E'PL

En appelant :

r le raccourcissement total ;

Et E' le coefficient d’élasticité de compression.

D'après les expériences de M. le général Morin, citées à propos de la flexion, ce coefficient est d’ailleurs égal au coefficient d'élasticité d'extension.

Résistance à l’écrasement. — Si l'on dépasse la limite d’élasticité, les effets qui sont produits sur les corps solides par des efforts d’extension dépendent essentiellement de la constitution de ces corps et de leurs proportions.

S’ils sont grenus, comme la fonte ou les pierres calcaires compactes,

ils s’écrasent en se fendillant et, dans ce cas, si le corps comprimé a la

forme d’un cube, il se partage en pyramides ayant leur sommet commun au centre.

S’il s’agit, au contraire, de corps fibreux tels que les bois, comprimés dans le sens de la longueur des fibres, il faut distinguer le cas où ils sont courts, et celui où leur longueur excède de huit à dix fois le côté de leur base. Dans le premier cas, les fibres refoulées s’écartent, le

corps se renflé en tous sens vers le milieu. Dans le second cas, il y a d’abord une compression, quelquefois insignifiante, mais au delà d’une certaine limite le corps fléchit, cède et se rompt.

La mesure de la résistance à la rupture des corps de cette espèce ne doit évidemment être effectuée que sur ceux de la première forme, trop courts pour fléchir sous l'effort exercé.

Ces conditions rendent d’ailleurs fort difficile la mesure des autres effets de la compression sur les corps, aussi les études directes de . compression ont-elles toujours été bornées à la mesure de la résistance de rupture.

Mesures des effets de compression. — On emploie habituellement, à cet effet, des presses hydrauliques permettant d'évaluer l'effort exercé et avec lesquelles on produit l’écrasement de petits cubes des substances étudiées.

L'appareil à levier, construit à la direction d'artillerie de Rochefort, . pour étudier la flexion des bois, peut aussi être utilisé pour produire l'écrasement, ainsi que l'indique la planche VIII. Il suffit, à cet effet, de remplacer le piston terminé par un angle arrondi, par un piston à face plane, comprimant le prisme de bois à essayer contre la base de l'appareil; mais cette machine est trop faible pour opérer sur des morceaux de bois de grosseur suffisante pour qu'il soit possible d’obtenir avec elle des résultats suffisamment exacts.

N'ayant pas, en Nouvelle-Calédonie, d'appareil convenable pour faire des essais de ce genre, je n'ai pas exécuté de mesures de compression sur les bois de ce pays; les seules mesures de résistance à l’écrasement, dans le sens. des fibres et dans le sens perpendiculaire, qu’il était possible d’obtenir par ce procédé, n'auraient donné, d’ailleurs, que des renseignements peu utilisables au point de vue de l'emploi des essences.

4 Torsion.

Effets de la torsion. — La résistance des bois aux efforts de torsion, résistance que l’on a moins souvent à examiner que les autres actions mécaniques, joue cependant un rôle important dans certains modes d’emploi des bois, tels, par exemple, que la confection des arbres de couche pour transmission de mouvement, celle des manches

ou hampes pour différents instruments ou outils, celle encore des vis d'établi ; elle intervient aussi dans la résistance des avirons et même dans celle des bois de mâture, car,.les mâts subissent sous les efforts de la voilure une véritable torsion dans certaines évolutions du navire.

Il est facile, d’ailleurs, de reconnaître que les effets de torsion de barreaux découpés parallèlement aux fibres, doivent être liés principalement aux propriétés élastiques et à la résistance du bois dans le sens normal aux fibres, tandis que les effets de compression, d'extension et de flexion de ces mêmes barreaux sont liés plus spécialement aux propriétés élastiques et à la résistance dans le sens même des fibres.

Les essais de torsion ont donc, au point de vue de l'étude complète des propriétés mécaniques élémentaires des bois, une importance incontestable et il est à regretter, pour ce motif, qu’ils enr trop sou-

vent négligés.

Lois de la torsion. — un en 1784, étudia, le premier, la torsion des fils circulaires ; ; il en démontra expérimentalement les lois, et appliqua le calcul au cas d’un cylindre à base circulaire. Cauchy, en 1829, soumit au calcul le cas de la torsion d'un prisme rectangulaire, mais il admit que les sections normales à l’axe et primitivement planes restaient planes encore après la torsion. Il négligeait ainsi l’effet du glissement des molécules les unes sur les autres et arriva par suite à des formules inexactes.

Ces erreurs furent signalées par M. de Saint-Venant et reconnues par Cauchy en 1854 ; les formules inexactes ont cependant été admises encore par Wertheïmn et se retrouvent aussi dans le résumé des exp riences faites par M. Bonniceau sur la torsion des bois.

Le moyen le plus commode d'étudier la torsion des bois consiste à employer des barreaux rectangulaires placés horizontalement, dont une extrémité est solidement encastrée dans un logement de même section et dont l’autre extrémité recoit un mouvement de torsion par l’intermédiaire d’un plateau à gorge, sur lequel s’enroule une corde tendue à l’aide de poids que l’on fait varier à volonté.

Lors de la torsion d’un prisme de cette forme, les faces latérales primitivement planes se gauchissent et prennent la forme d'hyperboloïdes; les sections normales primitivement planes se gauchissent aussi, de façon que leurs éléments restent normaux aux fibres du prisme . tordues en hélice. | | S1 le prisme est à section carrée, cette section se divise en 8 triangles

déterminés par les diagonales et par les lignes joignant les milieux des côtés et qui se gauchissent alternativement en saillie et en creux.

Si la section est un rectangle, la division en 8 parties, par des lignes passant au centre de figure, subsiste tant que le plus grand côté ne dépasse pas le produit de l’autre par 1,4513; mais le creux n’est pas symétrique à la saillie dans chaque quart de section. Au delà de cette limite, la section ne se divise plus qu’en quatre parties reciangulaires déterminées par les lignes qui joignent les milieux des côtés; ces parties se gauchissent encore alternativement en saillie et en creux.

Les.points faibles dans la torsion d’un prisme rectangulaire sont, par suite, dans chaque section, les milieux des petits côtés, c’est donc par les fibres médianes de chaque face que doivent se produire les ruptures. |

Ce résultat qu'indique la théorie est vérifié par l’expérience, tandis que dans l'hypothèse de la permanence des sections planes la rupture devrait sé produire sur les arêtes. 3

Formules de la torsion. — Les formules de la torsion, en adoptant les notations de Navier, sont les suivantes.

Si l’on appelle : |

a la longueur du solide depuis sa section fixe jusqu’à la section dans laquelle agit la force de torsion ;

r le rayon de sa section si elle.est circulaire ;

b et cles côtés de cette section si elle est rectangulaire ;

P la force de torsion ;

R le bras de levier avec lequel elle agit ;

0 l'angle décrit par les diamètres de la section extrême ! ;

Et enfin G un poids, constant pour chaque espèce, représentant la résistance spécifique de la torsion ou le module d’élasticité de torsion ; On a, dans le cas de la section circulaire :

“à HP GER SAR PART

Et dans le cas de la section rectangulaire :

1 Plus exactement 6 représente la longueur de l’arc correspondant à l’angle de torsion dans le cercle dont le rayon est l'unité; par conséquent, si l’angle dont il s’agit est RE en degrés sexagésimaux, il faut multiplier le nombre de

degrés par Fe pour obtenir la valeur 8 qui doit figurer dans les formules.

3 (b2 + €?) aR

5 L6P = 5 X Tb3e3 X 1e « est un coefficient de correction qui s'obtient par le calcul d’une série convergente dont M. de Saint-Venant a donné le développement

en fonction de b et c et des tangentes hyperboliques de multiples

La valeur de ce coefficient est de 0,84340 lorsque b = c : elle augmente ensuite en convergeant vers l’unité lorsque b devient plus grand que c et atteint déjà la valeur 0,90902 lorsque b — 5c; on peut, par suite, la supposer égale à 1 lorsqu'il s’agit de la torsion de prismes très-plats. :

On doit donc prendre, pour le cas de la torsion d’un prisme à base carrée, la formule :

P. 6aR G=— 0,84340= X

Le rapport du moment PR de la résistance élastique du carré à la torsion au moment de la résistance correspondante du cercle inscrit, en tenant compte de la relation b—9r, est donc : |

0,84340 0,8434 1 Tr (7 0:580 00

Les formules données par Cauchy et Navier ne différaient des précédentes que par la suppression du coefficient de correction y ; elles n'étaient donc exactes que pour les tiges cylindriques, et donnaient pour le rapport des moments des résistances élastiques de la section carrée et de la section circulaire inscrite la valeur ü TE 39’

Ces formules ne s ‘appliquent que pour de petites valeurs de 0; on voit qu’elles indiquent que les angles de torsion sont proportionnels aux Charges et à la longueur des barreaux tordus, et que, pour les prismes à section carrée ou pour les tiges. cylindriques, ces mêmes angles sont | inversement proportionnels à la puissance du côté ou du rayon de la section.

L’angle de torsion est inversement proportionnel au module d’élas-

ticité G, ce module peut donc mesurer la raideur d’élasticité de torsion. re”

M. de Saint-Venant a démontré d’ailleurs que, dans les corps solides homogènes, ou plutôt dans les corps isotropes, c’est-à-dire dans ceux qui sont d’égale élasticité en tous sens à chaque point, le coefficient G doit être lié au module d’élasticité E par la relation :

Cette relation ne peut s’appliquer au bois par suite de sa structure hétérogène, mais elle peut, jusqu’à un certain point, servir à calculer quel doit être le coefficient d’élasticité dans le sens normal aux fibres, si l’on admet que la résistance à la torsion ne dépende que de ce coefficient.

Si l’on admet que les résistances des éléments du solide conservent entre elles les mêmes rapports, alors même que l’angle de torsion devient assez considérable pour produire la rupture, on peut obtenir les formules donnant la résistance à la rupture par torsion.

En appelant T un poids exprimant la résistance à la torsion rapportée à l’unité de surface, à l'instant où la rupture a lieu, on obtient alors pour un corps à section circulaire la formule :