caisse pour permettre de l’accrocher à l’étrier porté par le barreau d’essai. En tournant ensuite en sens inverse, on faisait descendre la vis, qui laissait la caisse suspendue après le barreau, constituant ainsi une charge initiale de 63 kilogrammes.

En laissant la caisse s’emplir d’eau, on pouvait porter graduellement cette charge à 250 kilogrammes. Ce poids n’étant pas suffisant pour provoquer la rupture de la plupart des essences, on avait d’ailleurs ajouté, sur les côtés de cette caisse, deux planchettes VV fixées soidement, et sur lesquelles on pouvait empiler des poids rectangulaires en plomb, pesant chacun 10 kilogrammes.

Comme ce n’est qu’à la fin des essais, et lorsque les barreaux ont |

pris déjà une flexion très -sensible, qu’il est dangereux de les charger brusquement , on commençait les expériences en plaçant les poids additionnels, et l’on terminait l'opération en augmentant la charge à l’aide de l’eau, lorsque la flexion obtenue (environ 2 centimètres) faisait connaître qu’il ne fallait continuer qu’avec précaution. On ajoutait alors, pour chaque lecture, le total des. poids portés par la caisse aux chiffres indiqués par le flotteur.

Pour mesurer les flexions, on employait une échelle en bois, graduée

en demi-millimètres qui, glissant librement entre deux guides verticaux, venait reposer directement sur l’étrier engagé au milieu du barreau et, par suite de son poids, en suivait tous les mouvements.

Un fil métallique très-fin, tendu horizontalement devant cette échelle, servait à apprécier ses déplacements ; il était fixé après deux petits boutons SS, pouvant glisser à frottement dur dans deux rainures verticales, ce qui permettait de le faire coïncider à la main avec le zéro de l'échelle. On avait d’ailleurs la précaution d'amener cette coïncidence avant chaque essai, afin de tenir compte des défauts de confection des barreaux, qui pouvaient n'être pas toujours parfaitement dressés.

Une fois la caisse suspendue au barreau, on lisait la flexion produite par cette charge, et on introduisait un peu d’eau, de facon à amener - le poids total à 70 kilogrammes. On opérait alors à partir de ce poids, en augmentant successivement la charge de 10 en 10 kilogrammes, soit par l’addition de poids sur les planchettes, soit par une introduc- ‘ tion d’eau dans la caisse, et l’on notait à chaque fois la flexion correspondante.

On avait soin, en même temps, de faire Dee DRE Ent la vis placée sous l'appareil, de facon à maintenir constamment le croisillon qui la surmonte à 2 ou 3 centimètres au plus au-dessous du fond de la caisse, ce qui permettait d'éviter la chute de l'appareil lors de la rupture du barreau.

Cette machine donnait aussi le moyen de décharger aisément le barreau, lorsqu'il n’avait pas été poussé jusqu’à la rupture, et d'étudier la facon dont il se comportait dans ces conditions; on pouvait, en effet, alléger graduellement la caisse en ouvrant le robinet inférieur T, et observer ainsi les flexions correspondant à des charges décroissantes. Ce même robinet servait à vider la caisse à la fin de l’opération : l’eau tombait dans une cuvette U, terminée par un conduit qui la dirigeait dans une citerne placée sous le bâtiment. Une pompe aspirante et foulante, la prenant dans cette citerne, pouvait la renvoyer dans le réser- . Voir supérieur pour de nouvelles mesures.

Cet appareil a servi pour les nombreux essais de barreaux effectués à Nouméa et dont les résultats sont résumés plus loin. Il s’est toujours parfaitement comporté, il est d’un maniement commode, et donne une grande précision ; c’est donc la disposition qu’il conviendrait de reproduire, si l’on avait à construire une machine pour éprouver les

ee" "pe

PUS LOU re

barreaux à la flexion. Dans une usine où l’on disposerait d’une certaine

quantité de limaille de fonte, on pourrait d'ailleurs remplacer la caisse

destinée à recevoir l’eau par un récipient plus petit, dans lequel on

verserait graduellement la limaille, en prenant des dispositions spéciales pour connaître facilement le poids introduit.

30 Compression.

Lois des compressions élastiques. — Les corps soumis à des efforts de compression présentent des effets d’élasticité analogues à ceux qui sont produits par la traction.

Les raccourcissements, tant qu’ils ne dépassent pas une certaine limite, sont proportionnels à l'effort exercé. Ils varient aussi proportionnellement à la longueur des corps et en raison inverse de sa section, de sorte qu’ils peuvent être représentés par une formule analogue à celle qui donne les allongements des corps soumis à la traction, formule qui dans le cas actuel est :